專題8分式方程（共32題）-2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（原卷版+解析版）【全國(guó)通用】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國(guó)通用】（第01期）
專題8分式方程（共32題）
姓名：__________________ 班級(jí)：______________ 得分：_________________
一、單選題
1．（2021·四川成都市·中考真題）分式方程的解為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接通分運(yùn)算后，再去分母，將分式方程化為整式方程求解．
【詳解】
解：，
，
，
，
解得：，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
是分式方程的解，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是：去分母化為整式方程求解，最后需要對(duì)解進(jìn)行檢驗(yàn)．
2．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真題）分式方程的解是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先去分母，然后再進(jìn)行求解方程即可．
【詳解】
解：
，
∴，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解；
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·湖南懷化市·中考真題）定義，則方程的解為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)新定義,變形方程求解即可
【詳解】
∵,
∴變形為,
解得，
經(jīng)檢驗(yàn) 是原方程的根，
故選B
【點(diǎn)睛】
本題考查了新定義問(wèn)題，根據(jù)新定義把方程轉(zhuǎn)化一般的分式方程，并求解是解題的關(guān)鍵
4．（2021·湖北十堰市·中考真題）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)400臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間比原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間少1天，設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器，則下列方程正確的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
設(shè)現(xiàn)在每天生產(chǎn)x臺(tái)，則原來(lái)可生產(chǎn)（x?50）臺(tái)．根據(jù)現(xiàn)在生產(chǎn)400臺(tái)機(jī)器的時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器的時(shí)間少1天，列出方程即可．
【詳解】
解：設(shè)現(xiàn)在每天生產(chǎn)x臺(tái)，則原來(lái)可生產(chǎn)（x?50）臺(tái)．
依題意得：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了列分式方程應(yīng)用，利用本題中“現(xiàn)在生產(chǎn)400臺(tái)機(jī)器的時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器的時(shí)間少1天”這一個(gè)條件，列出分式方程是解題關(guān)鍵．
5．（2021·山東臨沂市·中考真題）某工廠生產(chǎn)、兩種型號(hào)的掃地機(jī)器人．型機(jī)器人比型機(jī)器人每小時(shí)的清掃面積多50%；清掃所用的時(shí)間型機(jī)器人比型機(jī)器人多用40分鐘．兩種型號(hào)掃地機(jī)器人每小時(shí)分別清掃多少面積？若設(shè)型掃地機(jī)器人每小時(shí)清掃，根據(jù)題意可列方程為（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)清掃100m2所用的時(shí)間A型機(jī)器人比B型機(jī)器人多用40分鐘列出方程即可．
【詳解】
解：設(shè)A型掃地機(jī)器人每小時(shí)清掃xm2，
由題意可得：，
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系．
6．（2021·重慶中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）
A．5 B．8 C．12 D．15
【答案】B
【分析】
先計(jì)算不等式組的解集，根據(jù)“同大取大”原則，得到解得，再解分式方程得到，根據(jù)分式方程的解是正整數(shù)，得到，且是2的倍數(shù)，據(jù)此解得所有符合條件的整數(shù)a的值，最后求和．
【詳解】
解：
解不等式①得，，
解不等式②得，
不等式組的解集為：

解分式方程得

整理得，
則

分式方程的解是正整數(shù)，

，且是2的倍數(shù)，
，且是2的倍數(shù)，
整數(shù)a的值為-1, 1, 3, 5,

故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考查解含參數(shù)的一元一次不等式、解分式方程等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
7．（2021·浙江嘉興市·中考真題）為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽．901班啦啦隊(duì)買(mǎi)了兩種價(jià)格的加油棒助威，其中熒光棒共花費(fèi)40元，繽紛棒共花費(fèi)30元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價(jià)是熒光棒的1.5倍．若設(shè)熒光棒的單價(jià)為元（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
若設(shè)熒光棒的單價(jià)為元，根據(jù)等量關(guān)系“繽紛棒比熒光棒少20根”可列方程求解．
【詳解】
解：設(shè)熒光棒的單價(jià)為元，則繽紛棒單價(jià)是元，由題意可得：

