2022-2023學年上海市復興高級中學高一上學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．如果實數(shù)a，b同號，那么下列命題中正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】當時可判斷A選項；當，可判斷BC選項；由基本不等式可判斷判斷D.【詳解】A選項；當a，b同號，且時，，故A錯誤；B選項；當，時，則，，則，故B錯誤；C選項；當，時，則，，所以，故C錯誤；D選項：因為實數(shù)a，b同號，則，，由基本不等式，當且僅當 時取等號，故D正確.故選：D.2．已知、，且，則下列不等式：①；②；③；④；其中正確個數(shù)是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】對以上四個式子均進行平方處理，消去平方項，剩余乘積項，容易判斷.【詳解】①兩邊平方，可得：，化簡得：，與矛盾，故①錯誤；②兩邊平方，化簡得：，符合題意，故②正確；③兩邊平方，化簡得：，因為故上式不成立，③錯誤；④兩邊平方，化簡得：，因為，所以，故④錯誤.正確個數(shù)為1個故選：B3．某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，、為常數(shù)），若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是（       ）小時A．22 B．23 C．24 D．33【答案】C【詳解】由題意可得：，解得：∴∴該食品在33℃的保鮮時間是24小時故選C4．定義，設、、是某集合的三個子集，且滿足，則是的（    ）A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【分析】作出示意圖，由可知兩個陰影部分均為，根據(jù)新定義結(jié)合集合并集的運算以及充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】如圖，由于，故兩個陰影部分均為，于是，（1）若，則，，而，成立；（2）反之，若，則由于，，，，，故選：A【點睛】本題主要考查集合并集的運算以及充分條件與必要條件的定義，考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于較難題. 二、填空題5．若全集，，則用列舉法表示集合______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出并用列舉法寫出作答.【詳解】全集，，所以.故答案為：6．不等式的解集為__________．【答案】【分析】根據(jù)分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解即可.【詳解】因為,所以，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：7．使得表達式有意義的x范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0求解即可.【詳解】式子要有意義，則，解得，所以x范圍是.故答案為：.8．已知集合，，則__________．【答案】【分析】檢驗A中元素是否為方程的根，確定集合的交集結(jié)果即可.【詳解】，，把代入方程，方程不成立，故，再把代入方程，方程不成立，故，,故答案為：9．已知，則的值為___________．【答案】【分析】由題得，再化簡代入即得解.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：10．設是實數(shù)，若是的一個充分條件，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】利用充分條件的定義，將問題轉(zhuǎn)化為，由子集的定義求解即可.【詳解】解：因為是的一個充分條件，則，所以，則的取值范圍是.故答案為：.11．若，且函數(shù)與的圖象恰有兩個交點，則滿足條件的不同集合有________個【答案】4【分析】列舉出所有兩個不同函數(shù)的交點個數(shù)，篩選出符合題意的函數(shù)即可得結(jié)果.【詳解】圖象與、、、的圖象有1個、1個，2個、2個交點；圖象與、、的圖象有1個、1個，1個交點；圖象與、的圖象有2個、2個交點；圖象與的圖象有3個交點，綜上可得，滿足函數(shù)與的圖象恰有兩個交點的集合有4個：，故答案為：4【點睛】本題主要考查冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬于基礎題.12．若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)絕對值的意義表示數(shù)軸上的對應點到2和對應點的距離之和，它的最小值等于，可得答案.【詳解】表示數(shù)軸上的對應點到2和對應點的距離之和，它的最小值等于，由不等式恒成立知，，解得：故答案為：.13．已知關(guān)于的不等式組有唯一實數(shù)解，則實數(shù)的取值集合是________.【答案】【分析】根據(jù)不等式有唯一實數(shù)解最大值；不等式有唯一實數(shù)解最小值可以判斷實數(shù)的取值，故本題關(guān)鍵是要對參數(shù)進行分類討論，以確定不等式的類型，在各種情況中分別解答后，綜合結(jié)論即得最終結(jié)果．【詳解】解：若，不等式組可化為：，不滿足條件若，則若不等式組，時，滿足條件解得：若，則若不等式組，時，滿足條件解得：故答案為：【點睛】本題考查一元二次不等式的解法，考查分類討論思想，屬于基礎題.14．若函數(shù)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是_____【答案】【解析】分段函數(shù)的兩段都遞增且端點處函數(shù)值左邊不比右邊大，可得范圍．【詳解】函數(shù)單調(diào)遞增， 解得所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：．【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，考查對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)，則它的每段函數(shù)同單調(diào)，端點處的函數(shù)值還必須滿足對應的不等關(guān)系．