2022-2023學(xué)年廣西欽州市第四中學(xué)高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．以下給出了4個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：，，對(duì)應(yīng)關(guān)系：，，；，對(duì)應(yīng)關(guān)系中的元素對(duì)應(yīng)它除以4的余數(shù)；{你們班的同學(xué)}，{身高}，：每個(gè)同學(xué)的身高；{三角形的周長(zhǎng)}，{所有的三角形}，：周長(zhǎng)相等的三角形；其中可稱(chēng)為映射的對(duì)應(yīng)關(guān)系共有（    ）個(gè)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】題目考察映射的概念，即一個(gè)變量有且只有一個(gè)應(yīng)變量與之相對(duì)應(yīng)，可稱(chēng)之為映射關(guān)系【詳解】①集合A中的元素 在集合B中沒(méi)有與它相對(duì)應(yīng)的元素，不可構(gòu)成映射，故錯(cuò)誤；②任何一個(gè)整數(shù)除以4的余數(shù)只能是0，1，2，3中的一個(gè)，所以集合A中的元素在集合B中有且只有一個(gè)元素與它相對(duì)應(yīng)，可構(gòu)成映射，故正確；③M中任意一個(gè)元素（同學(xué)），在N中有且只有一個(gè)元素與它相對(duì)應(yīng)，可構(gòu)成映射，故正確；④因?yàn)橄嗤闹荛L(zhǎng)對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)個(gè)不同的三角形，所以M中任意一個(gè)元素，在N中不是有且只有一個(gè)元素與它相對(duì)應(yīng)，不可構(gòu)成映射，故錯(cuò)誤.則有兩個(gè)可稱(chēng)為映射的對(duì)應(yīng)關(guān)系故選：C2．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】所求的分母特征，利用變形構(gòu)造，再等價(jià)變形，利用基本不等式求最值.【詳解】解：因?yàn)?/span>滿(mǎn)足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.3．設(shè)，，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)題意求出條件的取值范圍，再根據(jù)是的充分不必要條件列不等式組求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：由得，所以，，若是的充分不必要條件，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍．故選：A．4．設(shè)全集，集合，若，則的值為（    ）A．4 B．2 C．2或4 D．1或2【答案】B【分析】由可知，由此即可解出，則可求出，再由可知，由此即可求出答案.【詳解】因?yàn)?/span>所以所以解得：，或所以，所以，所以解得：或，且解得：且所以.故選：B5．設(shè)集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集并集的定義即可求出.【詳解】，，.故選：C.6．若，且，則稱(chēng)A為“影子關(guān)系”集合．在集合的所有非空子集中，為“影子關(guān)系”集合的有（    ）A．3個(gè) B．4個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】C【分析】結(jié)合“影子關(guān)系”集合定義直接列舉即可.【詳解】由“影子關(guān)系”集合定義可知，集合中，為影子關(guān)系的集合有.故選：C7．若函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是A． B． C． D．【答案】B【分析】將復(fù)合函數(shù)拆成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù),利用兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性以及”同增異減”原則可確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】將原函數(shù)看成復(fù)合函數(shù)因?yàn)?/span>是關(guān)于u的減函數(shù)，u在為增函數(shù)，在為減函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)知，的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,屬于中檔題.求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,一般是通過(guò)將復(fù)合函數(shù)拆成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù),再利用兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性以及”同增異減”原則,可確定復(fù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.8．設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是（    ）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)【答案】B【解析】函數(shù)y＝x3與y＝的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的零點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間的問(wèn)題，再由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得到答案．【詳解】設(shè)，則是增函數(shù)，又.所以，所以x0所在的區(qū)間是(1，2)故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)，考查函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)，正確運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，屬于中檔題.9．已知函數(shù)，若其值域?yàn)?/span>，則可能的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】令則，由選項(xiàng)的的范圍分別求值域即可得解.【詳解】令則，對(duì)稱(chēng)軸為.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿(mǎn)足題意.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法求值域，注意新元的范圍，屬于基礎(chǔ)題.10．已知，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、與的大小關(guān)系，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較、與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【詳解】指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，則，即，冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即.因此，.故選：D.11．定義運(yùn)算 ，則函數(shù)的圖像是（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合函數(shù)新定義與指數(shù)函數(shù)圖像求解即可.【詳解】解：因?yàn)檫\(yùn)算，所以，，所以，根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像可知A選項(xiàng)滿(mǎn)足題意.故選：A12．化簡(jiǎn)(的結(jié)果是A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>,所以原式的分子分母同乘以,所以原式,,,故選：B. 二、填空題13．若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則為__________.【答案】【分析】分段函數(shù)分段求出值域，然后再求并集。【詳解】時(shí)，，，∴，時(shí)，，，綜上函數(shù)的值域?yàn)?/span>，即。故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)值域，分段函數(shù)值域應(yīng)該對(duì)每一段分別求出值域，然后求并集。14．計(jì)算的值為__________．【答案】【分析】原式，計(jì)算即可.【詳解】.故答案為:110.15．若關(guān)于的函數(shù)的最大值為，最小值為，且，則實(shí)數(shù)的值為___________【答案】3【分析】先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到為奇函數(shù)，再結(jié)合的定義域，可得，從而求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?