2022屆上海市復(fù)興高級中學高三上學期10月月考數(shù)學試題 一、填空題1．已知全集，集合，則________.【答案】【分析】求出集合、，利用補集的定義可求得集合.【詳解】因為集合，，因此，.故答案為：.2．函數(shù)的定義域是________.【答案】且【分析】根據(jù)分明不為零以及偶次根式下被開方數(shù)非負列不等式求解.【詳解】由題意，要使函數(shù)有意義，則，解得，且；故函數(shù)的定義域為：且.故答案為：且.【點睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則______．【答案】【解析】分子分母同時乘以，可求出，寫出，兩者相乘，即得結(jié)果，或者利用，亦能得出結(jié)果.【詳解】由題意可知：       法一：∴             ∴；      法二：∴【點睛】復(fù)數(shù)除法的簡單運算，考查學生利用復(fù)數(shù)除法的運算，解決復(fù)數(shù)問題的能力，會使用來處理相關(guān)計算問題，為簡單題.4．若實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是__________；【答案】；【分析】令，，可將化為，根據(jù)三角函數(shù)值域可求得結(jié)果.【詳解】    可令，    本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用三角換元的方式求解取值范圍的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域的求解.5．已知向量，，則__．【答案】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標表示求出，再根據(jù)兩角和的正切公式可求出結(jié)果.【詳解】因為向量，，所以，所以，所以．故答案為：.6．若展開式中的常數(shù)項為5，____________.【答案】【分析】先求出二項式的展開式的通項為，令可求，結(jié)合已知常數(shù)項的 值可求，然后利用等比數(shù)列的和對已知式子求和，即可求解極限.【詳解】由題意二項式的展開式的通項為，令可得，所以，則.故答案為：【點睛】方法點睛：求二項式展開式的指定項，一般利用展開式的通項分析求解.7．關(guān)于的不等式的解集為__．【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為，根據(jù)得，并且滿足且，由此得解.【詳解】因為，所以，因為，所以，此時且，滿足題意，故解集為．故答案為：8．已知函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)，當時，，令函數(shù)，則的反函數(shù)為__．【答案】【分析】先求得的解析式，根據(jù)反函數(shù)的求法求得正確答案.【詳解】當時，， 所以，由于，所以，所以，令，則，交換得，所以.故答案為：.9．設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．若，，且，則數(shù)列{bn}的公比為   ．【答案】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可知為正數(shù)，∵是等比數(shù)列，∴，又∵，∴或，若：則不合題意，舍去，若，則，，化簡得，經(jīng)檢驗，由，故舍去，∴.10．設(shè)為實數(shù)，函數(shù)（），若有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為__．【答案】【分析】由，利用換元法、分離常數(shù)法進行化簡，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合所構(gòu)造函數(shù)的圖象來求得的取值范圍.【詳解】由得，設(shè)，所以有2個不同的實數(shù)根，整理得（），設(shè)，，畫出的圖象如下圖所示，由題意得的取值范圍是．故答案為： 11．平面內(nèi)，若三條射線??兩兩成等角為，則，類比該特性：在空間，若四條射線???兩兩成等角為，則___________.【答案】【分析】根據(jù)類比特性，四條射線OA、OB、OC、OD兩兩成等角，即組成一個正四面體ABCD，O點為外接球球心，根據(jù)外接球半徑與邊長的關(guān)系，利用余弦定理求得所成角.【詳解】根據(jù)類比特性，四條射線OA、OB、OC、OD兩兩成等角，設(shè)組成一個正四面體ABCD，則OA、OB、OC、OD兩兩成等角，此時O點為外接球球心，則，在中，由余弦定理得故所成等角故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)定義的特性，將問題轉(zhuǎn)化為正四面體外接球半徑與邊長的關(guān)系，借助余弦定理求得結(jié)果.12．對于函數(shù)，若定義域中存在實數(shù)滿足且，則稱函數(shù)為“函數(shù)”．設(shè)且，若函數(shù)為“函數(shù)”，且的最小值為5，則實數(shù)的取值范圍為__．【答案】【分析】根據(jù)“函數(shù)”的定義，討論可知時，不合題意；當時，得，，由，得，再根據(jù)，得.【詳解】若函數(shù)是“函數(shù)”．