?專題04 圖形的相似（難點）
一、單選題
1．下列說法正確的是（????）
A．兩個直角三角形相似
B．兩條邊對應成比例，一組對應角相等的兩個三角形相似
C．有一個角為40°的兩個等腰三角形相似
D．有一個角為100°的兩個等腰三角形相似
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷即可得解．
【解析】解：A、∵兩個直角三角形只有一組角相等，
∴兩個直角三角形不一定相似，故選項A不合題意；
B、∵兩條邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，
∴兩條邊對應成比例，一組對應角相等的兩個三角形不一定相似，
故選項B不合題意；
C、∵底角為40°的等腰三角形和頂角為40°的等腰三角形不相似，
∴有一個角為40°的兩個等腰三角形不一定相似，故選項C不合題意；
D、∵有一個角為100°的兩個等腰三角形相似，
∴選項D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．
2．下列說法不正確的是（　?。?br /> A．將一個矩形風景畫的四周鑲上寬度相等的金邊后得到的新矩形與原矩形相似
B．若線段a＝5cm，b＝2cm，則a：b＝5：2
C．若線段AB＝cm，C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則AC＝cm
D．若兩個相似多邊形的面積比為16：9，那么這兩個相似多邊形的周長比是4：3
【答案】A
【分析】直接利用成比例線段以及相似多邊形的性質(zhì)、黃金分割的性質(zhì)分別判斷得出答案．
【解析】解：A、將一個矩形風景畫的四周鑲上寬度相等的金邊后得到的新矩形與原矩形不一定相似，原說法錯誤，故此選項符合題意；
B、若線段a=5cm，b=2cm，則a：b=5：2，正確，故此選項不符合題意；
C、若線段AB＝cm，C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則 cm，正確，故此選項不符合題意；
D、若兩個相似多邊形的面積比為16：9，那么這兩個相似多邊形的周長比是4：3，正確，故此選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，成比例線段，黃金分割，掌握它們的概念和性質(zhì)是解題的關鍵．
3．點是線段的黃金分割點，且，下列命題：，中正確的有（???????）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．
【解析】∵點P是線段AB的黃金分割點，且AP＞PB，
∴根據(jù)線段黃金分割的定義得：AP2＝PB?AB，AP：AB＝PB：AP，
∴只有②④正確．
故選B．
【點睛】本題主要考查了理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵．本題同時考查了乘積形式和比例形式的轉(zhuǎn)化，難度適中．
4．如圖，在中，，，下列結(jié)論正確的是（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)，即可解答．
【解析】
，

，

故選：D．
【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，解題關鍵是熟練運用這個性質(zhì)得到線段的比例關系．
5．如圖，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．點D和點E分別是BC邊和AB邊上兩點，連接DE．將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，點B恰好落在AC的中點處，設DE與BB交于點F，則EF＝（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，過B′作B′H⊥AB與H，得到AH＝B′HAB′，求得AH＝B′H＝1，根據(jù)勾股定理得到BB′，由折疊的性質(zhì)得到BFBB′，DE⊥BB′，根據(jù)相似三角形即可得到結(jié)論．
【解析】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，
過B′作B′H⊥AB與H，

∴△AHB′是等腰直角三角形，
∴AH＝B′HAB′，
∵AB′AC，
∴AH＝B′H＝1，
∴BH＝3，
∴BB′，
∵將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，
∴BFBB′，DE⊥BB′，
∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，
∵∠EBF＝∠B′BH，
∴△BFE∽△BHB′，
∴，
∴，
∴EF，
故答案為：．
故選：C．
【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵．
6．如圖，一次函數(shù)的圖像與x、y軸分別相交于A、C兩點，二次函數(shù)的圖象過點C且與一次函數(shù)在第二象限交于另一點B，若，那么，這個二次函數(shù)的頂點坐標為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出點，點，然后得到，設點B為，再根據(jù)坐標關系求出和b，就解決問題了．
【解析】解：由圖像知：
點，點
即，
∴，可設B，
過點B作軸于點D，則軸，如圖：

