2022-2023學年四川省瀘州市敘永第一中學校高二上學期開學考試數學試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解集合中的不等式和集合中函數的定義域，化簡兩個集合，再求集合的交集即可.【詳解】由題意，，，則.故選：B.2．某城市為了解游客人數的變化規(guī)律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數據，繪制了下面的折線圖．根據該折線圖，下列結論錯誤的是（    ）A．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．月接待游客量逐月增加【答案】D【分析】由折線圖逐項分析求解即可【詳解】對于A：由折線圖可知：各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故A正確；對于B：由折線圖可知：2014年至2016年的同一個月月接待游客量均在增加，故年接待游客量逐年增加，故B正確；對于C：由折線圖可知：各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正確；對于D：由折線圖可知：2014年8月至9月，游客接待量由35萬人下降到30萬人，故D錯誤；故選：D3．某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150，120，180，150個銷售點．公司為了調查產品銷售情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本．記這項調查為①；在丙地區(qū)有20個大型銷售點，要從中抽取7個調查其銷售收入和售后服務等情況，記這項調查為②，則完成①，②這兩項調查宜采用的抽樣方法依次是(　　)A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法【答案】B【分析】此題為抽樣方法的選取問題．當總體中個體較少時宜采用簡單隨機抽樣法；當總體中的個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當總體中個體較多時，宜采用系統(tǒng)抽樣．【詳解】依據題意，第①項調查中，總體中的個體差異較大，應采用分層抽樣法；第②項調查總體中個體較少，應采用簡單隨機抽樣法．故選B．【點睛】本題考查隨機抽樣知識，屬基本題型、基本概念的考查．4．已知變量之間的線性回歸方程為,且變量之間的一組相關數據如表所示：則下列說法錯誤的是（    ）681012      632A．變量,之間呈負相關關系 B．C．可以預測,當時, D．該回歸直線必過點【答案】B【分析】根據線性回歸方程的斜率可判斷變量之間的正負相關關系;線性回歸方程過,求出的值;將代入線性回歸方程中,即可求出預測值;將代入線性回歸方程中,即可判斷D的正誤.【詳解】解:由題知線性回歸方程為,故選項A正確;,且線性回歸方程過,代入中可得,,故選項B錯誤;將代入線性回歸方程中,可得,故選項C正確;將代入中可得,所以回歸直線必過點,故選項D正確.故選:B5．以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）．已知甲組數據的中位數為15，乙組數據的平均數為16.8，則x，y的值分別為（　?。?/span>A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【答案】C【詳解】試題分析：由題意得，，選C.【解析】莖葉圖 6．采用系統(tǒng)抽樣方法從人中抽取32人做問卷調查，為此將他們隨機編號為，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為.抽到的人中，編號落入區(qū)間的人做問卷，編號落入區(qū)間的人做問卷，其余的人做問卷.則抽到的人中，做問卷的人數為A． B． C． D．【答案】C【詳解】從960人中用系統(tǒng)抽樣方法抽取32人，則抽樣距為k＝，因為第一組號碼為9，則第二組號碼為9＋1×30＝39，…，第n組號碼為9＋(n－1)×30＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．【解析】系統(tǒng)抽樣. 7．有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同．已知三個房間的粉刷面積（單位：）分別為，，，且，三種顏色涂料的粉刷費用（單位：元/）分別為，，，且．在不同的方案中，最低的總費用（單位：元）是A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，，所以，故；同理，，故.因為，故.故最低費用為.故選B. 8．若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是A．  B． C．  D． 【答案】B【詳解】因為，且，所以設，則，所以單調遞增，所以 ，所以選B.【名師點睛】比較冪或對數值的大小,若冪的底數相同或對數的底數相同,通常利用指數函數或對數函數單調性進行比較,若底數不同,可考慮利用中間量進行比較.本題雖小，但考查的知識點較多，需靈活利用指數函數、對數函數的性質及基本不等式作出判斷.9．若正數x，y滿足，則的最大值為（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】已知等式變形為，然后用“1”的代換求出的最小值即可得．【詳解】∵x，y均為正數，，∴，∴，當且僅當，即時等號成立，∴，所求最大值為．故選：D．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方10．若兩個正實數x，y滿足，且不等式有解，則實數m的取值范圍是     A． B． C． D．【答案】D【分析】將原問題轉化為求最值的問題，然后利用均值不等式求最值即可確定實數m的取值范圍.