①若，則，則在上單調(diào)遞減，故不滿足存在實數(shù)滿足且，不合題意；②若，因為，單調(diào)遞減，且，故時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，故，，所以，則，所以，則．若，則，整理得，得，不合題意；若，則，整理得，得，故，，．由中存在實數(shù)、滿足且，的最小值為5，故在中存在滿足，且，故，得．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)“函數(shù)”的定義列式，用表示和，再由的最小值為5列式求解是解題關(guān)鍵. 二、單選題13．下列函數(shù)中，與函數(shù)的值域相同的函數(shù)為 （ ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：函數(shù)的值域為，而，，只有，所以選B.【解析】函數(shù)值域14． “”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：（1）若，則，∴“”是“”的充分條件；（2）若，則，得不出，∴“”不是“”的必要條件，∴“”是“”的充分非必要條件.故選：A.【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，是基礎(chǔ)題.15．已知符號函數(shù)，是定義在上的增函數(shù)，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】對的范圍進行分類討論，結(jié)合的單調(diào)性以及符號函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】因為，所以當時，，因為是定義在上的增函數(shù)，所以，所以，同理，當時，，且當時，，綜上所述，.故選：D16．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，若，則實數(shù)的最大值為（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上的單調(diào)性得到或，根據(jù)，得到關(guān)于的不等式或的解集為，根據(jù)，得到關(guān)于的不等式或的解集為，由，可求出結(jié)果.【詳解】因為為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，，又已知在區(qū)間上的最大值為，所以或，因為，所以關(guān)于的不等式或的解集為，所以關(guān)于的不等式或的解集為，所以關(guān)于的不等式或或或的解集為，由于，所以，所以，，所以關(guān)于的不等式或的解集為，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以實數(shù)的最大值為.故選：C 三、解答題17．如圖，在直三棱柱中，，點、分別為、的中點，與底面所成的角為arctan2．(1)求異面直線與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）；(2)求點與平面的距離．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知求得C1C＝2，以B為坐標原點，分別以BC、BA、BB1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出的坐標，由兩向量所成角的余弦值求解異面直線PB與QC1所成角的大??；（2）求出平面AQC1的法向量，然后利用空間向量求出點與平面的距離.【詳解】（1）因為C1C⊥平面ABC，所以∠C1QC為C1Q與底面ABC所成角，因為與底面所成的角為arctan2，，所以，所以C1C＝2．以B為坐標原點，分別以BC、BA、BB1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則B（0，0，0），Q（1，0，0），C1（2，0，2），P（0，1，2），A（0，2，0），則，設(shè)異面直線PB與QC1所成角的大小為θ，所以，則異面直線PB與QC1所成角的大小為；（2）設(shè)平面AQC1的法向量為，由（1）知，，則，取y＝1，得．又，所以點C與平面AQC1的距離．18．已知函數(shù)，其中，且．(1)當時，若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若存在實數(shù)使得方程有兩個實根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）分段解不等式，再相并即可得解；（2）當和時，利用圖象列式可求出結(jié)果，當時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及，可知不符合題意.【詳解】（1）當時，，則，當時，解不等式，解得，故，當時，解不等式，解得，故，所以實數(shù)的取值范圍是；（2）①當時， 由圖可知，當時，存在直線與有兩個交點，由，解得，故；②當時，由圖可知，當時，存在直線與有兩個交點，即，解得，故；當時，函數(shù)在和上都為增函數(shù)，且，所以為增函數(shù)，所以不存在實數(shù)使得方程有兩個實根，綜上所述：實數(shù)的取值范圍是為.19．