2023屆寧夏平羅中學高三（理尖班）上學期第一次月考數(shù)學（理）試題 一、單選題1．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)z所對應(yīng)的點位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法化簡，進而可得點的坐標，即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)，對應(yīng)點為，位于第二象限，故選：B2．已知全集，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)根式的定義域與指數(shù)函數(shù)的值域求解即可.【詳解】由題意，，，故.故選：A3．設(shè)實數(shù)，滿足，則下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】對于A，B，D可以取特殊值驗證，對于C，根據(jù)題意得，，利用基本不等式求解即可.【詳解】對于A：當，時不成立，故A錯誤；對于B：當，，所以，，即，故B錯誤；對于C：因為，所以，又，所以（等號成立的條件是），故C正確. 對于D：當，時不成立，故D錯誤；故選：C.4．在2022年北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨有的浪漫傳達給了全世界．我國古代天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復(fù)始．已知雨水的晷長為9.5尺，立冬的晷長為10.5尺，則冬至所對的晷長為（    ）A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺【答案】B【分析】設(shè)相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為,則立冬到冬至增加,冬至到雨水減少4,冬至的晷長為,根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，列出方程組求解即得.【詳解】解：設(shè)相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為,則立冬到冬至增加,冬至到雨水減少4,冬至的晷長為,則,解得,故選：B.5．已知向量，不共線，則“”是“，夾角為銳角”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)向量模長相等可得，進而根據(jù)不共線得兩向量的夾角為銳角，反之不行，即可判斷.【詳解】設(shè)，夾角為，由得，由于，不共線，則，均為非零向量，且夾角不為0和，因此,進而，而若“，夾角為銳角”，不一定能滿足，因此不一定相等，故“”是“，夾角為銳角”的充分不必要條件，故選：A6．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再根據(jù)利用兩角和的余弦公式計算可得.【詳解】解：因為，所以，又，所以，所以故選：C7．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，則ω的最小值為（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)伸縮及平移變換得到函數(shù)，結(jié)合奇偶性得到，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意，，因為為奇函數(shù)，所以，解得，又，所以當k＝0時，ω取得最小值2．故選：C8．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（    ）A．20 B．15 C．8 D．【答案】B【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)計算．【詳解】是等比數(shù)列，則，，，，故選：B．9．已知等差數(shù)列滿足，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，再由前n項和公式求出首項，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，解得.又，解得.所以，故選：B10．在邊長為4的等邊△ABC中，已知，點P在線段CD上，且，則（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】將用和表示，再根據(jù)三點共線，求出的值，再根據(jù)即可得出答案.【詳解】解：，因為三點共線，所以，所以，所以，則.故選：C.11．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（    ）A．0 B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用疊加法求得，得到，結(jié)合的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由數(shù)列滿足，且，可得 ，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，；當時，；當時，，所以的最小值為.故選：C.12．如圖為等腰三角形，，以為圓心，為半徑的圓分別交與點，點是劣弧上的一點，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運算以及數(shù)量積的運算律，結(jié)合兩角和與差的余弦公式，將化為，再根據(jù)三角函數(shù)知識可求出結(jié)果.【詳解】,因為，所以，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：A 二、填空題13．非零向量、滿足，，則___________.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】解：因為，所以，即，所以，所以.故答案為：14．設(shè)數(shù)列的前項和為，若，，則的通項公式為__________．【答案】【分析】根據(jù)可得，由此可證得數(shù)列是等比數(shù)列，由此可得；利用與的關(guān)系可求得.【詳解】由得：，即，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；當時，；當時，；經(jīng)檢驗：不滿足；故答案為：.15．已知，命題p：，；命題q：，，且為真命題，則a的取值范圍為______．【答案】【分析】先求出命題p,q為真命題時的a的取值范圍，根據(jù)為真可知p,q都是真命題,即可求得答案.【詳解】命題p：，為真時，有 ，命題q：，為真時，則有 ，即 ，故為真命題時，且，即，故a的取值范圍為，故答案為：16．已知數(shù)列滿足．若對任意，（且）恒成立，則m的取值范圍為___________．【答案】【分析】根據(jù)題意求數(shù)列的通項公式，再結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式求，結(jié)合恒成立分析可得，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)討論求解.【詳解】當時，則當時，由，得，兩式相除得，n =1時也符合，∴則，因為對任意，（且）恒成立，所以，所以，當時，由，得，則，當時，由，得，則，綜上所述：．