2022-2023學(xué)年廣東省廣州市天河外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2022-2023學(xué)年廣東省廣州市天河外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題 1．直線的斜率為（?????） A． B． C． D．【答案】D 【分析】將直線方程化成斜截式即可得直線的斜率. 【詳解】解：因?yàn)橹本€方程為，化為斜截式為：，所以直線的斜率為：. 故選：D. 2．若，，則等于（????） A．5 B． C．7 D．【答案】B 【分析】利用空間向量的四則運(yùn)算與數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解. 【詳解】∵，，∴兩式相加得， ∴，∴， ∴，故選：B． 3．若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則m的值為（????） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】求出圓心坐標(biāo)代入直線方程可求得參數(shù)值．【詳解】由已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心坐標(biāo)為，所以，．故選：B． 4．兩圓與的公切線有（????） A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D 【分析】求得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，根據(jù)圓圓的位置關(guān)系的判定方法，得出兩圓的位置關(guān)系，即可求解. 【詳解】由題意，圓與圓，可得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，則，所以，可得圓外離，所以兩圓共有4條切線. 故選：D. 5．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則點(diǎn)到直線的距離為（????） A． B． C． D．【答案】C 【分析】由題可求在方向上的投影數(shù)量，進(jìn)而點(diǎn)到直線的距離為，即求. 【詳解】∵，，， ∴， ∴， ∴在方向上的投影數(shù)量為， ∴點(diǎn)到直線的距離為. 故選：C. 6．已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 A． B． C． D．【答案】D 【解析】根據(jù)對(duì)稱列式求解. 【詳解】設(shè),則，選D. 【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題. 7．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（????） A． B． C． D．【答案】B 【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段即可得結(jié)果. 【詳解】分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，由得，即，由于，所以，，所以點(diǎn)的軌跡為面上的直線：，，即圖中的線段，由圖知：，故選：B. 8．已知，直線上存在點(diǎn)，滿足，則的傾斜角的取值范圍是（????） A． B． C． D．【答案】D 【分析】根據(jù)上，得到點(diǎn)p在線段AB上，其方程為上，又點(diǎn)在直線l上，聯(lián)立其方程，求得，然后由求解. 【詳解】將代入得，將代入得，所以A，B不在直線l上，又上，所以點(diǎn)p在線段AB上，直線AB的方程為：，由，解得，直線方程，即為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)椋?所以，則，所以，即，因?yàn)椋?所以，故選：D 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是得到點(diǎn)P在線段AB上，再根據(jù)點(diǎn)P的直線l上，聯(lián)立求得，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系而得解. 二、多選題 9．直線不過(guò)第二象限，則a的可取值為（????） A． B．1 C．2 D．3 【答案】CD 【分析】分，時(shí)討論，可得，即得. 【詳解】當(dāng)時(shí)，，適合題意，當(dāng)時(shí)，則，由直線不過(guò)第二象限，所以，解得，綜上，. 故選：CD. 10．關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（?????） A．非零向量，，若，則 B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面 C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底 D．若空間四個(gè)點(diǎn)，，，，，則，，三點(diǎn)共線【答案】ABD 【分析】由向量垂直的性質(zhì)判斷；由共面向量定理判斷；由向量加法法則判斷；由共線向量定理判斷．【詳解】對(duì)于，非零向量，，若，則，正確；對(duì)于，若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，，，，，四點(diǎn)共面，故正確；對(duì)于， ∵ ∴共面，不可以構(gòu)成空間的一組基底，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若空間四個(gè)點(diǎn)，，，，，∵，則，，三點(diǎn)共線，故正確．故選：． 11．已知直線與圓，則（????） A．直線與圓C相離 B．直線與圓C相交 C．圓C上到直線的距離為1的點(diǎn)共有2個(gè) D．圓C上到直線的距離為1的點(diǎn)共有3個(gè) 【答案】BD 【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可判斷. 【詳解】由圓，可知其圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離，所以可知選項(xiàng)B，D正確，選項(xiàng)A，C錯(cuò)誤. 故選：BD 12．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，已知為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別滿足，，其中，，，則（???????） A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值 B．當(dāng)時(shí)，四棱錐的外接球的表面積是 C．若直線與平面所成角的正弦值為，則 D．存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得平面【答案】ABC 【分析】根據(jù)錐體體積的求法、幾何體外接球表面積的求法、線面角、線面垂直等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng). 