2022-2023學(xué)年北京市西城區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷1.  直線的傾斜角等于(    )A.  B.  C.  D. 2.  拋物線的準(zhǔn)線方程為(    )A.  B.  C.  D. 3.  在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，則(    )A. 直線坐標(biāo)平面xOy B. 直線坐標(biāo)平面xOy
C. 直線坐標(biāo)平面xOz D. 直線坐標(biāo)平面xOz4.  在的展開式中，的系數(shù)為(    )A. 6 B. 12 C. 24 D. 365.  在長(zhǎng)方體中，，，，則二面角的余弦值為(    )A.  B.  C.  D. 6.  若直線與圓相離，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(    )A.  B.
C.  D. 7.  2名輔導(dǎo)教師與3名獲獎(jiǎng)學(xué)生站成一排照相，要求2名教師分別站在兩側(cè)，則不同的站法共有(    )A. 種 B. 種 C. 種 D. 種8.  設(shè)，則“”是“直線：與直線：平行”的(    )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件9.  如圖是一個(gè)橢圓形拱橋，當(dāng)水面在l處時(shí)，在如圖所示的截面里，橋洞與其倒影恰好構(gòu)成一個(gè)橢圓．此時(shí)拱頂離水面2m，水面寬6m，那么當(dāng)水位上升1m時(shí)，水面寬度為(    )
A.  B.  C.  D. 10.  設(shè)點(diǎn)，，直線l：，于點(diǎn)M，則的最大值為(    )A.  B. 6 C. 4 D. 11.  設(shè)，，則過線段AB的中點(diǎn)，且與AB垂直的直線方程為______.12.  在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于______.13.  設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線C上，點(diǎn)，且，則______.14.  記雙曲線C：的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值______.15.  如圖，在正方體中，，E為棱的中點(diǎn)，F是正方形內(nèi)部含邊界的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面給出下列四個(gè)結(jié)論：
①動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是一段圓?。?/span>
②存在符合條件的點(diǎn)F，使得；
③三棱錐的體積的最大值為；
④設(shè)直線與平面所成角為，則的取值范圍是
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.
16.  從4男3女共7名志愿者中，選出3人參加社區(qū)義務(wù)勞動(dòng)．
共有多少種不同的選擇方法？
若要求選中的3人性別不能都相同，求共有多少種不同的選擇方法？17.  如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為正方形，E為線段AB的中點(diǎn)，
求證：；
求平面PAB與平面PBD夾角的余弦值．
18.  在平面直角坐標(biāo)系中，，，曲線C是由滿足直線PA與PB的斜率之積等于定值的點(diǎn)P組成的集合．
若曲線C是一個(gè)圓或圓的一部分，求的值；
若曲線C是一個(gè)雙曲線或雙曲線的一部分，且該雙曲線的離心率，求的取值范圍．19.  已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍．
求橢圓C的方程；
記斜率為1且過點(diǎn)F的直線為l，判斷橢圓C上是否存在關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B？若存在，求直線AB的方程；若不存在，說明理由．20.  如圖，在四棱柱中，平面ABCD，，，，E為線段的中點(diǎn)，再?gòu)南铝袃蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．
條件①：；
條件②：
求直線CE與所成角的余弦值；
求點(diǎn)到平面BCE的距離；
已知點(diǎn)M在線段上，直線EM與平面所成角的正弦值為，求線段CM的長(zhǎng)．
21.  已知橢圓C：的焦點(diǎn)在x軸上，且離心率為
求實(shí)數(shù)t的值；
若過點(diǎn)可作兩條互相垂直的直線，，且，均與橢圓C相切．證明：動(dòng)點(diǎn)P組成的集合是一個(gè)圓．
答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：由直線，可得直線的斜率為，
設(shè)其傾斜角為，，
則，
，
即直線的傾斜角的大小為
故選：
由直線方程求出直線的斜率，再由傾斜角的正切值等于斜率求得直線的傾斜角．
本題考查直線傾斜角的求法，考查傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
 2.【答案】D 【解析】解：因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，焦點(diǎn)在y軸上；
所以：，即，
所以：，
準(zhǔn)線方程，
故選：
先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)在y軸上以及，再直接代入即可求出其準(zhǔn)線方程．
本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)．解決拋物線的題目時(shí)，一定要先判斷焦點(diǎn)所在位置．
 3.【答案】C 【解析】解：由，，知，
因?yàn)槠矫?/span>xOz的一個(gè)法向量為，所以，即，
又平面xOz，
所以直線坐標(biāo)平面
故選：
平面xOz的一個(gè)法向量為，易得，再由線面平行的判定定理，得解．
本題考查空間中線面的位置關(guān)系，熟練掌握利用空間向量判斷線面平行或垂直的方法是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】C 【解析】解：的展開式通項(xiàng)為 ，
令，解得，
故的系數(shù)為
故選：
在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)中，令x的指數(shù)為2，求出參數(shù)值，然后代入通項(xiàng)，即可求解．
本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】D 【解析】解：如圖所示，
在長(zhǎng)方體中，平面，
平面，所以，又，
所以為二面角的平面角，
因?yàn)?/span>，，所以，
所以，
即二面角的余弦值為
故選：
根據(jù)條件，可知二面角的平面角為，然后求出即可．
本題主要考查二面角的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 6.【答案】B 【解析】解：圓的圓心為，半徑為1，
因?yàn)橹本€與圓相離，
所以，即得或，
故選：
根據(jù)題意可得圓心到直線的距離大于半徑，由此建立關(guān)于m的不等式，解出即可．
本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】B 【解析】解：先安排兩位老師有種排法，
三位獲獎(jiǎng)學(xué)生有種排法，
共有站法，
故選：
先將兩位老師安排，再將學(xué)生全排列，即可解出．
本題考查了統(tǒng)計(jì)與概率，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】A 【解析】解：因?yàn)椤?/span>”時(shí)，“直線：與：”
化為：與：，顯然兩條直線平行；
如果“直線：與：平行”
必有，解得或，
所以“”是“直線：與：平行”的充分不必要條件．
故選：
利用判斷兩條直線是否平行；通過兩條直線平行是否推出，即可得到答案．
本題考查充要條件的判斷，能夠正確判斷兩個(gè)命題之間的條件與結(jié)論的推出關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】A 【解析】解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意可知，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，
所以橢圓方程為：，
令得，，故水面的寬度為：，
故選：
根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，得出橢圓的方程，即可解出．
本題考查了橢圓的性質(zhì)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】B 【解析】解：直線l：，
則，
則，解得，，即直線l恒過點(diǎn)，
設(shè)，
，，
，
即
故點(diǎn)M的軌跡為，
該軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，

