重慶外國語學(xué)校高2024屆在線學(xué)習(xí)反饋檢測數(shù)學(xué)試題（滿分150分，120分鐘完成）一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 在等差數(shù)列中，若，則等于（）A. 13 B. 14 C. 15 D. 16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和的性質(zhì)，可知，即可求得答案.【詳解】在等差數(shù)列中，若,則，故選：B2. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】將拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求解.【詳解】由得，故焦點(diǎn)為，故選：D3. “”是“直線與直線垂直”的（）A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的條件，求解范圍即可求解.【詳解】若直線與直線垂直，則或，故“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件，故選：B4. 若數(shù)列滿足，則的值為（）A.  B.  C.  D. 2【答案】D【解析】【分析】由遞推公式依次列舉，可得數(shù)列最小正周期，即可求值.【詳解】由得，故有.故數(shù)列由最小正周期6，故.故選：D5. 是空間的一組基底，則可以與向量構(gòu)成基底的向量（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量基底的定義和共面向量的充要條件逐一判斷即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>是空間的一組基底，所以不共面，不共線，因?yàn)?/span>，若，則，顯然這樣的不存在，所以不共線，對(duì)于A，因?yàn)?/span>，所以，由共面的充要條件知，共面，故不能構(gòu)成基底向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以，由共面的充要條件知，共面，故不能構(gòu)成基底向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，若，顯然這樣不存在，所以不能用與表示，不共面，故能構(gòu)成基底向量，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以，由共面的充要條件知，共面，故不能構(gòu)成基底向量，故D錯(cuò)誤.故選：C.6. 我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題（意為）：“有一個(gè)人要走508里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了7天后到達(dá)目的地．”那么，此人第1天走的路程是（）A. 81里 B. 192里 C. 128里 D. 256里【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的知識(shí)列方程，求得首項(xiàng)，從而求得正確答案.【詳解】依題意可知這個(gè)人每天走的路程成公比的等比數(shù)列，所以（里）.故選：D7. 已知圓與直線相交于兩點(diǎn)，則當(dāng)的面積為時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（）A. 2 B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】寫出圓心，半徑.求出圓心到直線的距離，.表示出弦長，即可得出的面積，結(jié)合已知可得，整理得出，即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由已知可得，圓心，半徑.則圓心到直線，即直線的距離，所以.又，所以.又的面積為，即，整理可得，，所以或.又，所以.故選：A.8. 已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，高為的梯形的兩頂點(diǎn)分別在雙曲線的左?右支上，且，則該雙曲線的離心率等于（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由梯形的高可推得 ，，設(shè)，由雙曲線的定義及 ，可得 的表達(dá)式，在 和中，由余弦定理，整理可得 的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率的值．【詳解】如圖示，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，高為的梯形的兩頂點(diǎn)分別在雙曲線的左?右支上，且，設(shè)于C點(diǎn)，在中，，而高為的梯形中，可得 ，所以 所以可得,,設(shè)，則 ，因?yàn)?, 則,，在中可得： ， 即 ，可得①，在中,，整理可得∶②，①②相減得，故，故選∶C二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 已知雙曲線，則（）A. 雙曲線與圓有2個(gè)公共點(diǎn)B. 雙曲線的離心率與橢圓的離心率相同C. 雙曲線的漸近線斜率與雙曲線的漸近線的斜率互為倒數(shù)D. 雙曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓的離心率公式、結(jié)合雙曲線的漸近線方程、一元二次方程根的判別式逐一判斷即可.【詳解】由已知得在雙曲線C中，，，，所以雙曲線C的焦點(diǎn)為，漸近線方程為，離心率為.A：雙曲線C的頂點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑為1，因此雙曲線與圓有2個(gè)公共點(diǎn)，所以本選項(xiàng)正確；B：橢圓的離心率為，顯然雙曲線的離心率與橢圓的離心率不相同，因此本選項(xiàng)不正確；C：雙曲線的漸近線的斜率為，顯然雙曲線的漸近線斜率與雙曲線的漸近線的斜率互為倒數(shù)是不正確的，因此本選項(xiàng)不正確；D：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線平行，所以雙曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，因此本選項(xiàng)說法正確，故選：AD10. 等差數(shù)列是遞減數(shù)列，滿足，的公差為，前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（）A.  B. C. 當(dāng)時(shí)，最大 D. 