?專(zhuān)題01　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
基本初等函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù))
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有[cf(x)]′＝cf′(x)；[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；′＝(g(x)≠0)；
3．復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)
(1)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)與u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))．
(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．
【方法總結(jié)】
導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的原則和方法
基本原則：先化簡(jiǎn)、再求導(dǎo)；
具體方法：
(1)連乘積形式：先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)；
(2)分式形式：觀(guān)察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；
(3)對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；
(4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；
(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；
(6)復(fù)合函數(shù)：由外向內(nèi)，層層求導(dǎo)．
【例題選講】
[例1]　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝；
(3)y＝xsincos；
(4)y＝ln(2x－5)．
解析　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x．
(2)y′＝′＝＝－．
(3)∵y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x．
(4)令u＝2x－5，y＝ln u．則y′＝(ln u)′u′＝·2＝，即y′＝．
[例2]　(1) (2020·全國(guó)Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝．若f′(1)＝，則a＝________．
答案　1　解析　f′(x)＝＝，則f′(1)＝＝，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．
(2)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，則f(1)＝ ．
答案?。〗馕觥　遞(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝4x－3f′(1)＋，將x＝1代入，得f′(1)＝4－3f′(1)＋1，得f′(1)＝．∴f(x)＝2x2－x＋ln x，∴f(1)＝2－＝－．
(3)已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2 022(x)等于(　　)
A．－sin x－cos x　　　　B．sin x－cos x　　　　C．－sin x＋cos x　　　　D．sin x＋cos x
答案　C　解析　∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，∴fn(x)的解析式以4為周期重復(fù)出現(xiàn)，∵2 022＝4×505＋2，∴f2 022(x)＝f2(x)＝cos x－sin x．故選C．
(4)(多選)給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f′(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo)，則稱(chēng)f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，則稱(chēng)f(x)在D上為凸函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)在上是凸函數(shù)的是(　　)
A．f(x)＝sin x＋cos x　　　B．f(x)＝ln x－2x　　　C．f(x)＝x3＋2x－1　　　D．f(x)＝xex
答案　AB　解析　對(duì)于A：f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x，∵x∈，∴f″(x)＜0，f(x)在上是凸函數(shù)，故A正確．對(duì)于B：f′(x)＝－2，f″(x)＝－＜0，故f(x)在上是凸函數(shù)，故B正確；對(duì)于C：f′(x)＝3x2＋2，f″(x)＝6x＞0，故f(x)在上不是凸函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex＞0，故f(x)在上不是凸函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選AB．
(5)已知f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若滿(mǎn)足xf′(x)－f(x)＝x2＋x，且f(1)≥1，則f(x)的解析式可能是(　　)
A．x2－xln x＋x　　　　B．x2－xln x－x　　　　C．x2＋xln x＋x　　　　D．x2＋2xln x＋x
答案　C　解析　由選項(xiàng)知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，由題意得＝1＋，即′＝1＋，故＝x＋ln x＋c(c為待定常數(shù))，即f(x)＝x2＋(ln x＋c)x．又f(1)≥1，則c≥0，故選C．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
1．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(　　)
A．′＝1＋　　B．(log2x)′＝　　C．(5x)′＝5xlog5x　　D．(x2cos x)′＝－2xsin x
1．答案　B　解析　(log2x)′＝，故B正確．
2．函數(shù)y＝xcos x－sin x的導(dǎo)數(shù)為(　　)
A．xsin x　　　　　　　B．－xsin x　　　　　　　C．xcos x　　　　　　　D．－xcos x
2．答案　B　解析　y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．
3．(多選)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(　　)
A．(sin a)′＝cos a(a為常數(shù))　　　　　　　　B．(sin 2x)′＝2cos 2x
C．()′＝　　　　　　　　　　　　　　D．(ex－ln x＋2x2)′＝ex－＋4x
3．答案　BCD　解析　∵a為常數(shù)，∴sin a為常數(shù)，∴(sin a)′＝0，故A錯(cuò)誤．由導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則
知B，C，D正確，故選BCD．
4．已知函數(shù)f(x)＝＋，則f′(x)＝ ．
4．答案?。〗馕觥′(x)＝＋(x－2)′＝＋(－2)x－3＝－．