故選：
先求出直線l過定點(diǎn)，再根據(jù)條件求出點(diǎn)M的軌跡方程，再結(jié)合軌跡方程求出的最大值．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：定點(diǎn)的直線系，圓的方程，向量的數(shù)量積，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
 11.【答案】 【解析】解：，，
則，
則與AB垂直的直線方程的斜率，
線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
故過線段AB的中點(diǎn)，且與AB垂直的直線方程為，即
故答案為：
求出中點(diǎn)坐標(biāo)公式，直線與直線垂直，點(diǎn)斜式方程即可求出．
本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)和直線與直線的垂直，屬于基礎(chǔ)題．
 12.【答案】15 【解析】解：展開式的通項(xiàng)為，，得，
故展開式的常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng)：
故答案為：
利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得常數(shù)項(xiàng)．
本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具．
 13.【答案】 【解析】解：F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，，
由拋物線的定義可知不妨在第一象限，所以
故答案為：
利用已知條件，結(jié)合拋物線的定義，求解A的坐標(biāo)，然后求解即可．
本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
 14.【答案】內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足題意 【解析】解：雙曲線C：的離心率為e，，
雙曲線的漸近線方程為，
直線與C無公共點(diǎn)，可得，即，即，
可得，
滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值可以為：
故答案為：內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足題意
求出雙曲線漸近線方程，利用直線與C無公共點(diǎn)，推出a，b的不等式，即可得到離心率的范圍．
本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題．
 15.【答案】②③④ 【解析】解：對(duì)于①，分別取和的中點(diǎn)N，M，連接MN，，，

由正方體的性質(zhì)知，，平面，、平面，
，平面，
又MN，平面，，
平面平面，
當(dāng)F在MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有平面，
動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是線段MN，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)F為線段MN中點(diǎn)時(shí)，
，，
又，，故②正確；
對(duì)于③，三棱錐的體積，
又，
三棱錐的體積最大值為，故③正確；
對(duì)于④，連接，，則與平面所成角，
則，
，
的范圍是，故④正確．
故答案為：②③④．
對(duì)于①，利用線線平行能證明平面平面，由此能求出點(diǎn)F的軌跡；
對(duì)于②，利用線線垂直的判定與性質(zhì)直接求解；
對(duì)于③，利用三棱錐體積公式直接求解；
對(duì)于④，利用線面角的定義結(jié)合三角形性質(zhì)直接求解．
本題考查線面平行、線線垂直的判定與性質(zhì)、三棱錐體積公式、線面角定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
 16.【答案】解：由題意可知選取的方法共有種選法，
由題意選取的人為1女2男，2女1男，
共有種選法． 【解析】利用排列，組合的簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)原理對(duì)各個(gè)問題逐個(gè)求解即可．
本題考查了排列，組合的簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 17.【答案】解：證明：因?yàn)?/span>平面ABCD，平面ABCD，所以，
又底面ABCD為正方形，所以，
又，且PA，平面PAB，所以平面PAB，
因?yàn)?/span>平面PAB，所以
以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