15．設，且，則的最小值為_______________．【答案】【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，對等價變換轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式求最值.【詳解】因為，且所以 ，當且僅當時，等號成立，故答案為：．16．已知，若存在定義域為R的函數(shù)同時滿足下列兩個條件：①對任意，的值為或；②關(guān)于x的方程無實數(shù)解，則a的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據(jù)條件①可知或，進而結(jié)合條件②分析函數(shù)的構(gòu)成，即可確定的范圍.【詳解】根據(jù)條件①，令，可得即或或，根據(jù)條件②關(guān)于的方程無實數(shù)解，所以且；由條件①可知函數(shù)的圖象是由函數(shù)和函數(shù)的圖象分段拼接而成的，若，只需取，則無解；若，只需取，則無解；若，只需取，則無解；若，只需取，則無解；故的取值范圍是.故答案為：． 三、解答題17．解關(guān)于x的不等式【答案】見解析【分析】將不等式變形為，然后分，，，，分別求解，即可得到答案．【詳解】不等式，變形為，①當時，不等式的解集為；②當時，不等式的解集為或；③當時，若時，，不等式的解集為；若時，，不等式的解集為；若時，，不等式的解集為．綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為或；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為．18．（1）不用計算器求值：；（2）運用冪的性質(zhì)證明：若，，則．【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運算法則及性質(zhì)化簡求值；（2）根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化，利用指數(shù)冪的性質(zhì)證明即可.【詳解】（1）原式.（2）證明：令，則，，，又，，即.19．某企業(yè)參加項目生產(chǎn)的工人為人，平均每人每年創(chuàng)造利潤萬元.根據(jù)現(xiàn)實的需要，從項目中調(diào)出人參與項目的售后服務工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤萬元（），項目余下的工人每人每年創(chuàng)造利圖需要提高（1）若要保證項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)出多少人參加項目從事售后服務工作？（2）在（1）的條件下，當從項目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的時，才能使得項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意，列出不等式，求解即可；（2）求出的范圍，得出不等式，整理可得恒成立，根據(jù)的范圍，可知函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，當時，函數(shù)取得最小值．【詳解】設調(diào)出人參加項目從事售后服務工作（1）由題意得：，即，又，所以．即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè)．（2）由題知，，從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為萬元，則，所以，所以，即恒成立，因為，所以，所以，又，所以，即的取值范圍為．【點睛】考查了利用不等式解決實際問題，難點是建立不等式關(guān)系，利用函數(shù)單調(diào)性求出最值．20．（1）當時，解關(guān)于x的方程；（2）當時，要使對數(shù)有意義，求實數(shù)x的取值范圍；（3）若關(guān)于x的方程有且僅有一個解，求實數(shù)a的取值范圍【答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）解對數(shù)方程，其中；（2）有意義，要求真數(shù)大于0；（3）通過化簡變?yōu)?/span>有且僅有一個解，對進行分類討論，注意變形中的真數(shù)要始終成立，所以要檢驗.【詳解】（1）∵∴∴（2）對數(shù)有意義，則，解得：或，所以實數(shù)x的取值范圍為或；（3）即=①方程兩邊同乘x得：即②當時，方程②的解為，此時代入①式，，符合要求當時，方程②的解為，此時代入①式，，符合要求當且時方程②的解為或，若是方程①的解，則，即若是方程①的解，則，即則要使方程①有且僅有一個解，則綜上：方程有且僅有一個解，實數(shù)a的取值范圍是21．已知集合中的元素都是正整數(shù)，且．若對任意，且，都有成立，則稱集合A具有性質(zhì)M．(1)判斷集合是否具有性質(zhì)M；(2)已知集合A具有性質(zhì)M，求證：；(3)已知集合A具有性質(zhì)M，求A中元素個數(shù)的最大值，并說明理由．【答案】(1)具有(2)證明見解析(3)9，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)所給性質(zhì)及集合，全部元素驗證所給即可得解；（2）由所給性質(zhì)變形可得，利用累加相消法即可得解；（3）利用所給性質(zhì)先放縮法確定確定，再同理可得，假設 可推出矛盾，當時，利用基本不等式證明成立，即可得出的最大值.【詳解】（1） 集合具有性質(zhì).（2）由題意，，又，所以，可得：，所以.即.（3）由（2）知，，可得，因此，同理，可得，.又，可得，所以也均成立.當時，取，則，可知.又當時，，所以.因此集合中元素個數(shù)的最大值為9.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)，利用放縮法變?yōu)?/span>，先取，判斷出，再分，時，與25 的大小即可，屬于難題. 

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