故選：B．
【點(diǎn)睛】
考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，應(yīng)用題中一般有三個(gè)量，求一個(gè)量，明顯的有一個(gè)量，一定是根據(jù)另一量來(lái)列等量關(guān)系的．本題分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
8．（2021·重慶中考真題）關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的一元一次不等式組有解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先將分式方程化為整式方程，得到它的解為,由它的解為正數(shù)，同時(shí)結(jié)合該分式方程有解即分母不為0，得到且，再由該一元一次不等式組有解，又可以得到，綜合以上結(jié)論即可求出a的取值范圍，即可得到其整數(shù)解，從而解決問(wèn)題．
【詳解】
解：,
兩邊同時(shí)乘以（)，
,
,
由于該分式方程的解為正數(shù)，
∴，其中;
∴，且；
∵關(guān)于y的元一次不等式組有解，
由①得：;
由②得：;
∴，
∴
綜上可得：,且;
∴滿足條件的所有整數(shù)a為：；
∴它們的和為；
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題涉及到含字母參數(shù)的分式方程和含字母參數(shù)的一元一次不等式組等內(nèi)容，考查了解分式方程和解一元一次不等式組等相關(guān)知識(shí)，要求學(xué)生能根據(jù)題干中的條件得到字母參數(shù)a的限制不等式，求出a的取值范圍進(jìn)而求解，本題對(duì)學(xué)生的分析能力有一定要求，屬于較難的計(jì)算問(wèn)題．

二、填空題
9．（2021·北京中考真題）方程的解為_(kāi)_____________．
【答案】
【分析】
根據(jù)分式方程的解法可直接進(jìn)行求解．
【詳解】
解：
，
∴，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解．
故答案為：x=3．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·江蘇宿遷市·中考真題）方程的解是_____________．
【答案】，
【分析】
先把兩邊同時(shí)乘以，去分母后整理為，進(jìn)而即可求得方程的解．
【詳解】
解：，
兩邊同時(shí)乘以，得
，
整理得：
解得：，，
經(jīng)檢驗(yàn)，，是原方程的解，
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟練掌握分式方程和一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
11．（2021·湖北荊州市·中考真題）若關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍為_(kāi)____________．
【答案】m＞-7且m≠-3
【分析】
先用含m的代數(shù)式表示x，再根據(jù)解為正數(shù)，列出關(guān)于m的不等式，求解即可．
【詳解】
解：由，得：且x≠2，
∵關(guān)于的方程的解是正數(shù)，
∴且，解得：m＞-7且m≠-3，
故答案是：m＞-7且m≠-3．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式組，求出方程的解是解題的關(guān)鍵．
12．（2021·湖南常德市·中考真題）分式方程的解為_(kāi)_________．
【答案】
【分析】
直接利用通分，移項(xiàng)、去分母、求出后，再檢驗(yàn)即可．
【詳解】
解：
通分得：，
移項(xiàng)得：，
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，，
是分式方程的解，
故答案是：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了對(duì)分式分式方程的求解，解題的關(guān)鍵是：熟悉通分，移項(xiàng)、去分母等運(yùn)算步驟，易錯(cuò)點(diǎn)，容易忽略對(duì)根進(jìn)行檢驗(yàn)．
13．（2021·湖南衡陽(yáng)市·中考真題）“綠水青山就是金山銀山”．某地為美化環(huán)境，計(jì)劃種植樹(shù)木6000棵．由于志愿者的加入，實(shí)際每天植樹(shù)的棵樹(shù)比原計(jì)劃增加了25%，結(jié)果提前3天完成任務(wù)．則實(shí)際每天植樹(shù)__________棵．
【答案】500
【分析】
設(shè)原計(jì)劃每天植樹(shù)棵，則實(shí)際每天植樹(shù)，根據(jù)工作時(shí)間工作總量工作效率，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前3天完成，準(zhǔn)確列出關(guān)于的分式方程進(jìn)行求解即可．
【詳解】
解：設(shè)原計(jì)劃每天植樹(shù)棵，則實(shí)際每天植樹(shù)，
，
，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
∴實(shí)際每天植樹(shù)棵，
故答案是：500．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，準(zhǔn)確列出分式方程．
14．（2021·四川達(dá)州市·中考真題）若分式方程的解為整數(shù)，則整數(shù)___________．
【答案】
【分析】
直接移項(xiàng)后通分合并同類項(xiàng)，化簡(jiǎn)、用來(lái)表示，再根據(jù)解為整數(shù)來(lái)確定的值．
【詳解】
解：，