故答案為：. 三、解答題17．在等比數(shù)列中，公比，等差數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列與的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；；(2) 【分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中所給條件，求出公差和公比，進而可求出通項公式；（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，再由分組求和的方法即可求出結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為等比數(shù)列的公比為（），，，，所以，則，解得或（舍）所以數(shù)列的通項公式為：；數(shù)列的通項公式為；(2)由（1）可得，所以數(shù)列的前項和.18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間的值域；(3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，；(2)(3) 【分析】（1）由二倍角公式和輔助角公式化簡，進而根據(jù)周期公式以及整體法求單調(diào)區(qū)間，（2）由范圍得的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解值域，（3）數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】(1)由得,，故最小正周期為，由，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)因為，所以，，所以，即的值域為；(3)令，則，故問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，令，且，則問題等價于在有兩個根，由的圖象可知：當時，有兩個根.故19．檢測新型冠狀病毒特異序列的方法最常見的是熒光定量PCR（聚合酶鏈式反應(yīng)）.在PCR反應(yīng)體系中，如反應(yīng)體系存在靶序列，PCR反應(yīng)時探針與模板結(jié)合，DNA聚合酶沿模板利用酶的外切酶活性將探針酶切降解，報告基團與淬滅基團分離，發(fā)出熒光.熒光定量PCR儀是病毒檢測過程中的核心設(shè)備，能夠監(jiān)測出熒光到達預(yù)先設(shè)定閾值的循環(huán)數(shù)（Ct值）與病毒核酸濃度有關(guān)，病毒核酸濃度越高，Ct值越小.某第三方核酸檢測機構(gòu)先后采用過甲、乙兩家公司的熒光定量PCR儀，日核酸檢測量分別為600管和1000管，現(xiàn)兩家公司分別推出升級方案，受各種因素影響，升級后核酸檢測量變化情況與相應(yīng)概率p如下表所示：甲公司：日核酸檢測量增加200％增加50％降低10％p 乙公司：日核酸檢測量增加80％增加50％增加10％p (1)求至少有一家公司的升級方案使得日核酸檢測量增加不低于50％的概率；(2)以日核酸檢測量為依據(jù)，該檢測機構(gòu)應(yīng)選哪家公司的儀器？【答案】(1)(2)乙公司 【分析】(1)根據(jù)題意，至少有一家公司的升級方案使得日核酸檢測量增加不低于50％”的事件有三種情況，分別求出其概率，再用概率加法公式計算即可.(2)分別求出甲、乙公司的儀器和改造方案后日核酸檢測量的分布列以及數(shù)學期望，再比較甲、乙公司的數(shù)學期望即可判斷得出結(jié)論.【詳解】(1)記事件A為“甲公司的方案使日核酸檢測量增加不低于50％”，事件B為“乙公司的方案使日核酸檢測量增加不低于50％”，事件C為“至少有一家公司的升級方案使得日核酸檢測量增加不低于50％”則，且A，B相互獨立.由題意可知，.，故至少有一家公司的升級方案使得日核酸檢測量增加不低于50％的概率為.(2)設(shè)采用甲公司的儀器和改造方案后日核酸檢測量為X，采用乙公司的儀器和改造方案后日核酸檢測量為Y，隨機變量X的分布列為：X1800900540p 則.隨機變量Y的分布列為：Y180015001100p 則.故，應(yīng)該選擇乙公司的儀器.20．密鋪，即平面圖形的鑲嵌，指用形狀?大小完全相同的平面圖形進行拼接，使彼此之間不留空隙?不重疊地鋪成一片.皇冠圖形（圖1）是一個密鋪圖形，它由四個完全相同的平面凹四邊形組成.為測皇冠圖形的面積，測得在平面凹四邊形（圖2）中，，，.(1)若，，求平面凹四邊形的面積；(2)若，求平面凹四邊形的面積的最小值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用余弦定理可得，然后利用余弦定理，同角關(guān)系式及三角形面積公式即得；（2）利用余弦定理及基本不等式可得，進而可得平面凹四邊形面積的最小值.【詳解】(1)如圖，連接，在中，，，，由余弦定理，得，，在中，，，，，∴，∴，又，∴；(2)由（1）知，，中，，∴，當且僅當時等號成立，∴，∴，∴，∴當且僅當時，平面凹四邊形面積取得最小值.21．如圖，棱柱，底面ABCD是平行四邊形，側(cè)棱底面，過的截面與側(cè)面交于；且點在棱上，點在棱上，且 (1)求證：；(2)若為的中點，與平面所成的角為，求側(cè)棱的長. 【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由面，利用線面平行的性質(zhì)定理，可得證；（2）連接，分析可得為與平面所成的角，則，求解即可.【詳解】(1)在棱柱中，面面，面面，由線面平行的性質(zhì)定理有，又，故.(2)證明：在底面中，.又因為側(cè)棱底面，則底面面又面連接，則為與平面所成的角為，因為，所以，在中，，解得，故22．已知曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），（為參數(shù)）.(1)將參數(shù)方程化為普通方程；(2)若點P是曲線上的動點，求P點到的距離的最小值.【答案】(1)，(2)1 【分析】（1）曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出的普通方程；曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出的普通方程；（2）求出圓心到直線的距離為，P點到的距離的最小值為.【詳解】(1)已知曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），化為普通方程為：曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），化為普通方程為：.所以圓直線.(2)圓的圓心為，所以圓心到直線的距離為，圓的半徑為1，所以點到的距離的最小值為.所以P點到的距離的最小值為1.23．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2) 【分析】（1）分類討論去絕對值后再求解不等式即可；（2）討論，當時，利用絕對值的三角不等式求解的最大值即可；【詳解】(1)，當時，，即，當時，，解得，即，當時，，解得，此時無解，綜上：不等式的解集為；(2)時上述不等式顯然成立，當時，上述不等式可化為，令，當且僅當時等號成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為． 

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