【詳解】若不等式有解，即即可，，，則，當且僅當，即，即時取等號，此時，，即，則由得，即，得或，即實數m的取值范圍是，故選D．【點睛】本題主要考查基本不等式的應用，利用不等式有解轉化為最值問題是解決本題的關鍵．11．已知實數滿足，且，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，變形，展開，利用基本不等式即可求最值.【詳解】因為，所以，即，，當且僅當即時取等號.故選：C.【點睛】本題考查基本不等式，考察轉化與規(guī)劃思想，應用基本不等式時，由和為定值，求其他和的最值，須兩和相乘，化為基本不等式應用的模型.12．在正方體中，E為的中點，F為底面ABCD上一動點，且EF與底面ABCD所成的角為．若該正方體外接球的表面積為，則動點F的軌跡長度為（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】取AD的中點H，連接EH，判斷出為EF與底面ABCD所成的角，即．設正方體的棱長為a，利用外接球的表面積求出.判斷出F的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD區(qū)域內的部分，利用弧長公式求出動點F的軌跡的長度.【詳解】如圖1，取AD的中點H，連接EH，則.在正方體中，底面ABCD，所以底面ABCD.所以為EF與底面ABCD所成的角，則．設正方體的棱長為a，因為該正方體外接球的表面積為，所以，解得，所以，從而，所以F的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD區(qū)域內的部分，如圖2．在圖2中，，所以，則，根據對稱性可知，所以，故動點F的軌跡周長為．故選：A 二、填空題13．氣象意義上從春季進入夏季的標志為連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃.現有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數據：（記錄數據都是正整數）①甲地5個數據的中位數為24，眾數為22；②乙地5個數據的中位數為27，總體均值為24；③丙地5個數據中有一個數據是32，總體均值為26，總體方差為10.8.則肯定進入夏季的地區(qū)有_____．【答案】①③【分析】根據數據的特點進行估計甲、乙、丙三地連續(xù)天的日平均氣溫的記錄數據，分析數據的可能性進行解答即可得出答案．【詳解】①甲地：個數據的中位數為，眾數為，根據數據得出：甲地連續(xù)天的日平均溫度的記錄數據可能為：、、、、，其連續(xù)天的日平均氣溫均不低于；②乙地：個數據的中位數為，總體均值為，當個數據為、、、、，可知其連續(xù)天的日平均溫度有低于，故不確定；③丙地：個數據中有一個數據是，總體均值為，若有低于，假設取，此時方差就超出了，可知其連續(xù)天的日平均溫度均不低于，如、、、、，這組數據的平均值為，方差為，但是進一步擴大方差就會超過，故③對．則肯定進入夏季的地區(qū)有甲、丙兩地，故答案為①③．【點睛】本題考查中位數、眾數、平均數、方差的數據特征，簡單的合情推理，解答此題應結合題意，根據平均數的計算方法進行解答、取特殊值即可．14．已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【分析】根據已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】，,，當且僅當=4時取等號，結合,解得，或時，等號成立.故答案為：【點睛】本題考查應用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關鍵，屬于基礎題.15．已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.【分析】將所給論斷，分別作為條件、結論加以分析.【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結論，得到如下三個命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m. 正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.正確；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.【點睛】本題主要考查空間線面的位置關系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.16．在面積為2的中，，分別是，的中點，點在直線上，則的最小值是______.【答案】【分析】由平面幾何的知識結合三角形面積公式可得，由平面向量數量積的運算可得，由余弦定理結合基本不等式可得，進而可得，令，利用導數求得的最小值后即可得解.【詳解】因為、分別是、的中點，所以到的距離等于點到的距離的一半，所以，又，所以，因此，所以；又由余弦定理可得：，當且僅當時，取等號；所以，令，，；又，由得，所以；由得，所以；所以在上單調遞減，在上單調遞增；所以，因此的最小值是.故答案為：.【點睛】本題考查了基本不等式、余弦定理、導數的應用及向量數量積的最值問題，考查了運算求解能力與轉化化歸思想，屬于中檔題. 三、解答題17．為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據試驗數據分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于”，根據直方圖得到的估計值為.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）.【答案】(1) ，；(2) ，.【分析】(1)由及頻率和為1可解得和的值；(2)根據公式求平均數.【詳解】(1)由題得，解得，由，解得.(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為，乙離子殘留百分比的平均值為【點睛】本題考查頻率分布直方圖和平均數，屬于基礎題.18．