整理得：
若分式方程的解為整數(shù)，
為整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：成立；
當(dāng)時(shí)，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：分母為0沒(méi)有意義，故舍去；
綜上:，
故答案是：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程，解題的關(guān)鍵是：化簡(jiǎn)分式方程，最終用來(lái)表示，再根據(jù)解為整數(shù)來(lái)確定的值，易錯(cuò)點(diǎn)，容易忽略對(duì)根的檢驗(yàn)．
15．（2021·四川涼山彝族自治州·中考真題）若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是_________．
【答案】m＞-3且m≠-2
【分析】
先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．
【詳解】
解：方程兩邊同時(shí)乘以x-1得，，
解得，
∵x為正數(shù)，
∴m+3＞0，解得m＞-3．
∵x≠1，
∴m+3≠1，即m≠-2．
∴m的取值范圍是m＞-3且m≠-2．
故答案為：m＞-3且m≠-2．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解是解答此題的關(guān)鍵．

三、解答題
16．（2021·浙江中考真題）解分式方程：．
【答案】
【分析】
先將分式方程化成整式方程，然后求解，最后檢驗(yàn)即可．
【詳解】
解：
．
．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了分式方程的解法，將將分式方程化成整式方程是解題的關(guān)鍵，檢驗(yàn)是解答本題的易錯(cuò)點(diǎn)．
17．（2021·江蘇連云港市·中考真題）解方程：．
【答案】無(wú)解
【分析】
將分式去分母，然后再解方程即可．
【詳解】
解：去分母得：
整理得，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的增根，
故此方程無(wú)解．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是解分式方程，要注意驗(yàn)根，熟悉相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
18．（2021·四川自貢市·中考真題）隨著我國(guó)科技事業(yè)的不斷發(fā)展，國(guó)產(chǎn)無(wú)人機(jī)大量進(jìn)入快遞行業(yè)．現(xiàn)有A，B兩種型號(hào)的無(wú)人機(jī)都被用來(lái)運(yùn)送快件，A型機(jī)比B型機(jī)平均每小時(shí)多運(yùn)送20件，A型機(jī)運(yùn)送700件所用時(shí)間與B型機(jī)運(yùn)送500件所用時(shí)間相等，兩種無(wú)人機(jī)平均每小時(shí)分別運(yùn)送多少快件？
【答案】A型機(jī)平均每小時(shí)運(yùn)送70件，B型機(jī)平均每小時(shí)運(yùn)送50件
【分析】
設(shè)A型機(jī)平均每小時(shí)運(yùn)送x件，根據(jù)A型機(jī)比B型機(jī)平均每小時(shí)多運(yùn)送20件，得出B型機(jī)平均每小時(shí)運(yùn)送（x-20）件，再根據(jù)A型機(jī)運(yùn)送700件所用時(shí)間與B型機(jī)運(yùn)送500件所用時(shí)間相等，列出方程解之即可．
【詳解】
解：設(shè)A型機(jī)平均每小時(shí)運(yùn)送x件，則B型機(jī)平均每小時(shí)運(yùn)送（x-20）件，
根據(jù)題意得：
解這個(gè)方程得：x=70．
經(jīng)檢驗(yàn)x=70是方程的解，∴x-20=50．
∴A型機(jī)平均每小時(shí)運(yùn)送70件，B型機(jī)平均每小時(shí)運(yùn)送50件．
【點(diǎn)睛】
本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
19．（2021·山東泰安市·中考真題）接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑，針對(duì)疫苗急需問(wèn)題，某制藥廠緊急批量生產(chǎn)，計(jì)劃每天生產(chǎn)疫苗16萬(wàn)劑，但受某些因素影響，有10名工人不能按時(shí)到廠．為了應(yīng)對(duì)疫情，回廠的工人加班生產(chǎn)，由原來(lái)每天工作8小時(shí)增加到10小時(shí)，每人每小時(shí)完成的工作量不變，這樣每天只能生產(chǎn)疫苗15萬(wàn)劑．
（1）求該廠當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有多少人？
（2）生產(chǎn)4天后，未到的工人同時(shí)到崗加入生產(chǎn)，每天生產(chǎn)時(shí)間仍為10小時(shí)．若上級(jí)分配給該廠共760萬(wàn)劑的生產(chǎn)任務(wù)，問(wèn)該廠共需要多少天才能完成任務(wù)？
【答案】（1）30人；（2）39天
【分析】
（1）設(shè)當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有人，根據(jù)每人每小時(shí)完成的工作量不變列出關(guān)于的方程，求解即可；
（2）設(shè)還需要生產(chǎn)天才能完成任務(wù)．根據(jù)前面4天完成的工作量＋后面天完成的工作量＝760列出關(guān)于的方程，求解即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有x人，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．
答：當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有30人．
（2）每人每小時(shí)的數(shù)量為（萬(wàn)劑）．
設(shè)還需要生產(chǎn)y天才能完成任務(wù)，
依題意得：，
解得：，（天）
答：該廠共需要39天才能完成任務(wù)．
【點(diǎn)睛】
本題考查分式方程的應(yīng)用和一元一次方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
20．（2021·云南中考真題）“30天無(wú)理由退貨”是營(yíng)造我省“誠(chéng)信旅游”良好環(huán)境，進(jìn)一步提升旅游形象的創(chuàng)新舉措．機(jī)場(chǎng)、車(chē)站、出租車(chē)、景區(qū)、手機(jī)短信……，“30天無(wú)理由退貨”的提示隨處可見(jiàn)，它已成為一張?jiān)颇下眯械摹鞍残目ā?，極大地提高了旅游服務(wù)的品質(zhì)．剛剛過(guò)去的“五·一”假期，旅游線路、住宿、餐飲、生活服務(wù)、購(gòu)物等旅游消費(fèi)的供給更加多元，同步的是云南旅游市場(chǎng)強(qiáng)勁復(fù)蘇．某旅行社今年5月1日租用A、B兩種客房一天，供當(dāng)天使用．下面是有關(guān)信息：今天用2000元租到A客房的數(shù)量與用1600元租到B客房的數(shù)量相等．今天每間A客房的租金比每間B客房的租金多40元．請(qǐng)根據(jù)上述信息，分別求今年5月1日該旅行社租用的A、B兩種客房每間客房的租金．
【答案】租用的A種客房每間客房的租金為200元，B種客房每間客房的租金為160元．
【分析】
設(shè)租用的B種客房每間客房的租金為x元，根據(jù)用2000元租到A客房的數(shù)量與用1600元租到B客房的數(shù)量相等列出方程，解之即可．
【詳解】
解：設(shè)租用的B種客房每間客房的租金為x元，則A種客房每間客房的租金為x+40元，
由題意可得：，

