2023高考數(shù)學(xué)二輪專題導(dǎo)數(shù)38講專題03 曲線的公切線方程-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題03　曲線的公切線方程
【方法總結(jié)】
解決此類問題通常有兩種方法
(1)利用其中一曲線在某點(diǎn)處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；
(2)設(shè)公切線l在y＝f(x)上的切點(diǎn)P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點(diǎn)P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝．
注意：求兩條曲線的公切線，如果同時(shí)考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會(huì)比較亂，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法．
【例題選講】
[例1](1)(2020·全國Ⅲ)若直線l與曲線y＝和圓x2＋y2＝都相切，則l的方程為(　　)
A．y＝2x＋1　　　　B．y＝2x＋　　　　C．y＝x＋1　　　　D．y＝x＋
答案　D　解析　易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程y＝kx＋b，則＝?、伲O(shè)直線l與曲線y＝的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，)(x0>0)，則y′|x＝x0＝x0－＝k?、?，＝kx0＋b　③，由②③可得b＝，將b＝，k＝x0－代入①得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以k＝b＝，故直線l的方程y＝x＋．
(2)已知f(x)＝ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)＝lnx＋2，直線l是f(x)與g(x)的公切線，則直線l的方程為．
答案　y＝ex或y＝x＋1　解析　設(shè)l與f(x)＝ex的切點(diǎn)為(x1，y1)，則y1＝，f′(x)＝ex，∴f′(x1)＝，∴切點(diǎn)為(x1，)，切線斜率k＝，∴切線方程為y－＝(x－x1)，即y＝·x－＋，①，同理設(shè)l與g(x)＝ln x＋2的切點(diǎn)為(x2，y2)，∴y2＝ln x2＋2，g′(x)＝，∴g′(x2)＝，切點(diǎn)為(x2，ln x2＋2)，切線斜率k＝，∴切線方程為y－(ln x2＋2)＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2＋1，②，由題意知，①與②相同，∴把③代入④有－＋＝－x1＋1，即(1－x1)(－1)＝0，解得x1＝1或x1＝0，當(dāng)x1＝1時(shí)，切線方程為y＝ex；當(dāng)x1＝0時(shí)，切線方程為y＝x＋1，綜上，直線l的方程為y＝ex
或y＝x＋1．
(3)曲線C1：y＝ln x＋x與曲線C2：y＝x2有________條公切線．
答案　1　解析　由y＝ln x＋x得y′＝＋1，設(shè)點(diǎn)(x1，ln x1＋x1)是曲線C1上任一點(diǎn)，∴曲線C1在點(diǎn)(x1，ln x1＋x1)處的切線方程為y－(ln x1＋x1)＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1－1．同理可得曲線C2在點(diǎn)(x2，x)處的切線方程為y－x＝2x2(x－x2)，即y＝2x2x－x．依題意知兩切線重合，∴消去x2得＋＋4ln x1－3＝0，①，令f(x)＝＋＋4ln x－3(x>0)，則f′(x)＝－－＋＝＝，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)0，∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．即方程①只有一個(gè)解，故曲線C1與C2只有1條公切線．
(4)已知曲線y＝x＋lnx在點(diǎn)(1，1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝．
答案　8　解析　方法一　因?yàn)閥＝x＋ln x，所以y′＝1＋，y′|x＝1＝2．所以曲線y＝x＋ln x在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．因?yàn)閥＝2x－1與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，所以a≠0(當(dāng)a＝0時(shí)曲線變?yōu)閥＝2x＋1與已知直線平行)．由消去y，得ax2＋ax＋2＝0．由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8．
方法二　同方法一得切線方程為y＝2x－1．設(shè)y＝2x－1與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于點(diǎn)(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．因?yàn)閥′＝2ax＋(a＋2)，所以＝2ax0＋(a＋2)．由解得