/span>R，且令，可得：，所以是奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，且定義域?yàn)?/span>R，故最大值與最小值互為相反數(shù)，所以，即，，解得：.故答案為：316．設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù),且,則不等式的解集為_____.【答案】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的單調(diào)性及，；結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可確定在不同區(qū)間內(nèi)的正負(fù)，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】若奇函數(shù)在上為增函數(shù)，則在上也為增函數(shù)    當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)奇偶性確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的正負(fù). 三、解答題17．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)、的值；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明.【答案】(1).(2)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析. 【分析】（1）由奇函數(shù)的定義建立方程組，求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義可判斷和證明..【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，且，所以.所以，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以.（2）解：在上單調(diào)遞增.證明如下：由(1)知，任取，則，則.，，，，又，，，在上單調(diào)遞增.18．規(guī)定為不超過(guò)t的最大整數(shù)，例如，.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，令，，進(jìn)一步令.（1）分別求和；（2）求x的取值范圍，使它同時(shí)滿(mǎn)足，.【答案】（1），3；（2）.【分析】（1）直接利用題目信息的要求求出函數(shù)的值；（2）利用已知，，，又，根據(jù)規(guī)定為不超過(guò)t的最大整數(shù)，可得不等式組，解出即為x的取值范圍.【詳解】（1）∵當(dāng)時(shí)，，，.（2），，.解得.故滿(mǎn)足題意的x的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題為創(chuàng)新題，考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵在于對(duì)題目中新定義?新概念的理解和應(yīng)用，例如本題中若，則必有成立，屬于較難題.19．國(guó)慶期間，某旅行社帶旅游團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅游團(tuán)人數(shù)不超過(guò)，游客需付給旅行社飛機(jī)票每張元；若旅游團(tuán)人數(shù)多于，則給予優(yōu)惠：每多人，機(jī)票每張減少元，直到達(dá)到最多人數(shù)為止.旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)元．(1)寫(xiě)出飛機(jī)票的價(jià)格單位：元關(guān)于旅游團(tuán)人數(shù)單位：人的函數(shù)關(guān)系式．(2)旅游團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)【答案】(1)(2)60 【分析】（1）利用分段函數(shù)即可得到飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于旅游團(tuán)人數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用分段函數(shù)的值域即可求得旅游團(tuán)人數(shù)為60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)【詳解】（1）由題意，得即（2）設(shè)旅行社獲利元，則即因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最大值元．又，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)旅游團(tuán)人數(shù)為時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)．20．已知全集，集合，，．（1）若，求；（2）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并給出解答．問(wèn)題：已知，：______，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）由得到，化簡(jiǎn)集合B，再利用交集運(yùn)算求解. （2）選擇條件①．根據(jù)是的充分不必要條件，即求解；選擇條件②．根據(jù)是的充分不必要條件，由求解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得或．所以或．所以或．（2）方案一：選擇條件①．因?yàn)?/span>是的充分不必要條件，所以，因?yàn)?/span>，所以或．所以或，．所以．即，解得．方案二：選擇條件②．因?yàn)?/span>是的充分不必要條件，所以，因?yàn)?/span>，所以或．所以或，．所以．即，解得．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決此類(lèi)問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解，在求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，21．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的實(shí)數(shù)存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．問(wèn)題：已知集合，，是否存在實(shí)數(shù)，使得______？注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】先化簡(jiǎn)集合A、B，再選擇一個(gè)條件，利用集合間的關(guān)系，按實(shí)數(shù)分類(lèi)討論并列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，                                        若選擇，則，                                 當(dāng)時(shí)，要使，則，所以；  當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意；                            當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足題意．                         所以選擇，則實(shí)數(shù)的取值范圍是                        若選擇，當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足題意；               當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足題意；                          當(dāng)時(shí)，，，不滿(mǎn)足題意．            所以選擇，則實(shí)數(shù)的取值范圍是                   若選擇，當(dāng)時(shí)，，，而，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，，而，滿(mǎn)足題意；                 當(dāng)時(shí)，，，而，滿(mǎn)足題意．  所以選擇，則實(shí)數(shù)的取值范圍是22．已知函數(shù)定義域集合為A，集合，集合.（1）若，求的取值范圍；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定集合，根據(jù)交集的結(jié)果得參數(shù)范圍；（2）由必要不充分條件得，由集合包含關(guān)系可得參數(shù)范圍．【詳解】（1） ，.因?yàn)?/span>，所以或，所以.（2）因?yàn)?/span>“”是“”的必要不充分條件，所以A是C的真子集，，即所以 

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