【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，是的中點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)， ∴，面，又點(diǎn)在上，∴點(diǎn)到面的距離為定值， ∴三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，則球心O在PM延長(zhǎng)線上，由OP=R得OM=，由得，解得， ∴外接球的表面積為，故B正確；對(duì)于C，連接，過(guò)點(diǎn)作于，連接， ∵平面，∴平面平面，平面平面，∴平面， ∴為與平面所成角， ∵，∴，，在由余弦定理有，在中由勾股定理有， ∴，解得，故C正確．對(duì)于D，∵點(diǎn)在上，又在上，在上，∴平面即為平面，又易證平面，∴是平面的法向量， ∴要使平面，須與共線，即須與共線，顯然不可能， ∴不存在實(shí)數(shù)對(duì)使得平面，故D錯(cuò)誤. 故選：ABC 三、填空題 13．過(guò)作圓的切線，則其切線方程為____________. 【答案】或【解析】當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，方程是，通過(guò)驗(yàn)證圓心到直線的距離，得到符合題意；當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑1，建立關(guān)于的方程，解之得，進(jìn)而得到直線的方程，最后綜合可得答案．【詳解】圓的圓心為，半徑為1，（1）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線垂直于軸時(shí)，此時(shí)直線斜率不存在，方程是，圓心到直線的距離為，直線符合題意；（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線方程為，即．直線是的切線，點(diǎn)到直線的距離為，解之得，此時(shí)直線方程為．切線方程為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】借助于求過(guò)圓外一個(gè)定點(diǎn)的圓的切線方程的問(wèn)題，考查了直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平． 14．若直線，平行，則與間的距離為___________. 【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行得出實(shí)數(shù)滿足的等式與不等式，再利用平行線間距離公式即求. 【詳解】由于直線與平行，則，解得，所以， ∴與間的距離為. 故答案為： 15．若圓：與圓：相交于，兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，則線段的長(zhǎng)為______．【答案】【分析】由切線互相垂直可知，進(jìn)而可得，再結(jié)合三角形面積可得解. 【詳解】根據(jù)題意，圓：的圓心為，半徑；圓：的圓心為：，半徑．由圓：與圓：相交于，兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，則有，可得．由，得故答案為：． 16．三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，，點(diǎn)Q為平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記直線PQ與直線AB的所成角為，則的取值范圍為___________. 【答案】【分析】根據(jù)已知條件先確定出在平面內(nèi)的軌跡，然后通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩直線方向向量夾角的余弦值結(jié)合三角函數(shù)值的范圍，計(jì)算出兩直線所成角的正弦值的取值范圍. 【詳解】因?yàn)閮蓛纱怪?，且，所以由全等三角形可知?所以三棱錐為正三棱錐，記在底面內(nèi)的投影為，所以，因?yàn)?，所以，所以?因?yàn)?，所以，所以的軌跡是以為圓心半徑為的圓，取中點(diǎn)，連接，可知經(jīng)過(guò)點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，所以，所以，所以，所以，且，所以，所以，故答案為：. 【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：異面直線所成角的余弦值的向量求法：（1）先分別求解出兩條異面直線的一個(gè)方向向量；（2）計(jì)算出兩個(gè)方向向量夾角的余弦值；（3）根據(jù)方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于異面直線所成角的余弦值求解出結(jié)果. 四、解答題 17．求符合下列條件的直線的方程： (1)過(guò)點(diǎn)，且斜率為； (2)過(guò)點(diǎn)，； (3)過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等．【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）利用點(diǎn)斜式寫直線方程即可；（2）利用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫直線方程；（3）利用斜截式和截距式待定系數(shù)求直線方程. 【詳解】(1)∵所求直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為，∴，即； (2)∵所求直線過(guò)，，∴， ∴，即； (3)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為， ∵直線過(guò)點(diǎn)，∴，直線方程為，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入上式，得，解得，故直線的方程為，綜上，直線方程為或． 18．如圖，在四棱錐中，底面正方形，平面底面，平面底面，，分別是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)． (1)證明：平面； (2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析； (2). 【分析】（1）取中點(diǎn)，連接由中位線性質(zhì)、線面平行的判定可得面、面，根據(jù)面面垂直的判定和性質(zhì)即可證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求線面角的正弦值. 【詳解】(1)如圖，取中點(diǎn)，連接分別是的中點(diǎn)，，又分別是的中點(diǎn)，，面面，面，同理，分別是的中點(diǎn)， ∴，面，面 ∴面，又，面面面面面，平面， (2)面面，面面，面內(nèi)存在過(guò)直線，所以面；面面，面面，面內(nèi)存在過(guò)直線；所以面；又都過(guò)面，由過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與平面垂直，故為同一條直線，面面，即為直線，故面，如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，得，，，設(shè)面的法向量為，可得，令，得，故，故與面所成角的正弦值為． 19．