(5) (2016·課標(biāo)全國Ⅱ)若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ex的切線，則b＝________．
答案　0或1　解析　設(shè)直線y＝kx＋b與曲線y＝ln x＋2的切點(diǎn)為(x1，y1)，與曲線y＝ex的切點(diǎn)為(x2，y2)，y＝ln x＋2的導(dǎo)數(shù)為y′＝，y＝ex的導(dǎo)數(shù)為y′＝ex，可得k＝ex2＝．又由k＝＝，消去x2，可得(1＋ln x1)·(x1－1)＝0，則x1＝或x1＝1，則直線y＝kx＋b與曲線y＝ln x＋2的切點(diǎn)為或(1,2)，與曲線y＝ex的切點(diǎn)為(1，e)或(0，1)，所以k＝＝e或k＝＝1，則切線方程為y＝ex或y＝x＋1，可得b＝0或1．
(6)已知曲線f(x)＝lnx＋1與g(x)＝x2－x＋a有公共切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
答案　8　解析　設(shè)切線與f(x)＝lnx＋1相切于點(diǎn)P(x0，lnx0＋1)，f′(x0)＝，∴切線方程為y－(lnx0＋1)＝(x
－x0)，即y＝x＋lnx0，聯(lián)立得x2－x＋a－lnx0＝0，∴Δ＝2－4(a－lnx0)＝0，即＋＋1－4a＋4lnx0＝0，即4a＝＋＋1＋4lnx0有解，令φ(x)＝＋＋1＋4lnx(x>0)，φ′(x)＝－－＋＝＝，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，φ′(x)0，∴φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴φ(x)min＝φ(1)＝4，又x→＋∞時(shí)，φ(x)→＋∞，故φ(x)的值域?yàn)閇4，＋∞)，所以4a≥4，即a≥1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．
【對點(diǎn)訓(xùn)練】
1．若直線l與曲線y＝ex及y＝－x2都相切，則直線l的方程為________．
1．答案　y＝x＋1　解析　設(shè)直線l與曲線y＝ex的切點(diǎn)為(x0，)，直線l與曲線y＝－x2的切點(diǎn)為
，因?yàn)閥＝ex在點(diǎn)(x0，)處的切線的斜率為y′|x＝x0＝，y＝－在點(diǎn)處的切線的斜率為y′|x＝x1＝|x＝x1＝－，則直線l的方程可表示為y＝x－x0e＋或y＝－x1x＋x，所以所以＝1－x0，解得x0＝0，所以直線l的方程為y＝x＋1．
2．已知函數(shù)f(x)＝x2的圖象在x＝1處的切線與函數(shù)g(x)＝的圖象相切，則實(shí)數(shù)a等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．e
2．答案　B　解析　由f(x)＝x2，得f′(x)＝2x，則f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以函數(shù)f(x)＝x2的圖象在x＝1處
的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．設(shè)y＝2x－1與函數(shù)g(x)＝的圖象相切于點(diǎn)(x0，y0)，由g′(x)＝，可得解得x0＝，a＝＝．
3．已知函數(shù)f(x)＝＋1，g(x)＝alnx，若在x＝處函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的切線平行，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)[
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．4
3．答案　A　解析　由題意可知f′(x)＝x－，g′(x)＝，由f′()＝g′()，得×()－＝，可得a＝，經(jīng)檢
驗(yàn)，a＝滿足題意．
4．若f(x)＝lnx與g(x)＝x2＋ax兩個(gè)函數(shù)的圖象有一條與直線y＝x平行的公共切線，則a等于(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．3或－1
4．答案　D　解析　設(shè)在函數(shù)f(x)＝ln x處的切點(diǎn)為(x，y)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到k＝＝1，解得x＝1，
故切點(diǎn)為(1，0)，可求出切線方程為y＝x－1，此切線和 g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1，化簡得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要滿足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3．
5．若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝________．
5．答案　1－ln 2　解析　y＝lnx＋2的切線為y＝·x＋lnx1＋1(設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1)．y＝ln(x＋1)的切線為