當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】BC【解析】【分析】由數(shù)列是遞減數(shù)列可得，再由解得，分別代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，對(duì)選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】∵等差數(shù)列是遞減數(shù)列，∴公差，又∵，∴，∴，∴，對(duì)于A，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，，又∵等差數(shù)列是遞減數(shù)列，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)或時(shí)，最大，故選項(xiàng)C正確；（也能由得出當(dāng)或時(shí)，最大）對(duì)于D，∵，∴當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤. （當(dāng)時(shí)，，的最小值為，最大值為）故選：BC.11. 以下四個(gè)命題表述正確的（）A. 圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1B. 已知，，三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)不在軸上，且滿足，則直線的斜率取值范圍是C. 圓與圓恰有三條公切線，則D. 圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線、，為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】寫出圓心為，半徑，求出圓心到直線的距離為1，根據(jù)圖象即可判斷A項(xiàng)；由已知可得點(diǎn)的軌跡方程為.結(jié)合圖象，可知當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率有最大或最小值，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，即可求出斜率的取值范圍；由已知可得，兩圓外切，根據(jù)，即可得出的值；由已知可得為圓與圓的公共弦.即可求出直線的方程，整理可得，解方程組即可得出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，圓心為，半徑，圓心到直線的距離.如圖1，此時(shí)圓上有三點(diǎn)到直線的距離等于1，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，由可知，，整理可得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓.如圖2，當(dāng)在處時(shí)，斜率最大；當(dāng)在處時(shí)，斜率最小，顯然均與圓相切.設(shè)斜率為，直線方程為，即.當(dāng)與圓相切時(shí)，有圓心到直線的距離，整理可得，，解得.又動(dòng)點(diǎn)不在軸上，所以.則由圖象可知，直線的斜率取值范圍是，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，圓圓心，半徑；圓可化為，，圓心，半徑.由已知可得，兩圓外切，即，代入可得，，解得，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，由已知可得，，所以在以為直徑的圓上.圓心為，半徑為，則圓的方程為，整理可得.又為圓上的點(diǎn)，所以為圓與圓的公共弦.兩圓方程作差可得，的方程為.又點(diǎn)在直線上，所以，即，代入的方程整理可得，解方程組可得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn).故D項(xiàng)正確.故選：ABD.12. 如圖，在棱長為3的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（）A. 對(duì)任意點(diǎn)平面B. 三棱錐的體積為C. 線段長度的最小值為D. 存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為【答案】ABC【解析】【分析】由平面平面，從而可證平面，由此可判斷A；根據(jù)等體積法可判斷B；當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，最小，由，勾股定理計(jì)算可得，由此判斷C；求出與平面所成角的范圍即可判斷D．【詳解】在棱長為3的正方體中，如圖所示：對(duì)于A：連接，，，，，由于，平面，平面，所以平面同理由得平面，又,平面,故平面平面，由于平面，所以對(duì)任意點(diǎn)，平面，故A正確；對(duì)于B：由于平面,平面,所以平面 ,故三棱錐的體積為，故B正確；對(duì)于C：由于,所以過點(diǎn)作，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，，故C正確，對(duì)于D：由于平面 , ,所以點(diǎn)在平面上的投影在線段上，設(shè)點(diǎn)的投影為點(diǎn)，則為與平面所成的角，，而，所以與平面所成角的正弦值的取值范圍是，而，所以不存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為，故D錯(cuò)誤；故選：ABC 三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上13. 已知空間三點(diǎn)，則與的夾角為__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角公式求得正確答案.【詳解】，所以，所以與的夾角為.故答案為：14. 已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，即可得到答案.【詳解】點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，.故答案為：15. 過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為___________.【答案】【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由已知可得.如圖過作，垂足為，則由拋物線的定義得，，，代入得，或.不妨設(shè)，又，直線方程為，即，代入得，，故答案為：.16. 已知數(shù)列與數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則__________；若對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】根據(jù)并項(xiàng)求和即可化簡，將轉(zhuǎn)化成恒成立，利用基本不等式性質(zhì)求解最值即可.詳解】記，所以，故，，即，化簡得，進(jìn)一步得，由于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，對(duì)，，所以，因此故答案為：，四?解答題：本大題共6小題，共70分．其中，17題10分，18，19，20，21，22各12分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．