一、單選題
1．設，，且，則等于（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標表示計算即可
【詳解】∵，∴，∴，
故選:A.
2．經(jīng)過，兩點的直線的傾斜角是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．135°
【答案】C
【分析】根據(jù)兩點的橫坐標相等，可知該直線斜率不存在，即可求得直線的傾斜角.
【詳解】解:因為，，
所以經(jīng)過兩點的直線斜率不存在，
所以傾斜角為.
故選：C.
3．橢圓的焦點坐標為（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【分析】根據(jù)題意求出，即可得焦點坐標.
【詳解】由已知橢圓，其焦點在y軸上，
則，，
故焦點坐標為和
故選：D.
4．長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由異面直線所成角的概念與余弦定理求解，
【詳解】由題意得，則（或其補角）為異面直線與所成角，
在中，由題可得，，
由余弦定理得，
故選：A
5．圓：和圓：的公切線的條數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】判斷出兩個圓的位置關系，由此確定公切線的條數(shù).
【詳解】由題知圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，所以，，所以兩圓外切，所以兩圓共有3條公切線.
故選：C
6．已知直線（為實數(shù)）是圓的對稱軸，過點作圓的一條切線，切點為，則（ ）
A．6B．C．7D．8
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可求出圓心的坐標，半徑為，結合條件可知直線經(jīng)過圓心，可列式求出的值，從而得出點的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式可求出，最后根據(jù)直線與圓相切得出，代數(shù)計算即可得出結果.
【詳解】解：根據(jù)題意，得出圓的標準方程為：，
可知圓心的坐標，半徑為，
因為直線是圓的對稱軸，
所以直線經(jīng)過圓心，則，
解得：，，
則，
由于過點作圓的一條切線，切點為，
.
故選：A.
7．已知直線l的方向向量為，點在l上，則點到l的距離為（ ）
A．B．1C．3D．2
【答案】B
【分析】結合點到直線距離公式分別計算模長與夾角的正弦值即可計算.
【詳解】由題可知，點到l的距離為，，，，，則，則，故點到l的距離為.
故選：B
8．已知圓的方程為，設該圓過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析可知，計算出、，即可求得四邊形的面積.
【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，
，故點在圓內，如下圖所示：
則，
過點的弦過圓心時，弦長取最大值，即，
當過的弦與垂直時，弦長取最小值，即，此時，
此時，四邊形的面積為.
故選：C.
二、多選題
9．已知直線：，，，則下列結論錯誤的是（ ）
A．直線恒過定點B．當時，直線的傾斜角為
C．當時，直線的斜率不存在D．當時，直線與直線平行
【答案】ACD
【分析】由直線的斜率和傾斜角，直線的位置關系對選項逐一判斷，
【詳解】對于A，當時，，直線恒過定點，故A錯誤，
對于B，當時，直線的斜率為，傾斜角為，故B正確，
對于C，當時，直線的斜率為0，故C錯誤，
對于D，當時，直線經(jīng)過，兩點，故直線與直線重合，故D錯誤，
故選：ACD
10．以下四個命題中正確的是（ ）
A．空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示
B．若為空間向量的一組基底，則構成空間向量的另一組基底
C．對空間任意一點和不共線的三點、、，若，則、、、四點共面
D．向量，，共面，即它們所在的直線共面
【答案】BC
【分析】根據(jù)空間向量基底的定義：任何三個不共面的向量都可構成空間向量的一組基底，逐一分析A，B，D可判斷這三個選項的正誤，由共面向量定義來判斷D的正誤．
【詳解】對于A，空間的任何一個向量都可用其他三個不共面的向量表示，A中忽略三個基底不共面的限制，故A錯誤；
對于B，若為空間向量的一組基底，則不共面，且均為非零向量，假設共面，
則，
，方程無解，即不共面，
則構成空間向量的另一組基底，B正確；
對于C，若，
則
整理得，則向量共面，即、、、四點共面，C正確；
向量，，共面，但是它們所在的直線不一定共面,故D錯誤.
故選：BC.