解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，
160+40=200元，
∴租用的A種客房每間客房的租金為200元，B種客房每間客房的租金為160元．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程．
21．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）為保障新冠病毒疫苗接種需求，某生物科技公司開(kāi)啟“加速”模式，生產(chǎn)效率比原先提高了20%，現(xiàn)在生產(chǎn)240萬(wàn)劑疫苗所用的時(shí)間比原先生產(chǎn)220萬(wàn)劑疫苗所用的時(shí)間少0.5天，問(wèn)原先每天生產(chǎn)多少萬(wàn)劑疫苗？
【答案】40萬(wàn)
【分析】
設(shè)原先每天生產(chǎn)x萬(wàn)劑疫苗，根據(jù)現(xiàn)在生產(chǎn)240萬(wàn)劑疫苗所用的時(shí)間比原先生產(chǎn)220萬(wàn)劑疫苗所用的時(shí)間少0.5天可得方程，解之即可．
【詳解】
解：設(shè)原先每天生產(chǎn)x萬(wàn)劑疫苗，
由題意可得：，
解得：x=40，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=40是原方程的解，
∴原先每天生產(chǎn)40萬(wàn)劑疫苗．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性．
22．（2021·江蘇南京市·中考真題）解方程．
【答案】
【分析】
先將方程兩邊同時(shí)乘以，化為整式方程后解整式方程再檢驗(yàn)即可．
【詳解】
解：，
，
，
，
檢驗(yàn)：將代入中得，，
∴是該分式方程的解．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程的解法，解決本題的關(guān)鍵是牢記解分式方程的基本步驟，即要先將分式方程化為整式方程，再利用“去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1”等方式解整式方程，最后不能忘記檢驗(yàn)等．
23．（2021·山東聊城市·中考真題）為迎接建黨一百周年，我市計(jì)劃用兩種花卉對(duì)某廣場(chǎng)進(jìn)行美化．已知用600元購(gòu)買(mǎi)A種花卉與用900元購(gòu)買(mǎi)B種花卉的數(shù)量相等，且B種花卉每盆比A種花卉多0.5元．
（1）A，B兩種花卉每盆各多少元？
（2）計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A，B兩種花卉共6000盆，其中A種花卉的數(shù)量不超過(guò)B種花卉數(shù)量的，求購(gòu)買(mǎi)A種花卉多少盆時(shí)，購(gòu)買(mǎi)這批花卉總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？
【答案】（1）A 種花棄每盆1元，B種花卉每盆1.5元；（2）購(gòu)買(mǎi)A 種花卉1500盆時(shí)購(gòu)買(mǎi)這批花卉總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為 8250元
【分析】
（1）設(shè)A 種花棄每盆x元，B 種花卉每盆（x＋0.5）元，根據(jù)題意列分式方程，解出方程并檢驗(yàn)；
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種花卉∶t盆，購(gòu)買(mǎi)這批花卉的總費(fèi)用為w元，則t≤（6000－t），w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000，w隨t的增大而減小，所以根據(jù)t的范圍可以求得w的最小值．
【詳解】
解：（1）設(shè)A 種花棄每盆x元，B 種花卉每盆（x＋0.5）元．
根據(jù)題意，得．
解這個(gè)方程，得x＝1.
經(jīng)檢驗(yàn)知，x＝1是原分式方程的根，并符合題意．
此時(shí)x＋0.5＝1＋0.5＝1.5（元）．
所以，A種花棄每盆1元，B種花卉每盆1.5元．
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種花卉∶t盆，購(gòu)買(mǎi)這批花卉的總費(fèi)用為w元，則t≤（6000－t），
解得∶t≤1500.
由題意，得w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000.
因?yàn)閣是t的一次函數(shù)，k＝－0.5＜0，w隨t的增大而減小，所以當(dāng)t＝1500 盆時(shí)，w最?。?br /> w＝－0.5×1500＋9000＝8250（元）．
所以，購(gòu)買(mǎi)A種花卉1500盆時(shí)購(gòu)買(mǎi)這批花卉總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為8250元．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了分式方程解決實(shí)際問(wèn)題和一次函數(shù)求最值，根據(jù)等量關(guān)系列出方程和函數(shù)關(guān)系式及取值范圍是解題關(guān)鍵．
24．（2021·山西中考真題）太原武宿國(guó)際機(jī)場(chǎng)簡(jiǎn)稱“太原機(jī)場(chǎng)”，是山西省開(kāi)通的首條定期國(guó)際客運(yùn)航線．游客從太原某景區(qū)乘車(chē)到太原機(jī)場(chǎng)，有兩條路線可供選擇，路線一：走迎賓路經(jīng)太輸路全程是25千米，但交通比較擁堵；路線二：走太原環(huán)城高速全程是30千米，平均速度是路線一的倍，因此到達(dá)太原機(jī)場(chǎng)的時(shí)間比走路線一少用7分鐘，求走路線一到達(dá)太原機(jī)場(chǎng)需要多長(zhǎng)時(shí)間．