某環(huán)保部門對某處的環(huán)境情況用“污染指數(shù)”來監(jiān)測，據(jù)測定，該處的“污染指數(shù)”與附近污染源的強度和距離之比成正比，比例常數(shù)為．現(xiàn)已知相距的，兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為正數(shù)1，，它們連線上任意一點處的污染指數(shù)等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和．設(shè)．(1)試將表示為的函數(shù)，指出其定義域；(2)當工廠的污染強度時，試求點處“污染指數(shù)”的最小值．【答案】(1)，(2)最小值為． 【分析】（1）根據(jù)題意分析可得關(guān)于的函數(shù)解析式以及定義域；（2）由，令，得，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)點受污染源污染程度為，點受污染源污染程度為，其中為比例系數(shù)，且．從而點處受污染程度，．，（2）當時，，因為，令，則，當且僅當時取等號，所以點處“污染指數(shù)”的最小值為．20．已知橢圓，圓的圓心在橢圓上，點到橢圓的右焦點的距離為2，過點作直線交橢圓于?兩點.（1）求橢圓的方程；（2）若，求直線的方程；（3）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）首先根據(jù)點到橢圓的右焦點的距離為2，求出，再根據(jù)圓心在橢圓上，點的坐標滿足橢圓方程求得，，最后寫出橢圓方程；（2）根據(jù)題意分析直線的斜率一定存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理，弦長公式表示，得到，解方程求得，最后寫出直線方程即可；（3）首先利用三角形面積公式及余弦定理化簡得到，接著根據(jù)兩點間距離公式化簡得，最后根據(jù)韋達定理進一步化簡得到，最后根據(jù)判別式法求得參數(shù)的取值范圍即可；【詳解】（1）因為點到橢圓的右焦點的距離為2，所以，所以，又因為圓配方得：，所以，因為圓心在橢圓上，所以，所以：，，所以橢圓的方程為：；（2）因為過點作直線交橢圓于A，兩點，若直線的斜率不存在，橢圓于上下頂點，此時，不合題意；故直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，由韋達定理得：，，所以，解得：，即，所以直線的方程為；（3）由三角形面積公式可知，因為，化簡上式得，又在中利用余弦定理可得：，所以，由（2）知，，，所以，整理得，當時，成立，當時，方程的判別式，解得且，所以，又因為，所以，所以的取值范圍.【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．21．若定義在上的函數(shù)滿足：對于任意實數(shù)，總有恒成立，我們稱為“類余弦型”函數(shù)．(1)已知為“類余弦型”函數(shù)，且，求和的值；(2)在（1）的條件下，定義數(shù)列，求的值；(3)若為“類余弦型”函數(shù)，且對于任意非零實數(shù)，總有，證明：函數(shù)為偶函數(shù)；設(shè)非零有理數(shù)滿足，判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)；(2)2041210(3)，證明見解析 【分析】（1）令，，可求出；令，可求出；（2）令，，得，據(jù)此推出，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出，從而可得，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可求出結(jié)果；（3）令，推出，根據(jù)偶函數(shù)的定義可證是偶函數(shù)；根據(jù)當時，，結(jié)合，推出，令為正整數(shù)，），推出成立．由此推出當，為正整數(shù)，時，成立，設(shè)，，其中是正整數(shù)，是正整數(shù)，令，，，則為正整數(shù)．根據(jù)，推出，再推出，再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）令，，得，得，得，所以.令得，所以．（2）由（1）知，，令，，得，因為，所以，所以．又，所以是以3為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以．（3）令，得，所以，即，所以是偶函數(shù)．因為，又因為當時，，所以當時，有，所以，即，令為正整數(shù)，），對任意的為正整數(shù)，有，則，所以對于且為正整數(shù)，總有成立．所以對于，為正整數(shù)，時，則成立．因為為非零有理數(shù)，所以可設(shè)，，其中是正整數(shù)，是正整數(shù)，則，，令，，，則為正整數(shù)．因為，所以，所以，即．因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（3）問中，根據(jù)當時，，結(jié)合，推出，由此推出當，為正整數(shù)，時，成立，再令，，其中是正整數(shù)，是正整數(shù)，，，，推出是解題關(guān)鍵. 

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