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵點B在第二象限，
∴，解得：，
∴，
∴頂點坐標是；
故選：A．
【點睛】此題主要考查函數(shù)圖象與坐標關系，平行線分線段成比例，解題的關鍵是掌握所學的知識，正確的作出輔助線，從而進行解題．
7．如圖，正方形可看成是分別以、、、為位似中心將正方形放大一倍得到的圖形（正方形的邊長放大到原來的倍），由正方形到正方形，我們稱之作了一次變換，再將正方形作一次變換就得到正方形，…，依此下去，作了次變換后得到正方形，若正方形的面積是，那么正方形的面積是多少（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)每次變換后，正方形的邊長放大3倍，可得出作2005次變換后的正方形的邊長為 ，從而計算面積即可.
【解析】因為ABCD的面積為1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次變換后正方形的邊長為3=3，二次變換后正方形的邊長為：9=，三次變換后正方形的邊長為：27=，…n次變換后正方形的邊長為：，故作2005次變換后的正方形的邊長為，
此時正方形的面積為：，
故選C.
【點睛】本題考查了位似變換的知識，根據(jù)每次變換后邊長放大3倍，得出2005次變換后正方形的邊長是解題關鍵.
8．如圖，是的直徑，弦于點E，G是弧上任意一點，線段與交于點F，連接．若，則的直徑為（????）

A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】（1）連接AC，由垂徑定理可得AC=AD，再根據(jù)圓周角定理推導出,得到△ACF∽△AGC，得AC2=,根據(jù)勾股定理求出AE，連接BD最后用△ADE∽△ABD即可得直徑AB；
【解析】
連接AC, BD
弦于點E
AC=AD,


△ACF∽△AGC

AC2=,AC=
△ADE是直角三角形，∠AED＝90°，
,
,∠AED＝∠ADB=90°
△ADE∽△ABD
,

故答案選：C
【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理及推論、垂徑定理，相似三角形，解題關鍵是熟練掌握直徑所對的圓周角是直角，過圓心且垂直于弦的直線平分這條弦．滿足勾股定理的各邊關系，相似三角對應邊成比例是重要等量關系．
9．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝與x軸的正半軸交于點A，B點為拋物線的頂點，C點為該物線對稱軸上一點，則的最小值為（????）

A． B．25 C．30 D．
【答案】A
【分析】連接OB，過C點作CM⊥OB于M點，過A點作AN⊥OB于N點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D，先求出拋物線與坐標軸的交點坐標，繼而得出BD、OA、OD，在證明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，進而可得3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，當A、C、M三點共線，且三點連線垂直O(jiān)B時，AC+CM最小，根據(jù)求出AN，AC+CM最小值即為AN，則問題得解．
【解析】連接OB，過C點作CM⊥OB于M點，過A點作AN⊥OB于N點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D，如圖，

令y=0，得方程，解得x=0或者x=6，
∴A點坐標為(6,0)，即OA=6，
將配成頂點式得：，
∴B點坐標為(3,4)，
∴BD=4，OD=3，
∵CM⊥OB，AN⊥OB，
∴∠BMC=∠ANO=90°，
根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)可知BD⊥OA，
∴∠BDO=90°，
在Rt△BDO中，利用勾股定理得，
∵∠OBD=∠CBM，∠BDO=90°=∠BMC
∴△OBD∽△CBM，
同理可證得△OBD∽△OAN，
∴，，
∴，即3BC=5MC，
∴3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，
∵當A、C、M三點共線，且三點連線垂直O(jiān)B時，AC+CM最小，
∴AC+CM最小值為AN，如圖所示，
∵，
∴，
∴AC+CM最小值，
∴即3BC+5AC=5(AC+CM)=24，
故選：A．
【點睛】本題考查了求拋物線與坐標軸的交點和拋物線頂點的坐標、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識，利用三角形相似得出3BC=5MC，進而得出3BC+5AC=5(AC+CM)是解答本題的關鍵．
10．如圖1，是清代數(shù)學家李之鉉在他的著作《幾何易簡集》中研究過的一個圖形，小圓同學在研究該圖形后設計了圖2，延長正方形的邊至點，作矩形，以為直徑作半圓交于點，以為邊做正方形，在上，記正方形，正方形，矩形的面積分別為，，，則（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】做輔助線，連接BF、ME、BE，設正方形ABCD的邊長為a，正方形CEFG的邊長為b，CM=c，通過推理得出a、b、c之間的數(shù)量關系，便可解決問題．
【解析】解：連接BF、ME、BE，如圖，