11．已知直線與曲線有且僅有1個公共點，則m的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】ABD
【分析】直線過定點，作出曲線的圖象，利用數(shù)形結合的思想即可求解.
【詳解】曲線的圖象如圖所示，
直線過定點.
圓心到直線的距離等于半徑，即，
解得或，
由圖可知時，此時直線與曲線有且僅有1個交點，
故當時，
直線與曲線有且僅有1個公共點.
故選：ABD
12．如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則（ ）
A．當在平面上運動時，四棱錐的體積不變
B．當在線段上運動時，與所成角的取值范圍是
C．當直線與平面所成的角為45°時，點的軌跡長度為
D．若是的中點，當在底面上運動，且滿足平面時，長度的最小值是
【答案】AC
【分析】A. 由四棱錐的高和底面積判斷； B.根據(jù)是等邊三角形判斷；C.根據(jù)直線與平面所成的角為，結合正方體的特征判斷； D.建立空間直角坐標系，求得的坐標進行判斷.
【詳解】A. 當在平面上運動時，點到面的距離不變，不變，
故四棱錐的體積不變，故A正確；
B. 建立如圖所示空間直角坐標系：

設 ，，則 ，
設與所成的角為，則 ，
因為，
當時， ，
當 時， ，則 ，
綜上： ，所以與所成角的取值范圍是，故B錯誤；
C.因為直線與平面所成的角為，
若點在平面和平面內，因為最大，不成立；
在平面內，點的軌跡是，
在平面內，點的軌跡是，
在平面時，如圖所示：
，
作平面，因為 ，所以 ，
又 ，所以 ，
則，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的四分之一圓，
所以點的軌跡長度為，
所以點的軌跡總長度為長度為，故C正確；
D.建立如圖所示空間直角坐標系：

設 ，，
則 ， ，
設平面的一個法向量為，
則 ，即 ，
令 ，則 ，
因為平面，所以 ，即 ，
所以 ，
當 時，等號成立，故D錯誤；
故選：AC.
三、填空題
13．若方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【分析】由題意可得，解不等式組可得答案
【詳解】因為方程表示橢圓，
所以，得且.
所以實數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
14．已知直線和互相平行，則它們之間的距離是______.
【答案】
【分析】首先利用直線平行求出，在結合平行線之間的距離公式即可求解.
【詳解】因為和互相平行，所以得，解得.則直線.
則平行線直接的距離為.
故答案為：
15．如圖，在正四面體中，分別為的中點，是線段上一點，且，若，則的值為_______．
【答案】
【分析】利用基向量表示,結合空間向量基本定理可得.
【詳解】
所以，所以.
【點睛】本題主要考查空間向量的基本定理，把目標向量向基底向量靠攏是求解的主要思路.
16．已知，分別為橢圓的左右焦點，點，分別是橢圓的右頂點和上頂點，若直線上存在點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是_______.
【答案】
【分析】求出直線的方程，設出點坐標，利用向量垂直的坐標運算得到，根據(jù)，并借助和，化簡得到，再利用橢圓中，即可得解.
【詳解】如圖，由題意得，，，，
直線的方程為：，
點在直線上，設點坐標為，
則，，
由，得，
即，即，
化簡得 （1）
直線上存在點，使得，即方程（1）有解，
所以，
化簡得，即，
化簡得，即，即，
解得：，即，
即，
即，又橢圓中，
所以.
故答案為：.
【點睛】本題考查橢圓中離心率的取值范圍的求解，其中涉及到向量垂直的坐標運算，考查學生的轉化與化歸能力和運算求解能力，屬于中檔題.
四、解答題
17．已知三個頂點的坐標分別為，，.求：
(1)過點且與直線BC平行的直線方程.
(2)中，AC邊上的高所在直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用直線與平行得到斜率，再利用點斜式寫出方程即可.
（2）首先求出的斜率，再利用垂直得出直線斜率，最后用點斜式即可求出方程.
【詳解】（1）因為，，
所以直線的斜率為，則過點且與直線平行的直線方程為，即.
