仁壽一中南校區(qū)2021級高二（上）入學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有一項(xiàng)是符合題目要求.1、若點(diǎn)P（3，1）到直線l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距離為3，則a＝（　?。?/span>A．2 B．3 C． D．42、如圖，平行四邊形ABCD中，，，點(diǎn)E是AC的三等分點(diǎn)EC，則（　?。?/span>A． B． C． D．3、已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（　?。?/span>A．6 B．8 C．20 D．244、在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，若使△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積是（　?。?/span>A．36π B．28π C．20π D．16π5、一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示．則該幾何體的體積為（　?。?/span>A．π B．π C．π D．1π6、設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（　　）A．若α⊥β，l?α，m?β，則l⊥m B．若l⊥α，l⊥β，α∥β C．若m⊥β，α⊥β，則m∥α D．若α∥β，且l與α所成的角和m與β所成的角相等，則l∥m7、已知，則（　　）A． B． C． D．8、圓錐底面半徑為1，高為，其中有一個(gè)內(nèi)接正方體，求這個(gè)內(nèi)接正方體的棱長是（　　）A． B． C． D．9、已知球O的半徑為R，A，B，C三點(diǎn)在球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，則球O的表面積為（　?。?/span>A．48π B．16π C．64π D．36π10、在正方形ABCD中，O為BD中點(diǎn)，將平面ABD沿對角線BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，則直線AB與CD所成角為（　　）A．30° B．45° C．60° D．90°11、如圖，ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，下列錯誤的是（　?。?/span> A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥A1D C．平面ADC1⊥平面CB1D1 D．異面直線A1D與AC1所成的角為60°12、銳角△ABC中，若b2＝a（a+c），則的取值范圍是（　　）A．（0，） B．（，） C．（，） D．（0，）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，那么原△ABC的面積為            14、在球面上有四點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝a，則這個(gè)球的表面積是            15、如圖，無人機(jī)在離地面高200m的A處，觀測到山頂M處的仰角為15°，山腳C處的俯角為45°，已知∠MCN＝60°，則山的高度MN為            m.16、在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若（λ∈R），2，且4，則λ的值為            三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)，求證：AF∥平面PEC． 18、如圖四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD＝60°，PA⊥面ABCD，E 是AB的中點(diǎn)，F是PC的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：DE⊥面PAB（Ⅱ）求證：BF∥面PDE． 19、已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足（2a﹣c）cosB＝bcosC，求的取值范圍．  20、已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．（1）求A的度數(shù)；（2）若，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，求AD的長．     21、在①S3＝9，S5＝20；②公差為2，且S1，S2，S4成等比數(shù)列；③8n；三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答．問題：已知數(shù)列{an}為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為Sn，______．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令cn＝[log2an]，其中[x]表示不超過．x的最大整數(shù)，求c1+c2+?+c20的值．      22、已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和Sn滿足an．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，若對任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2﹣a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 
仁壽一中南校區(qū)2021級2021--2022學(xué)年度下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)科答案1、【解答】解：點(diǎn)P（3，1）到直線l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距離為3，可得3，解得a＝2，故選：A．2、【解答】解：∵平行四邊形ABCD中，，，∴，∵EC，∴（），故選：B．3、【解答】解：∵，，且與的夾角為，∴，∴．故選：C．4、【解答】解：將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)底面半徑為4，高為3的一個(gè)圓錐，故所形成的幾何體的表面積，故選：A．5、【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個(gè)半球，下部是一個(gè)四棱錐，半球的直徑為棱錐的底面對角線，由棱錐的底底面棱長為1，可得2R．故R，故半球的體積為：π，棱錐的底面面積為：1，高為1，故棱錐的體積V，故組合體的體積為：π，故選：C．6、【解答】解：A選項(xiàng)，若α⊥β，l?α，m?β，l與m可能相交、平行、異面，所以A錯誤；B選項(xiàng)，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，所以B正確；C選項(xiàng)，若m⊥β，α⊥β，則m?α或m∥α，所以C錯誤；D選項(xiàng)，若α∥β，且l與α所成的角和m與β所成的角相等，l與m可能相交、異面、平行，所以D錯誤．故選：B．7、【解答】解：因?yàn)?/span>，所以cosθcosθsinθ＝1，可得cosθsinθ＝1，可得cos（θ）＝1，即cos（θ），則2cos2（θ）﹣1＝2×（）2﹣1．故選：A．8、【解答】解：過圓錐的頂點(diǎn)S和正方體底面的一條對角線CD作圓錐的截面，如圖所示；可得圓錐的軸截面SEF和正方體對角面CDD1C1，設(shè)正方體棱長為x，則CC1＝x，C1D1x作SO⊥EF于O，可得S0且OE＝1，∵△ECC1∽△EOS，∴，代入數(shù)據(jù)得解之得x，即內(nèi)接正方體棱長為故選：C．9、【解答】解：∵AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，∴在△ABC中由余弦定理可得BC，設(shè)△ABC的外接小圓半徑為r，則由正弦定理可得2r6，∴r＝3，又球心O到平面ABC的距離為，∴rR，∴R＝3，∴R，∴球O的表面積為4πR2＝4π×12＝48π．故選：A．10、【解答】解：過B，D作BE∥CD，DE∥CB，且BE，DE交于E，連接AE，OE，直線AB與CD所成角即為∠ABE或其補(bǔ)角，若正方體ABCD邊長為2，則BE＝AB＝AD＝2，而AO⊥BD，而ABD⊥面BCD，AO?