2022-2023學年廣東省廣州市越秀區(qū)高二上學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式可求得的值域，由此可得集合，解不等式可得集合，根據(jù)交集定義可得結果.【詳解】（當且僅當，即時取等號），；由得：，即；.故選：B.2．若直線的傾斜角為，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由傾斜角與斜率的關系求解，【詳解】由題意得，則，故選：A3．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)的性質直接運算即可.【詳解】由平均數(shù)的性質知：的平均數(shù)為.故選：D.4．已知的頂點，AC邊上的高所在直線方程為，則AC所在直線的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由AC邊與其上的高垂直的關系求得AC邊的斜率，再結合A點坐標，即可由點斜式寫出AC所在直線的方程.【詳解】設AC邊上的高所在直線的斜率為，則設AC邊所在直線的斜率為，因為AC邊上的高與AC邊垂直，所以，所以又所以AC所在直線的方程為，整理為一般式得.故選：D.5．下列區(qū)間中，函數(shù)單調遞減的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用代入檢驗的方式，分別得到的范圍，結合正弦函數(shù)的單調性可得結論.【詳解】對于A，當時，，此時單調遞減，A正確；對于B，當時，，此時先增后減，B錯誤；對于C，當時，，此時先減后增，C錯誤；對于D，當時，，此時先增后減，D錯誤.故選：A.6．若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由空間向量共面定理可構造關于實數(shù)的方程組，根據(jù)方程組是否有解可確定向量是否共面.【詳解】對于A，若共面，則可設，，方程組無解，不共面，A錯誤；對于B，若共面，則可設，，方程組無解，不共面，B錯誤；對于C，若共面，則可設，，解得：，即，共面，C正確；對于D，若共面，則可設，，方程組無解，不共面，D錯誤.故選：C.7．“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂．《九章算術·商功》中描述：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉．”一個長方體沿對角面斜解（圖），得到兩個一模一樣的塹堵（圖），再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖），得到一個四棱錐，稱為陽馬（圖），一個三棱錐稱為鱉臑（圖）．若鱉臑的體積為，，，則在鱉臑中，平面與平面夾角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三棱錐體積公式可求得，以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法可求得結果.【詳解】由切割過程可知：平面，，；在長方體中，以為坐標原點，正方向為軸可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量，則，令，解得：，，；設平面的法向量，則，令，解得：，，；，即平面和平面夾角的余弦值為.故選：B.8．已知圓，直線，若上存在點，過作圓的兩條切線，切點分別為，使得，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圓的性質可確定，且當為圓心到直線的距離時，取得最大值，由此可構造不等式解得的范圍.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，，，，，，，當取得最小值，即為圓心到直線的距離時，取得最大值，存在點使得，則此時，則，即，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D. 二、多選題9．已知，，，則（    ）A． B．C．若向量，則 D．若向量，則【答案】ACD【分析】由向量加法和模長的坐標運算、向量共線與垂直的坐標表示依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，，，，A正確；對于B，，，B錯誤；對于C，，，，C正確；對于D，，，D正確.故選：ACD.10．在同一直角坐標系下，直線與圓的位置可能為（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)圓心的位置可確定的正負，由此可確定直線斜率的正負，進而確定可能的圖象.【詳解】對于ABC，由圓的圖象知圓心位于第一象限，，，直線斜率，則A正確，BC錯誤；對于D，由圓的圖象知圓心位于第四象限，，，直線斜率，則D正確.故選：AD.11．A，B兩組各有2名男生、2名女生，從A，B兩組中各隨機選出1名同學參加演講比賽．甲表示事件“從A組中選出的是男生小明”，乙表示事件“從B組中選出的是1名男生”，丙表示事件“從A，B兩組中選出的是2名男生”，丁表示事件“從A，B兩組中選出的是1名男生和1名女生”，則（    ）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．甲與乙相互獨立 D．乙與丁相互獨立【答案】BCD【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式可判斷各選項中的兩個事件是否獨立，從而可得正確的選項.【詳解】記“從A組中選出的是男生小明”為事件，“從B組中選出的是1名男生”為事件，“從A，B兩組中選出的是2名男生”為事件，從A，B兩組中選出的是1名男生和1名女生”為事件，則，，，，而，而，故甲與丙不相互獨立.，而，故甲與丁相互獨立.，故甲與乙相互獨立.，，故甲與丁相互獨立，故選：BCD.12．很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體．如圖，這是一個棱數(shù)，棱長為的半正多面體，它所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得的．下列結論正確的有（    ）A．該半正多面體的表面積為 B．平面C．點到平面的距離為 D．