∵EFBM，
∴，
∴BF＝ME，
∵∠BGF＝∠MCE＝90°，GF＝CE，
∴（HL），
∴BG＝CM，
∵BM是⊙O的直徑，
∴∠BEM＝90°，
∴∠CEM+∠CEB＝∠CEM+∠CME＝90°，
∴∠CEB＝∠CME，
∵∠BCE＝∠ECM＝90°，
∴，
∴，即CE2＝CB?CM，
設正方形ABCD的邊長為a，正方形CEFG的邊長為b，BG＝CM＝c，
則，
∴（a﹣c）2＝ac，
整理得，a2+c2＝3ac，
即，
∴，或
∵a＞c，
∴舍去，
∴，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，以及全等三角形和相似三角形的性質(zhì)與判定，關鍵得出正方形的邊長、矩形的邊長之間的數(shù)量關系．

二、填空題
11．若==（x，y，z均不為0），=1，則m的值為______ ．
【答案】4
【分析】可以設===a，進而可以得出x、y、z的值，代入所要求的方程中即可得出答案．
【解析】解：設===a，
∴x=2a，y=3a，z=am，
∵= =1，
∴m=4，
故答案為4．
【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解決此類問題要求不拘泥于形式，能夠根據(jù)不同的條件來得出不同的求解方法．在平時要多加練習，熟能生巧，解題會很方便．
12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，點G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，則GH的長為_______．

【答案】2
【分析】如圖，連接AG并延長AG交BC于D，由重心的性質(zhì)可知，可得，由GH⊥BC，∠ACB=90°可得GH//BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得答案．
【解析】如圖，連接AG并延長AG交BC于D，
∵點G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，即，
∴，
∵由GH⊥BC，∠ACB=90°，
∴GH//BC，
∴，
∵AC=6，
∴GH=AC·=6×=2，

故答案為：2
【點睛】此題考查的是重心的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理，掌握重心的性質(zhì)，根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式是解決此題的關鍵．
13．如圖，△ABC頂角是36°的等腰三角形（底與腰的比為的三角形是黃金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形，已知AB＝8，則DE＝___．

【答案】##
【分析】頂角是的等腰三角形，則兩底角為，這樣的三角形稱為黃金三角形，又、都是黃金三角形，可證BC=BD=AD，DE=DC，利用DE=DC=AC-AD=AB-BC求解．
【解析】解：根據(jù)題意可知，BC=AB，
∵頂角是的等腰三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=，
又∵也是黃金三角形，
∴∠CBD=，BC=BD，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD==∠A，
∴BD=AD，同理可證DE=DC，
∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-AB=．
故答案為：．
【點睛】黃金三角形是較特殊的三角形，幾個黃金三角形疊合在一起，可構造出若干個等腰三角形，利用等腰三角形的邊相等進行代換．
14．如圖，已知和是以點C為位似中心的位似圖形，且點C與點D在直線同側(cè)和的周長之比為，點C的坐標為(-2，0)，若點A的坐標為(-4，3)，則點E的坐標為______．

【答案】
【分析】先利用位似的性質(zhì)得到△ABC和△EDC的位似比為1：2，然后利用平移的方法把位似中心平移到原點解決問題．
【解析】解：∵△ABC和△EDC是以點C為位似中心的位似圖形，
而△ABC和△EDC的周長之比為1：2，
∴△ABC和△EDC的位似比為1：2，
把C點向右平移2個單位到原點，則A點向右平移2個單位的對應點的坐標為（-2，3），
點（-2，3）以原點為位似中心的對應點的坐標為（4，-6），
把點（4，-6）向左平移2個單位得到（2，-6），
∴E點坐標為（2，-6）．
故填：．
【點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．也考查了轉(zhuǎn)化的思想．
15．如圖，AB是圓O的直徑，將AB繞點B旋轉(zhuǎn)后交圓O于D點，點E是弦BD上一個動點，連接AE并延長交圓O于點F，若圓O的半徑為5，則的最小值為_____．

