2021-2022學(xué)年上海市復(fù)興高級中學(xué)高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．集合且，且，則____．【答案】【分析】根據(jù)題意先求出集合的具體取值，然后利用交集的定義即可求解.【詳解】因為集合且，且，則，且且，所以，則有，故答案為：.2．已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍為____．【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合，即可得到答案.【詳解】根據(jù)，結(jié)合數(shù)軸可知，在的左側(cè)或與之重合，故.故答案為：.3．已知方程的兩根為，，則______.【答案】【分析】由方程易知，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出、，由即可求值.【詳解】由題設(shè)知：，∴，，∴.故答案為：.4．已知正實數(shù)滿足及，則中至少有一個小于1，用反證法證明該命題時，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，則____．【答案】都不小于1【分析】存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，寫出答案即可.【詳解】至少有一個小于1的否定是都不小于1.故答案為：都不小于15．已知條件，，且p是q的必要條件，則實數(shù)k的取值范圍為_________．【答案】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系得到關(guān)于的不等式組解出即可．【詳解】∴，∴，解得，故答案為：．【點睛】結(jié)論點睛：一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件， 則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件， 對的集合與對應(yīng)集合互不包含．6．已知等式恒成立，其中為實數(shù)，則_____．【答案】【分析】方法一：將等式左邊展開，比較系數(shù)可得答案；方法二：令可得答案.【詳解】法一：，所以；法二：在中，令得.故答案為：7．已知集合，，則____．【答案】【分析】解分式不等式得到，得到，進而求出交集.【詳解】等價與，解得：或，故或，又，故，所以．故答案為：.8．已知若關(guān)于的方程有實根，則的取值范圍是______________．【答案】【詳解】本題考查二次方程有關(guān)知識與絕對值不等式知識的綜合應(yīng)用；由于關(guān)于的二次方程有實根，那么即，而，從而，解得． 9．若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則的取值范圍是_____【答案】【詳解】由得由整數(shù)有且僅有1，2，3知，解得 10．定義集合運算，集合，則集合所有元素之和為________【答案】18【分析】由題意可得，進而可得結(jié)果.【詳解】當當當當和為故答案為：1811．已知集合有整數(shù)解，非空集合滿足條件：（1），（2）若，則，則所有這樣的集合的個數(shù)為____．【答案】【分析】根據(jù)集合有整數(shù)解，結(jié)合韋達定理可求出集合，再由題目信息中集合滿足的兩個條件，得到集合中互為相反數(shù)的兩個元素同屬于集合或同不屬于集合，即可求解.【詳解】因為的整數(shù)解只能是36的約數(shù)，當方程的解為，36時，；當方程的解為，18時，；當方程的解為，12時，；當方程的解為，9時，；當方程的解為，6時，；當方程的解為1，時，；當方程的解為2，時，；當方程的解為，時，；當方程的解為，時，；故集合由非空集合滿足條件：（1），（2）若，則，即集合中互為相反數(shù)的兩個元素同屬于集合或同不屬于集合，得這樣的集合共有個，故答案為：.12．已知集合，其中，，且．若正整數(shù)m、n∈A，且m+n=2 010(m>n)，則符合條件的正整數(shù)m有_______個．【答案】662【詳解】依題意，知m、n是七進制中的四位數(shù)，而七進制四位數(shù)中最大的一個數(shù)為，最小的一個數(shù)為.因為m+n=2010(m>n)，所以，1006≤m≤1667.故符合條件的正整數(shù)m有1667-1006+1=662(個). 二、單選題13．若集合中的元素是△ABC的三邊長，則△ABC一定不是（    ）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】根據(jù)集合元素的互異性即可判斷.【詳解】由題可知，集合中的元素是的三邊長，則，所以一定不是等腰三角形．故選：D．14．設(shè)集合，在上定義運算，其中為被4除的余數(shù)（其中，則滿足關(guān)系式的的個數(shù)為（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)題目信息，在集合中取值驗證即可.【詳解】當時，當時，當時，當時，則滿足關(guān)系式的的個數(shù)為2個，故選：C．15．已知，則滿足關(guān)于的方程的充要條件是A． B．C． D．【答案】C【詳解】試題分析：滿足關(guān)于的方程，則，則處取得函數(shù)最小值，函數(shù)為二次函數(shù)，，所以滿足關(guān)于的方程的充要條件是【解析】充分條件與必要條件點評：若則是的充分條件，是的必要條件 16．若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】分類討論去絕對值求解.