y＝x＋ln(x2＋1)－(設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x2)．∴解得x1＝，x2＝－，∴b＝lnx1＋1＝1－ln2．
6．已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，與f(x)圖象的切點(diǎn)為
(1，f(1))，則m＝________．
6．答案?。?　解析　∵f′(x)＝，∴直線l的斜率k＝f′(1)＝1．又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1．g′(x)
＝x＋m，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，∴m＝－2．
7．已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3lnx－x，若以上兩函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，
且在公共點(diǎn)處切線相同，則m的值為(　　)
A．2　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．0
7．答案　C　解析　根據(jù)題意，設(shè)兩曲線y＝f(x)與y＝g(x)的公共點(diǎn)為(a，b)，其中a>0，由f(x)＝－2x2＋
m，可得f′(x)＝－4x，則切線的斜率為k＝f′(a)＝－4a，由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－－1，則切線的斜率為k＝g′(a)＝－－1，因?yàn)閮珊瘮?shù)的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線相同，所以－4a＝－－1，解得a＝1或a＝－(舍去)，又g(1)＝－1，即公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－1)，將點(diǎn)(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1．
8．若直線y＝kx＋b是曲線y＝的切線，也是曲線y＝ex－1的切線，則k＋b等于(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
8．答案　D　解析　設(shè)直線y＝kx＋b與曲線y＝相切于點(diǎn)P(x1，y1)，y′＝＝ex－2，k1＝；直線y＝
kx＋b與曲線y＝ex－1相切于點(diǎn)Q(x2，y2)，y′＝ex，k2＝，∴l(xiāng)1：y＝，l2：y＝，∴x2＝－ln 2，∴k＋b＝＝＋－1－(－ln 2)×＝．
9．設(shè)曲線y＝ex在點(diǎn)(0，1)處的切線與曲線y＝(x＞0)在點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為________．
9．答案　(1，1)　解析　y′＝ex，曲線y＝ex在點(diǎn)(0，1) 處的切線的斜率k1＝e0＝1．設(shè)P(m，n)，y＝(x
＞0)的導(dǎo)數(shù)為y′＝－(x＞0)，曲線y＝(x＞0)在點(diǎn)P處的切線斜率k2＝－(m＞0)，因?yàn)閮汕芯€垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)．
10．已知曲線f(x)＝x3＋ax＋在x＝0處的切線與曲線g(x)＝－lnx相切，則a的值為．
10．答案?。璭　解析　由f(x)＝x3＋ax＋，得f′(x)＝3x2＋a．∵f′(0)＝a，f(0)＝，∴曲線y＝f(x)在x＝
0處的切線方程為y－＝ax．設(shè)直線y－＝ax與曲線g(x)＝－lnx相切于點(diǎn)(x0，－lnx0)，又∵g′(x)＝－，∴將②代入①得lnx0＝，∴x0＝e，∴a＝－＝－e．
11．已知曲線y＝ex在點(diǎn)(x1，)處的切線與曲線y＝lnx在點(diǎn)(x2，lnx2)處的切線相同，則(x1＋1)(x2－1)＝(　　)
A．－1　　　　　　　　B．－2　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2
11．答案　B　解析　已知曲線y＝ex在點(diǎn)(x1，)處的切線方程為y－＝ (x－x1)，即y＝
，曲線y＝lnx在點(diǎn)(x2，lnx2)處的切線方程為y－lnx2＝(x－x2)，即y＝x－1＋lnx2，由題意得得x2＝，＝－1＋ln x2＝－1＋＝－1－x1，則＝．又x2＝，所以x2＝，所以x2－1＝－1＝，所以(x1＋1)(x2－1)＝－2．
12．曲線C1：y＝x2與曲線C2：y＝aex(a>0)存在公切線，則a的取值范圍是________．
12．答案　　解析　設(shè)公切線在y＝x2上的切點(diǎn)為(x1，x)，在y＝aex(a>0)上的切點(diǎn)為(x2，)．函
數(shù)y＝x2，y＝aex(a>0)的導(dǎo)數(shù)分別為y′＝2x，y′＝aex，則公切線的斜率為2x1＝，整理得a＝．由a>0可知，x2>1，令f(x)＝，x∈(1，＋∞)，則f′(x)＝＝，f′(x)>0?1

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