【答案】25分鐘
【分析】
設(shè)走路線一到達(dá)太原機(jī)場(chǎng)需要分鐘，用含x的式子表示路線一、二的速度，再根據(jù)路線二平均速度是路線一的倍列等式計(jì)算即可．
【詳解】
解：設(shè)走路線一到達(dá)太原機(jī)場(chǎng)需要分鐘．
根據(jù)題意，得．
解得：．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．
答：走路線一到達(dá)太原機(jī)場(chǎng)需要25分鐘．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，注意分式方程需要驗(yàn)根．
25．（2021·湖南中考真題）“七一”建黨節(jié)前夕，某校決定購(gòu)買(mǎi)，兩種獎(jiǎng)品，用于表彰在“童心向黨”活動(dòng)中表現(xiàn)突出的學(xué)生．已知獎(jiǎng)品比獎(jiǎng)品每件多25元預(yù)算資金為1700元，其中800元購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品，其余資金購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品，且購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的數(shù)量是獎(jiǎng)品的3倍．
（1）求，獎(jiǎng)品的單價(jià)；
（2）購(gòu)買(mǎi)當(dāng)日，正逢該店搞促銷(xiāo)活動(dòng)，所有商品均按原價(jià)八折銷(xiāo)售，學(xué)校調(diào)整了購(gòu)買(mǎi)方案：不超過(guò)預(yù)算資金且購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的資金不少于720元，，兩種獎(jiǎng)品共100件．求購(gòu)買(mǎi)，兩種獎(jiǎng)品的數(shù)量，有哪幾種方案？
【答案】（1）A，獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是40元，15元；（2）購(gòu)買(mǎi)A獎(jiǎng)品23件，B獎(jiǎng)品77件；購(gòu)買(mǎi)A獎(jiǎng)品24件，B獎(jiǎng)品76件；購(gòu)買(mǎi)A獎(jiǎng)品25件，B獎(jiǎng)品75件．
【分析】
（1）設(shè)B獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，則A獎(jiǎng)品的單價(jià)為(x+25)元，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的數(shù)量是獎(jiǎng)品的3倍”，列出分式方程，即可求解；
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A獎(jiǎng)品a件，則購(gòu)買(mǎi)B獎(jiǎng)品(100-a)件，列出一元一次不等式組，即可求解．
【詳解】
（1）解：設(shè)B獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，則A獎(jiǎng)品的單價(jià)為(x+25)元，
由題意得：，解得：x=15，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=15是方程的解，且符合題意，
15+25=40，
答：A，獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是40元，15元；
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A獎(jiǎng)品a件，則購(gòu)買(mǎi)B獎(jiǎng)品(100-a)件，
由題意得：，解得：22.5≤a≤25，
∵a取正整數(shù)，
∴a=23，24，25，
答：購(gòu)買(mǎi)A獎(jiǎng)品23件，B獎(jiǎng)品77件；購(gòu)買(mǎi)A獎(jiǎng)品24件，B獎(jiǎng)品76件；購(gòu)買(mǎi)A獎(jiǎng)品25件，B獎(jiǎng)品75件．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式方程以及一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，列出方程和不等式組，是解題的關(guān)鍵．
26．（2021·湖北武漢市·中考真題）在“鄉(xiāng)村振興”行動(dòng)中，某村辦企業(yè)以，兩種農(nóng)作物為原料開(kāi)發(fā)了一種有機(jī)產(chǎn)品，原料的單價(jià)是原料單價(jià)的1.5倍，若用900元收購(gòu)原料會(huì)比用900元收購(gòu)原料少．生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要原料和原料，每盒還需其他成本9元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價(jià)是60元時(shí)，每天可以銷(xiāo)售500盒；每漲價(jià)1元，每天少銷(xiāo)售10盒．
（1）求每盒產(chǎn)品的成本（成本＝原料費(fèi)＋其他成本）；
（2）設(shè)每盒產(chǎn)品的售價(jià)是元（是整數(shù)），每天的利潤(rùn)是元，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不需要寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
（3）若每盒產(chǎn)品的售價(jià)不超過(guò)元（是大于60的常數(shù)，且是整數(shù)），直接寫(xiě)出每天的最大利潤(rùn)．
【答案】（1）每盒產(chǎn)品的成本為30元．（2）；（3）當(dāng)時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為16000元；當(dāng)時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為元．
【分析】
（1）設(shè)原料單價(jià)為元，則原料單價(jià)為元．然后再根據(jù)“用900元收購(gòu)原料會(huì)比用900元收購(gòu)原料少”列分式方程求解即可；
（2）直接根據(jù)“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量”列出解析式即可；
（3）先確定的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向，然后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)原料單價(jià)為元，則原料單價(jià)為元．
依題意，得．
解得，，．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根．
∴每盒產(chǎn)品的成本為：（元）．
答：每盒產(chǎn)品的成本為30元．
（2）
；
（3）∵拋物線的對(duì)稱軸為=70，開(kāi)口向下
∴當(dāng)時(shí)，a=70時(shí)有最大利潤(rùn)，此時(shí)w=16000，即每天的最大利潤(rùn)為16000元；
當(dāng)時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為元．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意、列出分式方程和函數(shù)解析式成為解答本題的關(guān)鍵．
27．（2021·陜西中考真題）解方程：．
【答案】
【分析】
按照解分式方程的方法和步驟求解即可．
【詳解】
解：去分母（兩邊都乘以），得，
．
去括號(hào)，得，
，
移項(xiàng)，得，
．
合并同類項(xiàng)，得，
．
系數(shù)化為1，得，
．
檢驗(yàn)：把代入．
∴是原方程的根．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步驟是解題的關(guān)鍵，尤其注意解分式方程必須檢驗(yàn)．
28．（2021·四川廣安市·中考真題）國(guó)慶節(jié)前，某超市為了滿足人們的購(gòu)物需求，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷(xiāo)售．經(jīng)了解，甲種水果和乙種水果的進(jìn)價(jià)與售價(jià)如下表所示：
水果單價(jià)
甲
乙
進(jìn)價(jià)（元/千克）