若為線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為【答案】BCD【分析】將該半正多面體補成正方體，即可求出正方體的棱長，再建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】解：將該半正多面體補成正方體， 因為該半正多面體的棱長為，所以正方體的棱長為，所以該幾何體的表面積為，故A錯誤；建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，所以，，即，，，平面，所以平面，故B正確；，，，設平面的法向量為，所以，即，所以，則點到平面的距離，故C正確；若為線段的中點，則，所以，，則異面直線與所成角的余弦值，故D正確；故選：BCD 三、填空題13．已知是虛數(shù)單位，若，則________．【答案】【分析】利用復數(shù)除法運算可求得復數(shù)，根據(jù)模長運算方法可求得結果.【詳解】，.故答案為：.14．已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍為________．【答案】【分析】依題意可得，其中表示圓上的點與定點的距離的平方，求出圓心的坐標，即可求出，從而求出的取值范圍，即可求出的取值范圍，即可得解.【詳解】解：因為，又實數(shù)，滿足，所以點在以為圓心，半徑的圓上，又表示圓上的點與定點的距離的平方，因為，所以，即，所以，所以，所以，即.故答案為：15．已知分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且．若對于任意的，當時，都有，則不等式的解集為________．【答案】【分析】根據(jù)已知不等式可確定與在上單調性相反，則可知在上的解集；設，由奇偶性定義可知為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質可求得在上無解；綜合兩種情況可得結果.【詳解】對任意的，當時，都有，與在上單調性相反，又，當時，；令，則，為定義在上的奇函數(shù)，又，在上恒成立，當時，，又，在上無解；綜上所述：不等式的解集為.故答案為：. 四、雙空題16．已知直線與直線垂直，則________，這兩條直線的交點坐標為________． 【答案】          【分析】由兩直線垂直可直接構造方程求得，聯(lián)立兩直線方程即可求得交點坐標.【詳解】，，解得：；則，，由得：，兩條直線的交點坐標為.故答案為：；. 五、解答題17．如圖，在長方體中，，分別是的中點，，以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．(1)寫出四點的坐標；(2)求．【答案】(1)，，，(2) 【分析】（1）根據(jù)線段長度、中點坐標公式可求得點對應的坐標；（2）利用向量夾角的坐標運算可直接求得結果.【詳解】（1），，則，，，，，為中點，.（2）由（1）得：，，.18．已知圓關于直線對稱．(1)求圓的標準方程；(2)已知是坐標原點，直線與圓交于兩點，求的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)圓關于直線對稱可知過圓心，由此可構造方程求得，整理可得圓的標準方程；（2）利用垂徑定理可求得，利用點到直線距離公式可求得的高，代入三角形面積公式即可求得結果.【詳解】（1）由圓的方程知：圓心，圓關于直線對稱，直線過圓心，則，解得：，圓方程為：，則其標準方程為：.（2）由（1）知：圓心，半徑；圓心到直線的距離，，又到直線的距離，.19．如圖，在正四面體中，是棱的中點，，分別記為．(1)用表示；(2)若，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)向量線性運算直接表示即可；（2）將所求數(shù)量積化為，由向量數(shù)量積的定義和運算律可求得結果.【詳解】（1）.（2）由題意知：，；，.20．已知圓經(jīng)過，，三點．(1)求圓的方程；(2)若經(jīng)過點的直線與圓相切，求直線的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）假設圓的一般方程，代入三點坐標即可構造方程組求得圓的方程；（2）由圓的方程可得圓心和半徑，易知直線斜率存在，由圓心到直線距離可構造方程求得直線斜率，進而可得直線的方程.【詳解】（1）設圓的方程為：，由題意知：，解得：，圓方程為：，即.（2）由（1）知：圓心，半徑；當直線斜率不存在，即時，與圓不相切，不合題意；當直線斜率存在時，設，即，圓心到直線的距離，解得：，，即或；綜上所述：直線的方程為或.21．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．(1)求角C的大??；(2)若，，求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用二倍角公式得到，再由余弦定理將角化邊，最后由余弦定理計算可得；（2）由（1）可得，由正弦定理將邊化角，由三角恒等變換公式化簡得到，再根據(jù)三角形為銳角三角形及求出角的取值范圍，最后由正弦函數(shù)的性質計算可得.【詳解】（1）解：因為，所以，即，由余弦定理可得，所以，所以，因為在銳角中，所以.（2）解：由（1）知，所以，因為，由正弦定理，所以，，所以因為，所以，所以，解得，又三角形為銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即的取值范圍為.22．如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，，G為CD的中點，E，F是棱PD上兩點（F在E的上方），且．(1)若平面AEG，求DE；(2)當點F到平面的距離取得最大值時，求直線AG與平面AEC所成角的正弦值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）連接交于，利用線面平行的性質定理可得，結合條件可得，即得；（2）由題可得三棱錐的體積為定值，進而可得到的距離最小時，點F到平面的距離最大，利用坐標法可得此時，再利用線面角的向量求法即得.【詳解】（1）連接交于，連接，因為G為CD的中點，所以，所以，因為平面，平面 平面，平面，所以，所以，又，所以；（2）因為平面，平面，所以，又底面為正方形，所以，如圖建立空間直角坐標系，則，，，因為，所以的面積為定值，又點到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，所以要使點F到平面的距離最大，則的面積最小時點F到平面的距離最大，即到的距離最小時，點F到平面的距離最大，設，則，，所以到的距離為，所以當時，到的距離最小，點F到平面的距離最大，此時，設平面的法向量為，則，令，可得，又，設直線AG與平面AEC所成角為，則，即直線AG與平面AEC所成角的正弦值. 

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