【答案】2
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由直角三角形的性質(zhì)可得的長，通過證明可得，即可求解．
【解析】解：如圖，連接，過點O作，交于N，交于M，過點F作于H，

∵是直徑，
∴
∵將繞點B旋轉(zhuǎn)30°后交圓O于D點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴取最大值時，有最小值，
∴當點F與點M重合時，有最大值為，
∴的最小值為2，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．
16．如圖，在中，，，動點P在射線上，交于點D，的平分線交于點Q，當時，的值為______．

【答案】18
【分析】如圖，延長交的延長線于G．首先證明，，由，推出＝＝3，即可求出解決問題．
【解析】解：如圖，延長交的延長線于G．

∵
∴
∴
∵∠GBC＝∠GBP
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴＝＝3
∵
∴
∴
故答案為：18．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．
17．如圖，已知直線與軸、軸分別交于點和點，且長是關于的方程的兩個實數(shù)根，以為直徑的與交于，作射線，交軸于點，點為的中點，則線段的長為___________．

【答案】##
【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關系求出的長，故可得出圓的半徑．連接是的直徑，則，由為的中點得出，故可得出，再由得出，故，再根據(jù)，得出∽，再由相似三角形的對應邊成比例即可得出結(jié)論．
【解析】解：、長是關于的方程的兩實根，，則，
得的半徑為；
，
．
連接是的直徑，則為的中點，

，
，
又，
，
，
是的切線．
，
∽，
，
，
．
【點睛】本題考查的是圓的綜合題，涉及到圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．
18．如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC上一點，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，交直線CD于點F．以BE和BF為鄰邊作平行四邊形BEHF，M是BH的中點，連接GM，若AB＝3，BC＝2，則GM的最小值為_______．

【答案】
【分析】先判斷出EF最小時，GM最小，設BE=x，證明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF，求出最值即可得到GM的最小值．
【解析】連接EF

∵四邊形BEHF是平行四邊形，
∴EM=FM，
∵∠EGF=90°，
∴GM=EF，
∴要GM最小，即EF最小，
∵AB=3，BC=2，
設BE=x，則CE=2-x，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ABC=90°，即∠BAE+∠AEB=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
又∵∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴，即，
∴，
∴，，
∴EF的最小值為，
故GM的最小值為．
故答案為．
【點睛】本題考查了矩形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，明確EF最小時，GM最小是解題的關鍵．

三、解答題
19．如圖，在的方格紙中有一個格點，請按要求畫線段．
(1)在圖中，過點畫一條格點線段(端點在格點上)，使．


(2)在圖中，僅用沒有刻度的直尺標出上一點，使得．


(3)在圖中，僅用沒有刻度的直尺找出上一點上一點，連結(jié)，使．(保留作圖痕跡)


【答案】(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
(3)作圖見解析

【分析】（1）將點向上平移一個單位，得到，則四邊形是平行四邊形，可得；
（2）取格點，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則即為所求；
（3）根據(jù)（2）的方法找出點，連接即可求解．
【解析】（1）如圖所示，

（2）如圖，取格點，連接，交于點，則即為所求，????

∵，
∴，
∴，
即：；
（3）如圖所示，取格點，連接交于點，同理取得點，連接，則即為所求，

理由：根據(jù)（2）可得，
則，
又∵
∴，
∴，
即．
【點睛】本題考查了無刻度直尺格點作圖，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關鍵．
20．如圖，在銳角三角形中，點D在邊上，于點E，于點F，．

(1)求證：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)答案見解析

(2)

【分析】（1）先證，再證，即可解決問題；
（2）由（1）可知：，推出，再證，可得答案．
【解析】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）可知：，
，
，
，
，，
，
，
．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和，解題的關鍵是證明三角形相似．
21．如圖，在矩形中，，，是邊的中點，點在線段上，過作于，設．

(1)求證：．
(2)當點在線段上運動時，是否存在實數(shù)，使得以點，，為頂點的三角形也與相似？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)存在，的值為或

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件可以證明兩個角對應相等，從而證明三角形相似；
（2）分情況討論 ：①當時，則得到四邊形為矩形，從而求得x的值；②當時，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，得到等腰．再根據(jù)等腰三角形的三線合一得到是的中點，運用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)進行求解．
【解析】（1）證明：∵矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解： ①若，如圖1，