售價(jià)（元/千克）
20
25
已知用1200元購(gòu)進(jìn)甲種水果的重量與用1500元購(gòu)進(jìn)乙種水果的重量相同．
（1）求的值；
（2）若超市購(gòu)進(jìn)這兩種水果共100千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，則超市應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1）16；（2）購(gòu)進(jìn)甲種水果75千克，則乙種水果25千克，獲得最大利潤(rùn)425元
【分析】
（1）根據(jù)用1200元購(gòu)進(jìn)甲種水果的重量與用1500元購(gòu)進(jìn)乙種水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種水果m千克，則乙種水果100-m千克，利潤(rùn)為y，列出y關(guān)于m的表達(dá)式，根據(jù)甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，求出m的范圍，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．
【詳解】
解：（1）由題意可知：
，
解得：x=16，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=16是原方程的解；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種水果m千克，則乙種水果100-m千克，利潤(rùn)為y，
由題意可知：
y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500，
∵甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，
∴m≥3（100-m），
解得：m≥75，即75≤m＜100，
在y=-m+500中，-1＜0，則y隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m=75時(shí)，y最大，且為-75+500=425元，
∴購(gòu)進(jìn)甲種水果75千克，則乙種水果25千克，獲得最大利潤(rùn)425元．
【點(diǎn)睛】
本題考查了分式方程和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和函數(shù)表達(dá)式．
29．（2021·湖南岳陽(yáng)市·中考真題）星期天，小明與媽媽到離家的洞庭湖博物館參觀．小明從家騎自行車(chē)先走，后媽媽開(kāi)車(chē)從家出發(fā)，沿相同路線前往博物館，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知媽媽開(kāi)車(chē)的平均速度是小明騎自行車(chē)平均速度的4倍，求媽媽開(kāi)車(chē)的平均速度．