（2）因為直線的斜率為，
所以中邊上的高所在直線的斜率為，
又高所在直線過點，所以高所在直線的方程為，
即.
18．如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，E為側棱PC的中點．
(1)設經(jīng)過A、B、E三點的平面交PD于F，證明：F為PD的中點；
(2)若底面，且，求點到平面ABE的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線面平行的性質定理證明，
（2）建立空間直角坐標系，由空間向量求解，
【詳解】（1）因為底面為矩形，所以. 又平面，且平面，
所以平面.又平面ABE，且平面平面，
所以. 又因為，所以
因為E為PC的中點，所以F為PD的中點.
（2）如圖所示，以為原點，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
則，
設是平面的法向量，則，即
令，則平面的一個法向量為
又因為，所以點到平面的距離為
，
即點到平面的距離為．
19．已知點，，以為直徑的圓記為圓.
（1）求圓的方程；
（2）若過點的直線與圓交于，兩點，且，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根據(jù)中點坐標公式求出圓心，然后利用兩點間的距離公式求出半徑，進而可求出結果；
（2）根據(jù)幾何性質求出弦心距，然后結合點到直線的距離公式即可求出結果.
【詳解】（1）由，，得的中點坐標為，即圓心坐標為，
半徑，
圓的方程為
（2）由，
可得弦心距為
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
圓心到直線的距離為2，所以滿足題意;
當直線的斜率存在時，設直線方程為
即.
圓心到直線的距離，
解得，
直線的方程為
直線的方程為或.
20．已知點，圓，點在圓上運動，的垂直平分線交于點.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)直線與曲線交于兩點，且中點為，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由橢圓的定義求解，
（2）由點差法得直線斜率后求解，
【詳解】（1）由題可知，
則
由橢圓定義知的軌跡是以、為焦點，且長軸長為的橢圓，
∴，∴
∴的軌跡方程為：
（2）設,∵ 都在橢圓上，
∴ ，，相減可得，
又中點為，∴ ，
∴ ，即直線的斜率為，
∴直線的方程為，即,
因為點在橢圓內，所以直線與橢圓相交于兩點，滿足條件.
故直線的方程為.
21．如圖，在四棱錐中，底面四邊形為角梯形，，，，O為的中點，，.
(1)證明：平面；
(2)若，求平面與平面所成夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）連接，可通過證明，得平面；
（2）以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的法向量和平面的法向量，通過向量的夾角公式可得答案.
【詳解】（1）如圖，連接，在中，由可得.
因為，，
所以，，
因為，，，
所以，所以.
又因為，平面，，
所以平面.
（2）由（1）可知，，，兩兩垂直，
以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，.
由，有，則，
設平面的法向量為，
由，，有，
取，則，，
可得平面的一個法向量為.
設平面的法向量為，
由，，有，
取，則，，
可得平面的一個法向量為.
由，，，
可得平面與平面所成夾角的余弦值為
.
22．已知橢圓（）離心率等于，且橢圓C經(jīng)過點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點P作傾斜角分別為的兩條直線PA，PB，設PA，PB與橢圓C異于點P的交點分別為A，B，若，試問直線AB的斜率是否為定值？如果為定值，請求出此定值；如果不是定值，請說明理由.
【答案】(1)
(2)直線AB的斜率是定值，為
【分析】（1）由題意得，再結合可求出，從而可求出橢圓C的方程；
（2）由題意得，兩條直線PA，PB的斜率均存在，且互為相反數(shù)，設直線為，則直線為，設，然后將兩直線方程分別代入橢圓方程中可求出，再求直線AB的斜率化簡可得結果
【詳解】（1）因為橢圓（）離心率等于，且橢圓C經(jīng)過點，
所以且，
解得，
所以橢圓C的方程為
（2）由題意得，兩條直線PA，PB的斜率均存在，且互為相反數(shù)，
設直線為，則直線為，
設，
將代入，
得，
所以，所以，
同理可得，
所以
所以直線AB的斜率是定值，等于

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