則，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，即．
②如圖2，若，

則，
∵
∴，
∴．
∴．
∵，
∴點為的中點，
中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴滿足條件的的值為或．
【點睛】本題考查動點問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，解題關鍵是確定動點運動過程中，有幾種對應的圖形，然后再根據(jù)圖形性質(zhì)分析求解．
22．如圖1，中，，是的高．

(1)與相似嗎？為什么？
(2)如圖2，若，，的中點為F，的中點為M，連接，求的長．
【答案】(1)，理由見解析；
(2)

【分析】（1）由題意，、是高，則，是公共角，即可得出，進而可推出，又 ，根據(jù)相似三角形的判定定理即可證得；
（2）連接、，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，由已知條件得，進而可求得，由勾股定理即可求出的長．
【解析】（1）、是的高．
，
，
，
，即，
，
；
（2）連接、，

∵是的高，為的中點，
∴在中，，
同理可得，
∴，
∵是的中點，
∴，
由，設，
∴，
∴，
∵

∴，
∵，且，
∴．
∴．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關鍵．
23．已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，且與y軸交于點，B點坐標為，點C為拋物線上一動點，以C為圓心，為半徑的圓交x軸于M，N兩點（M在N的左側(cè)）．

(1)求此二次函數(shù)的表達式；
(2)當點C在拋物線上運動時，弦的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出弦的長；
(3)當與相似時，求出M點的坐標．
【答案】(1)
(2)不變，4
(3)

【分析】（1）設拋物線的表達式為，然后將代入可求得a的值，從而可求得二次函數(shù)的表達式；
（2）過點C作軸，垂足為H，連接、，由勾股定理可知，依據(jù)兩點間的距離公式可求得，結(jié)合垂徑定理可求得的長；
（3）分為點C與點A重合，點C在點A的左側(cè)，點C在點A的右側(cè)三種情況畫出圖形，然后依據(jù)相似三角形的對應邊成比例可求得的距離，從而可求得點M的坐標．
【解析】（1）設拋物線的表達式為，
將代入得：，解得：
∴拋物線的表達式為：
（2）的長不發(fā)生變化．
理由：如圖1所示，過點C作軸，垂足為H，連接、．

設點C的坐標為．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴不發(fā)生變化．
（3）如圖2所示：

①當點C與點A重合時．
∵經(jīng)過點C，
∴為圓C的直徑，
∴，
∵點，
∴．
②如圖3所示：

∵，
∴，即，
設，則，
解得：（舍去），
又∵點，
∴，
∴點M的坐標為．
如圖4所示：

∵，
∴，
設，則，
解得：（舍去），
又∵點，
∴，
∴點M的坐標為．
【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)函數(shù)的解析式、垂徑定理、兩點間的距離公式、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)，分為點C與點A重合，點C在點A的左側(cè)，點C在點A的右側(cè)三種情況畫出圖形，并由相似三角形的性質(zhì)求得AM的長是解題的關鍵．
24．如圖，已知矩形中，過對角線的中點O作的垂線，分別交射線和于點E、F，交于點G，交于點H，連接，．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，的面積是3，求的面積；
(3)如果，求證：．
【答案】(1)見解析
(2)27
(3)見解析

【分析】（1）先證，推出，，證明四邊形是平行四邊形，結(jié)合，即可證明四邊形是菱形；
（2）先利用證明，根據(jù)面積比等于相似比的平方得出，求出即可得出答案；
（3）先證，推出，再根據(jù)證明，即可得到，即可證明．
【解析】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是菱形；
（2）解：∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴,
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關鍵是從圖中找出相似三角形，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出相關線段的關系．
25．如圖1，拋物線經(jīng)過點、，并交軸于另一點，點在第一象限的拋物線上，交直線于點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；
(2)如圖1，當點P的坐標為時，求四邊形的面積；
(3)請利用備用圖，若點Q也是拋物線上的一點，
①當?shù)闹底畲髸r，求此時點P的坐標；
②當?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r，求點Q的橫坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)①
②或1或或

