2021-2022學(xué)年上海市復(fù)興高級中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】先求出集合M，N，再由可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】解：由題意得，，因為，所以，故答案為：2．若點是角終邊上的一點，則_________．【答案】【分析】利用三角函數(shù)的定義即可得解.【詳解】因為點是角終邊上的一點，所以．故答案為：.3．在半徑為2的圓中，弧長為1的圓弧所對的圓心角的弧度數(shù)為__．【答案】##0.5【分析】由圓心角定義求解.【詳解】半徑為2的圓中，弧長為1的圓弧所對的圓心角.故答案為：4．函數(shù)的最小正周期是______________【答案】【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式化簡表達式，進而利用周期公式即可求得最小正周期．【詳解】由余弦的二倍角公式可得 所以最小正周期為【點睛】本題主要考查了余弦的二倍角公式及余弦的周期求法，屬于基礎(chǔ)題．5．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則________.【答案】【解析】令求出其對稱軸，再令對稱軸等于結(jié)合，即可求解【詳解】令，可得：，令，解得，因為，所以，，故答案為：6．化簡：=_________.【答案】【詳解】因為，所以填.7．若，則__．【答案】【分析】根據(jù)余弦差角公式的逆運算得到，結(jié)合，求出，再利用正弦的二倍角公式求出答案.【詳解】，，則，所以．故答案為：8．函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間是______.【答案】【分析】即求在的嚴(yán)格減區(qū)間，先求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再將所求區(qū)間與定義域取交集可得出答案．【詳解】由得，即求在的嚴(yán)格減區(qū)間，正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，由，得，記，則，故答案為：.9．在中，設(shè)、、分別是三個內(nèi)角、、所對的邊，，，面積，則內(nèi)角的大小為__．【答案】或【分析】由三角形面積公式進行求解即可.【詳解】∵的面積，∴，∵，∴或．故答案為：或.10．若可化為，則角的一個值可以為__．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)二倍角公式和輔助角公式即可化簡得，進而可得,即可求解.【詳解】，所以，則角的一個值可以為．故答案為：11．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的取值范圍是_______．【答案】【詳解】,令,,其圖像開口向下,對稱軸為,故在區(qū)間上為增函數(shù).令,解得.故的范圍須在.而,根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性可知.12．函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓與的圖象交于?兩點，且在軸上，圓的半徑為，則___________.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖像求出周期，進而可得的值，再代點分別求出和的值，即可得到函數(shù)的解析式，進而可得.【詳解】由圖可知，點，故，即，因，所以.由，得，又因，所以，故.由圖可知，又因且圓的半徑為，所以，因此，即，所以.因此.故答案為：. 二、單選題13．在△ABC中，“A＝”是“cos A＝”的(　　)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)在中，根據(jù)角得范圍和特殊角的三角函數(shù)值，及充要條件的判定方法，即可判定，得到答案.【詳解】在中，則，所以且，所“”是“”的充要條件，故選C.【點睛】本題主要考查了充要條件的判定問題，其中熟記充要條件的判定方法，以及特殊角的三角函數(shù)值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.14．若，則的取值范圍為（    ）A．或B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)同角關(guān)系式關(guān)系結(jié)合條件可得，進而或，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即得.【詳解】若，則，即，所以或，所以的取值范圍為或.故選：A．15．如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ【答案】B【分析】由題意首先確定面積最大時點P的位置，然后結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.【詳解】觀察圖象可知，當(dāng)P為弧AB的中點時，陰影部分的面積S取最大值，此時∠BOP=∠AOP=π-β, 面積S的最大值為+S△POB+ S△POA=4β+.故選B.【點睛】本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)式子變形和運算求解能力，有一定的難度.關(guān)鍵觀察分析區(qū)域面積最大時的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示.16．已知（）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，若的圖像關(guān)于原點對稱，的圖像關(guān)于軸對稱，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合五點作圖法及函數(shù)圖象進行計算求解即可.【詳解】可設(shè)滿足, 且（）,則,注意到五點作圖法的最左邊端點為,而,,故有,,當(dāng)時，，，此時；當(dāng)時，，，此時,故選：C． 三、解答題17．