17. 平面直角坐標(biāo)系xoy中，．（1）求的面積；（2）判斷四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？并說明理由．【答案】（1）（2）四點(diǎn)不在同一圓上，理由詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式求得的面積.（2）先判斷過三點(diǎn)的圓的直徑，再根據(jù)的大小確定正確答案.【小問1詳解】，所以，所以，所以的面積為.【小問2詳解】四點(diǎn)不在同一圓上，理由如下：由于，所以過三點(diǎn)的圓（設(shè)為圓）的直徑是，由（1）知是等腰直角三角形，且，所以不是圓的圓周角，所以四點(diǎn)不在同一圓上.18. 已知等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可；（2）根據(jù)乘公比錯(cuò)位相減法即可求解.【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)闈M足成等差數(shù)列，所以所以所以，所以，所以，所以，所以.所以.【小問2詳解】令，則，所以，所以，乘以2得，，錯(cuò)位相減得，，所以，所以，所以，所以，所以，所以.19. 如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為1的菱形，，（1）求線段的長；（2）求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1），結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算，求模即可.（2），由向量數(shù)量積關(guān)于垂直的表示即可判斷.【小問1詳解】設(shè)，則，∵，則.∵，∴. 故線段的長為.【小問2詳解】證明：∵，∴.故.20. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.（1）求證：是等比數(shù)列；（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明詳見解析（2）【解析】【分析】（1）使用與的關(guān)系，再將替換為進(jìn)行證明即可；（2）對(duì)為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分組求和，為奇數(shù)時(shí)使用裂項(xiàng)相消法，為偶數(shù)時(shí)使用等比數(shù)列求和公式即可.【小問1詳解】由已知，①當(dāng)時(shí)，，∴，∴，；②當(dāng)時(shí)，∵，∴，兩式相減，得，∴，∵，∴，∴，∴（），又∵，，∴，∴，且數(shù)列中任意一項(xiàng)均不為，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由第（1）問，，∴①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，∴，②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，綜上所述，數(shù)列的前項(xiàng)和.21. 如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）點(diǎn)在線段上，若直線與平面所成角的余弦值為時(shí)，求線段的長．【答案】（1）證明見解析.（2）.（3）.【解析】【分析】（1）由已知證明，又，從而證明，可證平面﹔（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后求出平面與平面法向量，由向量的夾角公式求解即可；（3）設(shè)，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后求出平面的法向量，由向量的夾角公式列出關(guān)于 的方程，求解即可．【小問1詳解】證明：∵ 分別是的中點(diǎn),∴ ，又三棱柱中， ，故，又 平面 ， 平面，所以 平面；【小問2詳解】由題意知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，故 ,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，則，所 , ，平面的一個(gè)法向量為 ,設(shè)平面的法向量為 ,則 ，令 ，則 ，故 ，故，放平面與平面的夾角的余弦值為.【小問3詳解】設(shè)， ， ，所以 )， ，設(shè)平面 的法向量為 ，則 ，令 ，則 ，則 ，設(shè)直線與平面所成角為，則由題意知， 所以直線與平面所成角的正弦值為，所以，解得 ，（舍去）， 則，即線段 的長為.22. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．（1）若為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，求雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在第一象限，且在上，若，求直線的方程；（3）經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線?分別與相交于點(diǎn)．試探究：以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）先求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題意求雙曲線的，即可得漸近線方程；（2）根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化分析可得，進(jìn)而可得直線EP的傾斜角與斜率，利用點(diǎn)斜式求直線方程；（3）設(shè)直線的方程及A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理求圓C的圓心及半徑，根據(jù)圓C的方程分析判斷定點(diǎn).【小問1詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，雙曲線的方程為，即，則，，由題意可知：，則，故雙曲線C的方程為，漸近線方程為.【小問2詳解】解：由（1）可知：，如圖，過點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為M，由拋物線的定義可知，因?yàn)?/span>，且，所以，故直線EP的傾斜角，斜率，所以直線EP的方程為，即.【小問3詳解】解：以線段MN為直徑的圓C過定點(diǎn)，.理由如下：由已知可得直線，設(shè)，，聯(lián)立方程，消去y可得：，則可得：，，又直線，當(dāng)時(shí)，，所以.同理可得：.又，，則以線段MN為直徑的圓C的圓心，半徑，故圓C的方程為，整理得，令，則，解得或，故以線段MN為直徑的圓C過定點(diǎn)，.

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