【分析】（1）將，兩點坐標代入拋物線的解析式，進一步求得結(jié)果；
（2）可推出是直角三角形，進而求出和的面積之和，從而求得四邊形的面積；
（3）①作交的延長線于，根據(jù)，求得的函數(shù)解析式，從而求得點坐標，
②分三種情況：當時，當時，當時，通過構造“一線三直角”求解即可．
【解析】（1）解：由題意得，
，
，
該拋物線的函數(shù)表達式為：；
（2）解：當時，，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：①如圖1，作交的延長線于，

設，
，，
直線的解析式為：，
由得，
，
，
，
，
，
當時，，
當時，，
，
②設，
如圖2，當時，過點作軸平行線，作于，作于，則，

，
，
或（舍去），
如圖3，當時，過于，作于，可得，

，
，
可得，，
如圖4，當時，作于，作于，

同理可得：，
或（舍去）
綜上所述：點的橫坐標為：或1或或；
【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握“一線三直角”模型及需要較強計算能力．
26．如圖在中，以為圓心，以為半徑作，交于，連接，．

(1)求證：與相切．
(2)取上一點，連接，若，求證：．
(3)在（2）的條件下，若是的中點，，延長交于，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)

【分析】（1）設，則，則，即可求解；
（2）證明，得到，進而求解；
（3）證明，得到，在中，由勾股定理得：，解得，進而求解．
【解析】（1）設，則，
∵
∴
∴
∴
∵為圓的半徑，
∴與相切．
（2）在上取點，使，連接，

∵
∴，
∴
∵
∴
設
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴；
（3）過點作于點，則，設交于點，

由（2）知，
∴
∴則
∵點是的中點，
∴，
∵，
∴
∴
∵點是的中點，
∴
∴
則，則，
設，則，，
在中，由勾股定理得：，
解得，
故
設，則，則，解得，
則．
【點睛】本題是圓綜合題，主要考查了三角形全等和相似、三角形中位線的判定與性質(zhì)、勾股定理的運用等．
27．如圖，矩形中，，，點P是射線上的一動點，，垂足為E，與射線交于點F．

(1)若點P在邊上（與點D、點A不重合）．
①求證：；
②設，，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；
(2)當與面積之比為時，線段的長為多少？（直接寫出答案，不必說明理由）．
【答案】(1)①證明見解析；②，
(2)長為或或

【分析】（1）①通過，可得，同理可證，即可求解；
②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明，再利用相似三角形的性質(zhì)得出 ，即可得解；
（2）設線段的長為，根據(jù)與面積之比為，分三種情況討論，分別列出方程，求解即可．
【解析】（1）①∵四邊形為矩形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
②∵，
∴，
∵，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x的取值范圍為．
（2）設線段的長為，中邊的高為，中邊的高為，
由（1）得，，即；
∵與面積之比為，
，即，
①當點P在線段上，點在線段上時，如圖，

此時，，
，即，
，
，
整理得，
解得（負舍）；
②當點P在線段的延長線上，點在線段上時，如圖，

此時，，
，即，
，
，
整理得，
解得（負舍）；
③當點P在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，如圖，

此時，，
，即，
，
，
整理得，
解得（負舍）；
綜上，長為或或．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)表達式，熟練掌握知識點并能夠運用分類討論的思想是解題的關鍵．
28．如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，B是x軸正半軸上一動點，以為直徑畫交x軸于點D，連接，過點A作交于點E，連接、．

(1)求的度數(shù)．
(2)求證：．
(3)如圖2，連接，過點C作于點F，過點F作交的延長線于點G，設點B的橫坐標為t．
①用含t的代數(shù)式表示．
②記，求S關于t的函數(shù)表達式．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)①；②
【分析】（1）證明，則，即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）①由得到，即，即可求解；②證明，則，故．
【解析】（1）解：∵為直徑，
∴，
又，
∴，
又，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度數(shù)為；
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①∵，
∴，
∵AD=AO=2，則，
∵點B的坐標為，則，，
∴，即，
∴；
②過點B作交的延長線于點M，連接，

∵，故點F是的中點，
∵，故是的中位線，
則，
由（1）知，則，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了函數(shù)的基本知識、圓的基本性質(zhì)、三角形相似等，綜合性強，難度大，正確作出輔助線是本題解題的關鍵．



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