某公司有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元.為了增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產業(yè)結構，調整出名員工從事第三產業(yè)，調整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤為萬元（a＞0），剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高．（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤，則最多調整出多少名員工從事第三產業(yè)？（2）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤條件下，若要求調整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，求a的最大值．【答案】（1）750；（2）7.【分析】（1）根據題意可列出，進而解不等式求得的范圍，確定問題的答案．（2）根據題意分別表示出從事第三產業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤和從事原來產業(yè)的員工的年總利潤，進而根據題意建立不等式，根據均值不等式求得的取值范圍，即可得出答案.【詳解】解：（1）由題意得：，即，又，所以．即最多調整750名員工從事第三產業(yè)；（2）從事第三產業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，從事原來產業(yè)的員工的年總利潤為萬元，則，即，所以，即，在，恒成立，因為，當且僅當，即時等號成立．所以，又，所以，所以a的最大值為7.19．已知為等差數列，前n項和為，是首項為2的等比數列，且公比大于0，，，.(1)求和的通項公式；(2)求數列的前n項和.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由等差等比的通項公式列出方程，求解得出通項公式；（2）先得出數列的通項公式，再由錯位相減法求和即可.【詳解】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為.由已知，得，而，所以又，解得，所以由，可得①由，可得②聯(lián)立①②，解得，由此可得所以數列的通項公式為，數列的通項公式為（2）解：設數列的前項和為，由，有，故上述兩式相減，得得.所以，數列的前項和為.20．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進而得到結果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（當且僅當時取等號），，解得：（當且僅當時取等號），周長，周長的最大值為.[方法二]：正弦化角（通性通法）設，則，根據正弦定理可知，所以，當且僅當，即時，等號成立．此時周長的最大值為．[方法三]：余弦與三角換元結合在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當時，，所以周長的最大值為．【整體點評】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理角化邊的應用、余弦定理的應用、三角形周長最大值的求解問題；方法一：求解周長最大值的關鍵是能夠在余弦定理構造的等式中，結合基本不等式構造不等關系求得最值. 方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍進行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決. 方法三巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦函數求最值問題.21．在如圖所示的圓柱中,為圓的直徑,是上的兩個三等分點,,,都是圓柱的母線.(1)求證：平面;(2)若已知直線與平面所成角為求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】(1)根據題意由面面平行,證明線面平行即可;(2)由可得到底面的長度和角度,由與平面所成角為可得到母線長,通過建立直角坐標系,求兩個面的法向量,進而求得二面角大小的余弦值.【詳解】（1）證明:為圓的直徑,是上的兩個三等分點,,,均為等邊三角形,,四邊形是平行四邊形,,又平面平面,平面,平面平面,平面,,平面平面,平面,平面.（2）連接,則圓,,,又,以為原點,所在直線分別為軸,建系如圖示:則,,設平面的法向量,,令則,而平面的法向量為,,即二面角的余弦值22．已知函數當時，求函數的定義域；若存在使關于的方程有四個不同的實根，求實數的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）將問題轉化為解不等式，即，然后就與的大小進行分類討論，求出該不等式的解，即可得出函數的定義域；（2），將問題轉化為：關于的方程有兩個不同的正根，得出，兩根之和為正、兩根之積為正，列出不等式組可解出實數的取值范圍.【詳解】（1）由題意，，即，解方程，得，.①當時，即當時，解不等式，得或，此時，函數的定義域為；②當時，即當時，解不等式，得，此時，函數的定義域為；③當時，即當時，解不等式，解得或，此時，函數的定義域為；（2）令，則關于的方程有四個不同的實根可化為，即有兩個不同的正根，則，解得.【點睛】本題考查含參不等式的求解，考查函數的零點個數問題，在求解含參不等式時，找出分類討論的基本依據，在求解二次函數的零點問題時，應結合圖形找出等價條件，通過列不等式組來求解，考查分類討論數學思想以及轉化與化歸數學思想，屬于中等題． 

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