【答案】媽媽開(kāi)車(chē)的平均速度是48km/h．
【分析】
設(shè)媽媽開(kāi)車(chē)的平均速度為xkm/h，根據(jù)小明行駛的時(shí)間比媽媽多用1小時(shí)列出方程，求解并檢驗(yàn)可得結(jié)論．
【詳解】
解：設(shè)媽媽開(kāi)車(chē)的平均速度為xkm/h，則小明的速度為km/h，根據(jù)題意得，

解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，
答：媽媽開(kāi)車(chē)的平均速度是48km/h．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系“小明用時(shí)-1=媽媽用時(shí)”是解答此題的關(guān)鍵．
30．（2021·江西中考真題）甲，乙兩人去市場(chǎng)采購(gòu)相同價(jià)格的同一種商品，甲用2400元購(gòu)買(mǎi)的商品數(shù)量比乙用3000元購(gòu)買(mǎi)的商品數(shù)量少10件．
（1）求這種商品的單價(jià)；
（2）甲，乙兩人第二次再去采購(gòu)該商品時(shí)，單價(jià)比上次少了20元/件，甲購(gòu)買(mǎi)商品的總價(jià)與上次相同，乙購(gòu)買(mǎi)商品的數(shù)量與上次相同，則甲兩次購(gòu)買(mǎi)這種商品的平均單價(jià)是______元/件，乙兩次購(gòu)買(mǎi)這種商品的平均單價(jià)是______元/件．
（3）生活中，無(wú)論油價(jià)如何變化，有人總按相同金額加油，有人總按相同油量加油，結(jié)合（2）的計(jì)算結(jié)果，建議按相同______加油更合算（填“金額”或“油量”）．
【答案】（1）這種商品的單價(jià)為60元/件；（2）48,50；（3）金額
【分析】
（1）根據(jù)題意設(shè)這種商品的單價(jià)為元/件，通過(guò)甲乙之間購(gòu)買(mǎi)的商品數(shù)量間的數(shù)量關(guān)系列分式方程進(jìn)行求解即可；
（2）利用兩次購(gòu)買(mǎi)總價(jià)÷兩次購(gòu)買(mǎi)總數(shù)量=平均單價(jià)，列式分別求出甲乙兩次購(gòu)買(mǎi)的平均單價(jià)即可；
（3）對(duì)比（2）中的計(jì)算數(shù)據(jù)總結(jié)即可得解．
【詳解】
（1）設(shè)這種商品的單價(jià)為元/件，
，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解，
則這種商品的單價(jià)為60元/件；
（2）甲，乙兩人第二次再去采購(gòu)該商品時(shí)，單價(jià)為元/件，
∵甲兩次購(gòu)買(mǎi)總價(jià)為元，購(gòu)買(mǎi)總數(shù)量為件，
∴甲兩次購(gòu)買(mǎi)這種商品的平均單價(jià)是元/件；
∵乙兩次購(gòu)買(mǎi)總價(jià)為元，購(gòu)買(mǎi)總數(shù)量為件，
∴乙兩次購(gòu)買(mǎi)這種商品的平均單價(jià)是元/件；
故答案為：48,50；
（3）∵，
∴按照甲兩次購(gòu)買(mǎi)商品的總價(jià)相同的情況下更合算，
∴建議按相同金額加油更合算，
故答案為：金額．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，通過(guò)題目找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，利用總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)的基本等量關(guān)系式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
31．（2021·上海中考真題）現(xiàn)在手機(jī)非常流行，某公司第一季度總共生產(chǎn)80萬(wàn)部手機(jī)，三個(gè)月生產(chǎn)情況如下圖．