已知圓過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線：上. (1)求圓的方程； (2)若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)直線反射，反射光線恰好平分圓的圓周，求反射光線的一般方程. (3)若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由題意可求線段的中垂線方程，聯(lián)立直線方程可得圓心，進(jìn)而可得半徑與圓的方程；（2）由恰好平分圓的圓周，得經(jīng)過(guò)圓心，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，求出直線即為；（3）由題意設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，進(jìn)而可得最小值. 【詳解】(1)由，，得直線的斜率為，線段中點(diǎn)，所以，直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，即，所以半徑，所以圓的方程為； (2)由恰好平分圓的圓周，得經(jīng)過(guò)圓心，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則直線與直線垂直，且線段的中點(diǎn)在上，即，解得，所以，所以直線即為直線，且，直線方程為，即； (3)由已知點(diǎn)在直線上，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取最小值為. 20．如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點(diǎn)． (1)用，，表示向量； (2)在線段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出的位置，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1) (2)當(dāng)時(shí)，【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)，，用，，表示向量，依題意可得，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可得解．【詳解】(1)解：因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以； (2)解：假設(shè)存在點(diǎn)，使，設(shè)，，顯然，，因?yàn)椋裕?即，，，，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，. 21．在直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于M，以O(shè)為圓心的圓與直線l相切. (1)求圓O的方程； (2)設(shè)點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，若在圓O上存在點(diǎn)P，使得，求的取值范圍； (3)是否存在定點(diǎn)S，對(duì)于經(jīng)過(guò)點(diǎn)S的直線L，當(dāng)L與圓O交于A，B時(shí)，恒有？若存在，求點(diǎn)S的坐標(biāo)：若不存在，說(shuō)明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，點(diǎn)S的坐標(biāo)為【分析】(1)求出點(diǎn)O到直線l的距離即可求得圓O的方程. (2)對(duì)于直線上的每一點(diǎn)N，當(dāng)NP與圓O相切時(shí)，最大，由即可計(jì)算得解. (3)當(dāng)直線L斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與圓O的方程聯(lián)立，利用給定條件并借助韋達(dá)定理探求k，m的關(guān)系即得，再討論直線L斜率不存在的情況即可判斷作答. 【詳解】(1)原點(diǎn)O到直線的距離為，因圓O與直線l相切，所以圓O的方程為：. (2)點(diǎn)O到直線的距離為，即直線與圓O：相離，對(duì)于此直線上的每一點(diǎn)N，點(diǎn)P在圓O上，當(dāng)NP與圓O相切時(shí)，點(diǎn)O到直線NP距離為圓O半徑2，是點(diǎn)O到由點(diǎn)N與圓O上任意點(diǎn)確定的直線距離最大的，如圖，，要圓O上存在點(diǎn)P，使得，當(dāng)且僅當(dāng)NP與圓O相切且，即，則有，因此，，而，即，解得，所以的取值范圍是. (3)直線L斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由消去y并整理得：，設(shè)，則，而點(diǎn)，要成立，當(dāng)且僅當(dāng)直線AM，BM斜率互為相反數(shù)，即，則，整理得，即，化簡(jiǎn)得，直線L：恒過(guò)定點(diǎn)，顯然點(diǎn)在圓O內(nèi)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，當(dāng)直線L斜率不存在時(shí)，點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，恒有成立，此時(shí)，直線L可為和圓O：相交且與x軸垂直的每一條直線，直線為其中之一，綜上得，無(wú)論直線L斜率存在與不存在，只要L過(guò)點(diǎn)就恒有成立，所以存在定點(diǎn)S，對(duì)于經(jīng)過(guò)點(diǎn)S的直線L，當(dāng)L與圓O交于A，B時(shí)，恒有. 22．如圖1，四邊形為直角梯形，，，，.為線段上的點(diǎn)，且.將沿折起，得到四棱錐(如圖2)，使得. （1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）證明見解析；（2）；【分析】（1）在圖1中過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，在圖2中取為的中點(diǎn)，連接和，可得，，即可得到平面，即可得到，再由，則平面，從而得證；（2）連接交于，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；【詳解】解：（1）在圖1中過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，在圖2中取為的中點(diǎn)，連接和，則，因?yàn)榍?，所以為等邊三角形，所以，在中，?因?yàn)?，所以，，在圖2中，所以為等腰三角形，所以，在中，且，，，所以，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以平面平面；（2）連接交于，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）知平面，所以且，因?yàn)?，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，取面的法向量，所以，由圖可知二面角為銳二面角，故其余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

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