5．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，記f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N*)，若f(x)＝xsin x，
則f2 019(x)＋f2 021(x)＝(　　)
A．－2cos x　　　　　B．－2sin x　　　　　C．2cos x　　　　　D．2sin x
5．答案　D　解析　由題意，f(x)＝xsin x，f1(x)＝f′(x)＝sin x＋xcos x，f2(x)＝f′1(x)＝cos x＋cos x－xsin x＝
2cos x－xsin x，f3(x)＝f′2(x)＝－3sin x－xcos x，f4(x)＝f′3(x)＝－4cos x＋xsin x，f5(x)＝f′4(x)＝5sin x＋xcos x，…，據(jù)此可知f2 019(x)＝－2 019sin x－xcos x，f2 021(x)＝2 021sin x＋xcos x，所以f2019(x)＋f2 021(x)＝2sin x，故選D．
6．f(x)＝x(2 021＋ln x)，若f′(x0)＝2 022，則x0等于(　　)
A．e2　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．ln 2　　　　　　　　D．e
6．答案　B　解析　f′(x)＝2 021＋ln x＋x×＝2 022＋ln x，又f′(x0)＝2 022，得2 022＋ln x0＝2 022，則ln x0
＝0，解得x0＝1．
7．已知函數(shù)f(x)＝＋excos x，若f′(0)＝－1，則a＝ ．
7．答案　2　解析　f′(x)＝＋excos x－exsin x＝＋excos x－exsin x，∴f′(0)＝－a＋1＝－1，
則a＝2．
8．已知函數(shù)f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，則a＝ ．
8．答案　e2　　解析　f′(x)＝·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝＋ae－x－axe－x，∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2
＝2－ae－2＝1，則a＝e2．
9．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿(mǎn)足關(guān)系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，則f′(2)的值等于(　　)
A．－2　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．
9．答案　C　解析　因?yàn)閒(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，解
得f′(2)＝－．
10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________．
10．答案　－4　解析　∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4．
11．設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，則f′(1)＝ ．
11．答案　1＋e　解析　因?yàn)閒(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋
e．
12．已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，則f′(2)＝(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．－2
12．答案　C　解析　因?yàn)閒′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝，所以f′(x)
＝·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝×22ln 2＋2×2＝．
13．(多選)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f(x)的解析式可能為(　　)
A．f(x)＝3cos x　　　B．f(x)＝x3＋x　　　C．f(x)＝x＋　　　D．f(x)＝ex＋x
13．答案　BC　解析　對(duì)于A，f(x)＝3cos x，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝－3sin x，其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，圖象不關(guān)于y
軸對(duì)稱(chēng)，不符合題意；對(duì)于B，f(x)＝x3＋x，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝3x2＋1，其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，符合題意；對(duì)于C，f(x)＝x＋，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝1－，其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，符合題意；對(duì)于D，f(x)＝ex＋x，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝ex＋1，其導(dǎo)函數(shù)不是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，不符合題意．
14．f(x)＝＋x3，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，則f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)的值為(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
14．答案　C　解析　f′(x)＝＋3x2，f′(－x)＝＋3x2，所以f′(x)為偶函數(shù)，f′(2019)－f′(－2019)
＝0，因?yàn)閒(x)＋f(－x)＝＋x3＋－x3＝＋＝3，所以f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)＝3．故選C．
15．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2．若f′(2 020)＝6，則f′(－2 020)＝______．
15．答案　8　解析　因?yàn)閒′(x)＝4ax3－bsin x＋7，所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7＝－4ax3＋bsin x＋
7．所以f′(x)＋f′(－x)＝14．又f′(2 020)＝6，所以f′(－2 020)＝14－6＝8．
16．分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝exln x；(2)y＝x；(3)y＝x－sincos；(4)y＝ln．(5)f(x)＝．
16．解析　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·＝ex．
(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－．
(3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x．
(4)∵y＝ln＝ln(1＋2x)，∴y′＝··(1＋2x)′＝．
(5)由已知f(x)＝x－ln x＋－．所以f′(x)＝1－－＋＝．


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