（1）求三月份共生產(chǎn)了多少部手機(jī)?
（2）手機(jī)速度很快，比下載速度每秒多，下載一部的電影，比要快190秒，求手機(jī)的下載速度．
【答案】（1）36萬(wàn)部；（2）100/秒
【分析】
（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖求出3月份的百分比，再利用80萬(wàn)×3月份的百分比求出三月份共生產(chǎn)的手機(jī)數(shù)；
（2）設(shè)手機(jī)的下載速度為x/秒，則下載速度為/秒，根據(jù)下載一部的電影，比要快190秒列方程求解．
【詳解】
（1）3月份的百分比=
三月份共生產(chǎn)的手機(jī)數(shù)=（萬(wàn)部）
答：三月份共生產(chǎn)了36萬(wàn)部手機(jī)．
（2）設(shè)手機(jī)的下載速度為x/秒，則下載速度為/秒，
由題意可知：
解得：
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，
∴是原分式方程的解．
答：手機(jī)的下載速度為100/秒．
【點(diǎn)睛】
本題考查實(shí)際問(wèn)題與分式方程．求解分式方程時(shí)，需要檢驗(yàn)最簡(jiǎn)公分母是否為0．
32．（2021·浙江溫州市·中考真題）某公司生產(chǎn)的一種營(yíng)養(yǎng)品信息如下表．已知甲食材每千克的進(jìn)價(jià)是乙食材的2倍，用80元購(gòu)買(mǎi)的甲食材比用20元購(gòu)買(mǎi)的乙食材多1千克．
營(yíng)養(yǎng)品信息表
營(yíng)養(yǎng)成份
每千克含鐵42毫克
配料表
原料
每千克含鐵
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
規(guī)格
每包食材含量
每包單價(jià)
A包裝
1千克
45元
B包裝
0.25千克
12元
（1）問(wèn)甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別是多少元？
（2）該公司每日用18000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用完．
①問(wèn)每日購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材各多少千克？
②已知每日其他費(fèi)用為2000元，且生產(chǎn)的營(yíng)養(yǎng)品當(dāng)日全部售出．若A的數(shù)量不低于B的數(shù)量，則A為多少包時(shí)，每日所獲總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)為多少元？
【答案】（1）甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別為40元、20元；（2）①每日購(gòu)進(jìn)甲食材400千克，乙食材100千克；②當(dāng)為400包時(shí)，總利潤(rùn)最大．最大總利潤(rùn)為2800元
【分析】
（1）設(shè)乙食材每千克進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)用80元購(gòu)買(mǎi)的甲食材比用20元購(gòu)買(mǎi)的乙食材多1千克列分式方程即可求解；
（2）①設(shè)每日購(gòu)進(jìn)甲食材千克，乙食材千克．根據(jù)每日用18000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用完，利用進(jìn)貨總金額為180000元，含鐵量一定列出二元一次方程組即可求解；
②設(shè)為包，根據(jù)題意，可以得到每日所獲總利潤(rùn)與m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)A的數(shù)量不低于B的數(shù)量，可以得到m的取值范圍，從而可以求得總利潤(rùn)的最大值．
【詳解】
解：（1）設(shè)乙食材每千克進(jìn)價(jià)為元，則甲食材每千克進(jìn)價(jià)為元，
由題意得，解得．
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，且符合題意．
（元）．
答：甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別為40元、20元．
（2）①設(shè)每日購(gòu)進(jìn)甲食材千克，乙食材千克．
由題意得，解得
答：每日購(gòu)進(jìn)甲食材400千克，乙食材100千克．
②設(shè)為包，則為包．
記總利潤(rùn)為元，則
．
的數(shù)量不低于的數(shù)量，
，．
，隨的增大而減小。
當(dāng)時(shí)，的最大值為2800元．
答：當(dāng)為400包時(shí)，總利潤(rùn)最大．最大總利潤(rùn)為2800元．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程、二元一次方程的應(yīng)用，解答本題時(shí)要明確題意、弄清表格數(shù)據(jù)的意義及各種量之間關(guān)系，利用方程的求未知量和一次函數(shù)的性質(zhì)解答，注意分式方程要檢驗(yàn)．

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