已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】(1)將題干中式子化簡，并結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得到結(jié)果；(2)利用二倍角公式將所求式子化簡成，然后利用（1）的結(jié)論即可求解.【詳解】（1）因為，則，所以，所以，所以；（2）．18．已知.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值域.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，解不等式，可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由可求出的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】（1），令，，解得，，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2），，則，所以，，因此，當(dāng)時，的值域為.【點睛】方法點睛：求函數(shù)在區(qū)間上值域的一般步驟：第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或)的取值范圍；第三步：求出所求函數(shù)的值域（或最值）.19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．銳角的終邊分別與單位圓交于兩點，角的終邊與單位圓交于點，過點分別作軸的垂線，垂足分別為、、．(1)如果，，求的值；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義得到，，進而利用同角三角函數(shù)關(guān)系得和余弦差角公式求出答案；（2）表達出，，利用三角函數(shù)有界性進行適當(dāng)放縮，證明出，再利用適當(dāng)放縮證明出，從而證明出結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：，，由于、均為銳角，所以，，所以．（2），，所以，，所以，同理，所以線段．20．圖所示，我國黃海某處的一個圓形海域上有四個小島，小島與小島、小島相距都為公里，與小島相距公里（其中為常數(shù)），已知角為鈍角，且．（1）求小島與小島之間的距離；（用表示）（2）求四個小島所形成的四邊形的面積；（用表示）（3）記為，為，求的值．【答案】（1）公里；（2）平方公里；（3）．【分析】（1）結(jié)合同角得平方關(guān)系求出的值，進而在中結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果求出的面積，再在中利用余弦定理求出，進而結(jié)合三角形的面積公式求出的面積，進而可以求出結(jié)果；（3）在利用余弦定理求出的值，進而結(jié)合同角的平方關(guān)系求出的值，然后結(jié)合兩角和的正弦公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為角為鈍角，且，所以，在中，，即，因為，解得，所以小島與小島之間的距離公里；（2）由（1）知，所以，因為，所以，在中，，即，因為，解得，所以,所以，所以四個小島所形成的四邊形的面積為平方公里；（3）在中，，，因此，，則，,所以.21．若定義域為的函數(shù)滿足：對于任意，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（1）設(shè)函數(shù)，的表達式分別為，，判斷函數(shù)與是否具有性質(zhì)，說明理由；（2）設(shè)函數(shù)的表達式為，是否存在以及，使得函數(shù)具有性質(zhì)？若存在，求出，的值；若不存在，說明理由；（3）設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，且在上的值域恰為；以為周期的函數(shù)的表達式為，且在開區(qū)間上有且僅有一個零點，求證：．【答案】（1）函數(shù)具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，理由見解析；（2）不具備，理由見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)具有性質(zhì)的定義依次討論即可得答案；（2）假設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，則有，即，進而得，再根據(jù)并結(jié)合函數(shù)的值域為得，故，此時，在驗證不具有性質(zhì)，進而得到答案；（3）結(jié)合（2），并根據(jù)題意得，進而得在的值域為，當(dāng)時，與零點唯一性矛盾得或，再討論當(dāng)時不成立得，即．【詳解】（1）函數(shù)具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，說明如下：，，對任意，都有，所以具有性質(zhì)，，，所以，所以不具有性質(zhì)；（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，則有，即，于是，結(jié)合知，因此；若，不妨設(shè)由可知：（記作*），其中只要充分大時，將大于1考慮到的值域為為，等式（*）將無法成立，綜上所述必有，即；再由，，從而，而當(dāng)時，，而，顯然兩者不恒相等（比如時)綜上所述，不存在以及使得具有性質(zhì)；(3）由函數(shù)具有性質(zhì)以及（2）可知，由函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，有，即，也即由，及題設(shè)可知在的值域為當(dāng)時，當(dāng)及時，均有，這與零點唯一性矛盾，因此或，當(dāng)時，，在的值域為此時于是在上的值域為，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，此時當(dāng)時和的取值范圍不同，因而，即．【點睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，考查邏輯推理能力，運算求解能力，是難題.本題解題的關(guān)鍵在于正確理解具有性質(zhì)P的函數(shù)的定義，利用定義，結(jié)合反證法，分類討論思想等討論求解. 

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