2023高考數(shù)學(xué)二輪專題導(dǎo)數(shù)38講專題22 雙變量含參不等式證明方法之消參減元法-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題22　雙變量含參不等式證明方法之消參減元法
【例題選講】
[例1]　已知函數(shù)f(x)＝ax2－x－ln．
(1)若f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線y＝2x＋1平行，求f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；
(2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求證：f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3．
解析　(1)∵f(x)＝ax2－x－ln＝ax2－x＋ln x，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝2ax－1＋，∴k＝f′(1)＝2a．
∵f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線y＝2x＋1平行，∴2a＝2，即a＝1．
∴f(1)＝0，故切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．∴切線方程為y＝2x－2．
(2)∵f′(x)＝2ax－1＋＝，
∴由題意知方程2ax2－x＋1＝0在(0，＋∞)上有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，
∴Δ＝1－8a＞0，x1＋x2＝＞0，x1x2＝＞0，∴0＜a＜．
f(x1)＋f(x2)＝ax＋ax－(x1＋x2)＋ln x1＋ln x2＝a(x＋x)－(x1＋x2)＋ln(x1x2)
＝a[(x1＋x2)2－2x1x2]－(x1＋x2)＋ln(x1x2)＝ln－－1，
令t＝，g(t)＝ln t－－1，則t∈(4，＋∞)，g′(t)＝－＝＜0，
∴g(t)在(4，＋∞)上單調(diào)遞減．∴g(t)＜ln4－3＝2ln2－3，即f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3．
[例2]　(2018·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝－x＋aln x．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：2，令f′(x)＝0得，x＝或x＝．
當(dāng)x∈∪時(shí)，f′(x)0．
所以f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
(2)由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a>2．
由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨設(shè)x11．
由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，
所以0)．
(1)若a＝1，求f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程；
(2)討論f(x)的單調(diào)性；
(3)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求證：f(x1)＋f(x2)>．
1．解析　(1)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－x＋ln x，f′(x)＝x－1＋，f′(1)＝1，f(1)＝－，
∴f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程為y－(－)＝x－1，即2x－2y－3＝0．
(2)f′(x)＝x－1＋＝(a>0)．
①若a≥，則x2－x＋a≥0恒成立，f′(x)≥0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
②若0