面ABD，面ABD∩面BCD＝BD，∴AO⊥面BCD，而OE?面BCD，即AO⊥OE，且AO＝OE，∴AE＝2，則△ABE是等邊三角形，故∠ABE＝60°．故選：C．11、【解答】解：如圖，ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，對于A，∵BD∥B1D1，BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1，故A正確；對于BD，∵A1D⊥AD1，A1D⊥C1D1，AD1∩A1D1＝D1，∴A1D⊥平面AD1C1，∵AC1?平面AD1C1，∴AC1⊥A1D，故B正確，D錯誤；對于C，∵CD1⊥DC1，CD1⊥CD，DC1∩CD＝D，∴CD1⊥平面ADC1，∵CD1?平面CB1D1，∴平面ADC1⊥平面CB1D1，故C正確．故選：D．12、【解答】解：銳角△ABC中，b2＝a（a+c）＝ac+a2，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝ac+a2，即a+2acosB＝c，由正弦定理得sinA+2sinAcosB＝sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA，化簡得sinA＝sin（B﹣A），因?yàn)殇J角△ABC中，A，B∈（0，），所以，所以A＝B﹣A或A+B﹣A＝π，故B＝2A或B＝π（舍），所以，解得，則sinA∈（，）．故選：B． 13、 【解答】解：如圖（1）所示的三角形A′B′C′為直觀圖，取B′C′所在的直線為x′軸，B′C′的中點(diǎn)為O′，且過O′與x′軸成45°的直線為y′軸，過A′點(diǎn)作M′A′∥O′y′，交x′軸于點(diǎn)M′，則在直角三角形A′M′O′中，O′A′a，∠A′M′O′＝45°，∴M′O′＝O′A′a，∴A′M′a．在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)，在x軸上取點(diǎn)B和C，使OB＝OC，又取OMa，過點(diǎn)M作x軸的垂線，且在該直線上截取MAa，連結(jié)AB，AC，則△ABC為直觀圖所對應(yīng)的平面圖形．顯然，S △ABCBC?MAa?aa 2．      14、 【解答】解：空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝a，則PA、PB、PC可看作是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱，所以過空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C的球面即為棱長為a的正方體的外接球，球的直徑即是正方體的對角線，長為a，所以這個(gè)球面的面積S＝4π3πa2．15、【解答】解：如圖，由A點(diǎn)向地面引垂線，交地面于B點(diǎn)，Rt△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝200，∴AC＝200，又△ACM中，∠MAC＝15°+45°＝60°，∴∠ACM＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠AMC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴，解得MC200，Rt△MNC中，∠MCN＝60°，∴MN＝MCsin60°＝200300，則山的高度MN為300m．16、【解答】解：如圖所示，△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，2，∴，∵（λ∈R），∴（）?（）＝（）＝（）×3×2×cos60°＝﹣4，解得．17、【解答】證明取PC的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，EM．∵F，M是PD，PC的中點(diǎn)，∴FMCD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，E是AB的中點(diǎn)，∴AECD，∴四邊形AEMF是平行四邊形，∴AF∥EM，又AF?平面PEC，EM?平面PEC，∴AF∥平面PEC．18、【解答】（本小題滿分10分）解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∠BCD＝60°，∴△ABD為正三角形E是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，PA⊥面ABCD，DE?平面ABCD，∴DE⊥AP，∵AP∩AB＝A，∴DE⊥平面PAB，（Ⅱ）取PD的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，GE，∵F，G是中點(diǎn)，∴FG∥CD且FGCD，∴FG與BE平行且相等，∴BF∥GE，∵GE?平面PDE，BF?平面PDE，∴BF∥面PDE．19、【解答】解：（Ⅰ）由cos2xcossin2xsinsin2xsin2xcos2x，sin（2x），則f（x）的最小正周期Tπ；（Ⅱ）由正弦定理：2R，則a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，由（2a﹣c）cosB＝bcosC，則（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，則2sinAcosB＝sin（B+C），由sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA＞0，∴cosB，由0＜B＜π，則B，sin（2）sin（A），由0＜A，則A；∴sin（A）≤1，則sin（A），∴的取值范圍（，]．20、【解答】解：解法一（1）由正弦定理可得，∵sinC≠0，∴cos（A）＝sinA，∴，可得，∵0＜A＜π，∴；（2）依題設(shè)，設(shè)AD＝x，由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA，由題設(shè)知：，又b＞0，b＝3，由S△ABC＝S△ABD+S△ACD可得：，所以，解得，即；解法二（1）由正弦定理可得，∵sinC≠0，∴，∴，∵0＜A＜π，∴，∴，或，∴（后者無解）；（2）由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA，由題設(shè)知：，又b＞0，b＝3，由得，∴，∴，∴，由正弦定理得，所以．21、【解答】解：選①：（1）設(shè){an}的公差為d，則，由已知可得，解得a1＝2，d＝1，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n+1；（2）由cn＝[log2an]知，所以c1+c2+?+c20＝1×2+2×4+3×8+4×6＝58；選②：（1）因?yàn)?/span>S1＝a1，，，由題意得，解得a1＝1，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣1，（2）由cn＝[log2an]知，cn，所以c1+c2+?+c20＝0+1×1+2×2+3×4+4×8+5×4＝69；選③：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝6n+5，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝11，符合an＝6n+5，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝6n+5；（2）由cn＝[log2an]知，，所以c1+c2+?+c20＝3+4×3+5×5+6×11＝106．22、【解答】解：（1）由an，則Sn﹣Sn﹣1，則1，又a1＝1，則，即數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即1+（n﹣1）×1＝n，即當(dāng)n≥2時(shí)，an＝n+（n﹣1）＝2n﹣1，又a1＝1，滿足上式，即an＝2n﹣1；（2）由（1）得，則Tn，即4Tn＝2（1）＜2，又對任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2﹣a恒成立，則a2﹣a≥2，則a≤﹣1或a≥2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．

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