則，，，，
則，，
設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為，
則，即，令，可得，
易知是平面PAB的一個(gè)法向量，
所以，，
所以平面PAB與平面PBD夾角的余弦值為 【解析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得，再根據(jù)底面是正方形可證明線面垂直，由線面垂直的性質(zhì)，即可得；
建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得平面PAB與平面PBD的法向量，由向量的夾角公式，即可求得二面角的余弦值．
本題主要考查直線與平面垂直的證明，平面與平面所成角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 18.【答案】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，
，
則，其中，
當(dāng)曲線C是一個(gè)圓或圓的一部分時(shí)，則，此時(shí)圓的方程為，；
曲線C是一個(gè)雙曲線或雙曲線的一部分，由可得，
焦點(diǎn)在x軸上，此時(shí)，，
則，
則，
解得，
故的取值范圍為 【解析】根據(jù)斜率公式即可求出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)軌跡方程，即可求出，此時(shí)圓的方程為，；
由軌跡方程可得焦點(diǎn)在x軸上，此時(shí)，，根據(jù)離心率公式即可求出．
本題考查了點(diǎn)的軌跡方程，雙曲線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
 19.【答案】解：由題意可得，，解得，，
所以橢圓C的方程為：；
由題意可得直線l的方程為，
假設(shè)存在A，B滿足條件，則可得直線l為線段AB的中垂線，所以直線AB的斜率為，
設(shè)直線AB的方程為，設(shè)則AB的中點(diǎn)，
由題意可得D在直線l上，
聯(lián)立，整理可得：，
可得，即，即，
，，
所以，
將D的坐標(biāo)代入直線l上，可得：，可得，不符合，
所以橢圓上不存在關(guān)于直線l的對(duì)稱A，B兩點(diǎn)． 【解析】由離心率可得a，b的關(guān)系，再由長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，可得a，b的關(guān)系，兩式聯(lián)立求出a，b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；
由題意可得直線l的方程，假設(shè)存在滿足題中的條件，可得直線l為線段AB的中垂線，設(shè)直線AB的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和，進(jìn)而求出AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，可得D點(diǎn)在直線l上，可得參數(shù)的值，不符合的條件．
本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
 20.【答案】解：選擇條件①：，
由平面ABCD，且平面ABCD，知，
因?yàn)?/span>，，，平面，所以平面，
所以，
故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，
設(shè)直線CE與所成角為，
則，，
所以直線CE與所成角的余弦值為

選擇條件②：，
過點(diǎn)C作，交AB于點(diǎn)F，
因?yàn)?/span>，所以四邊形ADCF為平行四邊形，所以，，
所以，
因?yàn)?/span>，所以，即，所以，
故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，
設(shè)直線CE與所成角為，
則，，
所以直線CE與所成角的余弦值為
，，
所以，，
設(shè)平面BCE的法向量為，則，即，
令，則，，所以，
所以點(diǎn)到平面BCE的距離
設(shè)，，則，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，，所以，
因?yàn)橹本€EM與平面所成角的正弦值為，
所以，，即，
所以，化簡(jiǎn)得，解得或，
所以或，
故線段CM的長(zhǎng)為或 【解析】選擇條件①：由，，可證平面，從而有，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線CE與所成角為，由，，得解；
選擇條件②：過點(diǎn)C作，交AB于點(diǎn)F，可證四邊形ADCF為平行四邊形，再結(jié)合勾股定理證明，從而知，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線CE與所成角為，由，，得解；
求得平面BCE的法向量，由，即可得解；
設(shè)，，求得平面的法向量，由，，可得關(guān)于的方程，解之即可．
本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握利用空間向量求異面直線夾角、線面角以及點(diǎn)到面的距離的方法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，推理論證能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 21.【答案】解：由已知得，解得，
且，，故，
故，解得；
證明：由知橢圓方程為，
當(dāng)一條切線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化簡(jiǎn)后得：
，
因?yàn)槭乔芯€，故，化簡(jiǎn)得①，
設(shè)該切線過點(diǎn)，故，得，代入①式化簡(jiǎn)得②，
再將代入上式整理得③，
②+③得，故④，
當(dāng)或不存在時(shí)，兩切線只能是，且，
它們的交點(diǎn)為，顯然滿足方程④，
故動(dòng)點(diǎn)P組成的集合是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓． 【解析】利用離心率的計(jì)算公式直接求解；
根據(jù)寫出，的點(diǎn)斜式方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用得到，k，d的關(guān)系式①，再將代入切線方程，整理后代入①式，找到m，n的一個(gè)關(guān)系式②，再利用是另一條切線的斜率，替換②式中的t，得到另一個(gè)m，n的關(guān)系式③，最后結(jié)合②③兩式不難得到結(jié)論，最后驗(yàn)證斜率不存在的情況．
本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的求法，同時(shí)考查了直線與橢圓的位置關(guān)系問題的解題思路，屬于難題．
 

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