【詳解】（1）當或時，，不等式為，若不等式恒成立，必需 所以；（2）當時，，不等式為即，（ⅰ）當時，不等式對任意恒成立，（ⅱ）當時，不等式恒成立即恒成立，所以，解得，（ⅲ）當時，不等式恒成立即恒成立，所以，解得綜上，實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題考查絕對值不等式，含參數(shù)的二次不等式恒成立. 含參數(shù)的二次不等式恒成立通常有兩種方法：1、根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為不等式組；2、分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值. 三、解答題17．已知不等式：①，②，③．(1)分別求出不等式①與②的解集；(2)若同時滿足①②的值也滿足③，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，或(2) 【分析】（1）解一元二次不等式和高次不等式即可求解；（2）根據(jù)不等式的解集包含，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由①得，即，故解集為，由②得，即，解得解集或，（2）或，由題意得不等式的解集包含，令，只需，解得．18．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下列橫線中，求解下列問題．設(shè)集合__________，集合．（1）若集合B的子集有2個，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】答案見解析【分析】（1）依題意集合B元素個數(shù)為1，則，計算可得；（2）分別求出集合，再由，則，即可得到不等式組，解得即可；【詳解】解：（1）∵集合B的子集有2個，∴集合B元素個數(shù)為1∴解得：（2）選①集合集合∵∴顯然有要滿足條件，必有：，解，即，所以解得或；解，即，所以解得或；綜上可得選②，集合∵∴要滿足條件，必有：解得；選③解得集合∵∴要滿足條件，必有：解得；19．選修4-5不等式選講設(shè)均為正數(shù)，且，證明：（Ⅰ）若，則；（Ⅱ）是的充要條件．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析．【詳解】（Ⅰ）因為，，由題設(shè)，，得．因此．（Ⅱ）（ⅰ）若，則．即．因為，所以，由（Ⅰ）得．（ⅱ）若，則，即．因為，所以，于是．因此，綜上，是的充要條件．【解析】推理證明． 20．已知關(guān)于的不等式的解集為；(1)若,求的取值范圍；(2)若存在兩個不相等負實數(shù)，使得，求實數(shù)的取值范圍；(3)是否存在實數(shù)，滿足：“對于任意，都有；對于任意的，都有”，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)； (3)存在，3 【分析】（1）討論二次項系數(shù)和不為0時，求出原不等式的解集為R時k的取值范圍；（2）若存在兩個不相等負實數(shù)，使得，即和是方程的兩根，由判別式及韋達定理求解即可；（3）根據(jù)題意得出解集，討論的取值，求出原不等式的解集，判斷是否滿足條件即可．【詳解】（1）解：當時，解得或，當時，不等式化為1＞0，∴時，解集為R，當時，不等式化為，對任意實數(shù)x不等式不成立，當時，，解得：,綜上，的取值范圍是；（2）解：若存在兩個不相等負實數(shù)，使得，所以方程的兩根分別為和,所以，解得：；（3）解：根據(jù)題意，得出解集，；當時，解得或，時，不等式的解集為，滿足條件；時，1＞0恒成立，不滿足條件；當時，此時對應(yīng)的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不滿足條件；當時，此時對應(yīng)的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不滿足條件；綜上，滿足條件的值為3.21．已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：，．其中是有序數(shù)對，集合和中的元素個數(shù)分別為和．若對于任意的，總有，則稱集合具有性質(zhì)．（Ⅰ）檢驗集合與是否具有性質(zhì)并對其中具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合和．（Ⅱ）對任何具有性質(zhì)的集合，證明．（Ⅲ）判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（Ⅰ）集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)，相應(yīng)集合，，集合，（Ⅱ）見解析（Ⅲ）【詳解】解：集合不具有性質(zhì)．集合具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合和是，．（II）證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對共有個．因為，所以；又因為當時，時，，所以當時，．從而，集合中元素的個數(shù)最多為，即．（III）解：，證明如下：（1）對于，根據(jù)定義，，，且，從而．如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也至少有一個不成立．故與也是的不同元素．可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，（2）對于，根據(jù)定義，，，且，從而．如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也不至少有一個不成立，故與也是的不同元素．可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，由（1）（2）可知，． 

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