2011-2022學(xué)年山東省青島市青島第五十八中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線的傾斜角是A． B． C． D．【答案】D【解析】由方程得到斜率，然后可得其傾斜角.【詳解】因為直線的斜率為所以其傾斜角為故選：D2．若方程表示圓，則實數(shù)m的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：D3．已知雙曲線的右焦點到它的一條漸近線的距離為4，且焦距為10，則C的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)焦距可得的值，根據(jù)右焦點到漸近線距離可求得的值，由可得的值，再由即可求解.【詳解】因為焦距為，所以，右焦點，，雙曲線漸近線方程為：，所以右焦點到它的一條漸近線的距離為，所以，，所以離心率，故選：C.4．如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那么實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C．， D．【答案】D【分析】化曲線方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得，求解此不等式可得的取值范圍.【詳解】由方程，可得，因為方程表示焦點在軸上的橢圓，可得，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.5．已知曲線其中一條漸近線與直線平行，則此雙曲線的離心率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】不妨取雙曲線的漸近線為，可得，再由離心率即可求解.【詳解】由條件可得雙曲線的漸近線方程為，∵漸近線與直線平行，∴，∴雙曲線的離心率為．故選：B6．過x軸上一點P向圓作圓的切線，切點為A、B，則面積的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法一由點P離原點越遠趨向無窮遠處時，的面積趨向于無窮大；當(dāng)點P趨近于原點時，的面積逐漸變小，利用極限法，由點P與原點重合求解； 解法二設(shè)， ，由 求解.【詳解】解法一（極限法）：如圖所示，若點P離原點越遠趨向無窮遠處時，越來越長，、也隨著越來越長，顯然的面積趨向于無窮大；當(dāng)點P趨近于原點時，的面積逐漸變小，當(dāng)點P與原點重合時，，且此時的為正三角形，面積最小，其最小面積為， 解法二（直接解法）：設(shè)，則，，設(shè)，則有，，于是，，顯然上式是的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，取最小值，故選：A.7．三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，，則異面直線與 所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題利用空間向量的線性運算和向量的夾角計算公式求解，首先選擇一組基底，那么向量，，然后利用夾角公式計算向量所成角，再利用向量所成角和異面直線所成角間的關(guān)系得出答案.【詳解】三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，,設(shè)棱長為1，則,所以而所以又因為異面直線是銳角，所以異面直線與 所成角的余弦值為，故選：A.【點睛】用向量方法解決立體幾何問題，樹立“基底”意識，利用基向量進行線性運算，要理解空間向量概念、性質(zhì)、運算，注意和平面向量類比.8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，圓C：，在圓上存在點P滿足，則實數(shù)m的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出點P的軌跡，再利用兩圓有公共點的充要條件求解作答.【詳解】設(shè)點，由得：，整理得：，即點P的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，而圓C的圓心，半徑為，依題意，圓與圓C有公共點，即有，即，而，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：D 二、多選題9．下列結(jié)論中正確的有（    ）A．過點且與直線平行的直線的方程為B．過點且與直線垂直的直線的方程為C．若直線：與直線：平行，則a的值為或3D．過點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為【答案】AB【分析】對于選項A，B，D，根據(jù)給定條件求出對應(yīng)的直線方程判斷作答；對于選項C，由給定條件求出a值判斷作答.【詳解】對于A，直線的斜率為2，則過點且與直線平行的直線的方程為，即，A正確；對于B，直線的斜率為2，則過點且與直線垂直的直線的方程為，即，B正確；對于C，直線：的斜率為，因直線與直線平行，則直線的斜率存在，且，解得或3，當(dāng)時，兩直線重合，當(dāng)，兩直線平行，C錯誤；對于D，因過點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則當(dāng)截距都為0時，直線方程為，截距不為0時，當(dāng)直線方程為，D錯誤.故選：AB10．如圖所示，一個底面半徑為4的圓柱被與其底面所成的角的平面所截，截面是一個橢圓，則下列正確的是（    ）A．橢圓的長軸長為8 B．橢圓的離心率為C．橢圓的離心率為 D．橢圓的一個方程可能為【答案】BD【分析】根據(jù)條件求得短半軸長、長半軸長，從而求得半焦距，進而可求得結(jié)果.【詳解】由題意易知橢圓的短半軸長，∵截面與底面所成的角為，∴橢圓的長軸長為，則，所以，離心率為，當(dāng)建立坐標(biāo)系以橢圓中心為原點，橢圓的長軸為軸，短軸為軸時，則橢圓的方程為.故選：BD.11．1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章.人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等.設(shè)橢圓的長軸長、焦距分別為，，下列結(jié)論正確的是（    ）A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是B．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D．衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小【答案】ABD【解析】根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)和面積守恒規(guī)律，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】根據(jù)橢圓定義知衛(wèi)星向徑的取值范圍是，正確；當(dāng)衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時，對應(yīng)的面積更大，面積守恒規(guī)律，速度更慢，正確；，當(dāng)比值越大，則越小，橢圓軌道越圓，錯誤.根據(jù)面積守恒規(guī)律，衛(wèi)星在近地點時向徑最小，故速度最大，在遠地點時向徑最大，故速度最小，正確.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的定義和性質(zhì)，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.12．如圖所示，長方體的底面是邊長為1的正方形，長方體的高為2，?分別在?上，且，.則下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．C．異面直線與所成角的余弦值為D．二面角的正切值為【答案】BCD【分析】以為x、y、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，對于A：利用，即可判斷；對于B：利用，即可判斷；對于C：直接利用向量法求異面直線與所成的角；對于D：直接利用向量法求二面角的平面角余弦值，再求正切值.【詳解】以為x、y、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，則，，，，，.因為，所以不正確，即A不正確；因為，且與不在同一條直線上，所以，即B正確；因為，故C正確；，，令平面的一個法向量為，則，不妨取，則，又平面的一個法向量，顯然二面角的平面角為銳角，設(shè)為所以，所以，則，∴D正確.故選：BCD. 三、填空題13．已知直線與圓相交于，兩點，且為等腰直角三角形，則實數(shù)的值為______．【答案】【分析】利用點到直線的距離公式,即可求解.【詳解】∵由題意得到為等腰直角三角形，∴圓心到直線的距離，即，解得：,故答案為：.14．已知，是橢圓：的兩個焦點，為橢圓上一點，且若的面積為，則__________．【答案】3【分析】由橢圓的定義得到，在利用與垂直，得到，化簡得到，在利用即可得到答案.【詳解】由題意知，與垂直 ，所以，所以，所以，所以，所以，所以．故答案為：3.15．已知直線y＝k（x+2）與曲線有兩個不同的公共點，則k的取值范圍是 ___．【答案】##【分析】根據(jù)曲線的方程可得曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓的x軸的上半部分（含x軸），求出直線與圓相切時k的值，再根據(jù)已知即可的解.【詳解】解：由得，所以曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓的x軸的上半部分（含x軸），直線y＝k（x+2）過定點，當(dāng)直線直線y＝k（x+2）與圓相切時，圓心到直線的距離，解得，因為直線y＝k（x+2）與曲線有兩個不同的公共點，所以k的取值范圍是.故答案為：.16．如圖，在棱長為2的正方體中，點是側(cè)面內(nèi)的一個動點（不包含端點），若點滿足；則的最小值為________．【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量互相垂直的性質(zhì)，結(jié)合空間兩點間距離公式、三角換元、輔助角公式進行求解即可.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，所以，，因為，所以，，因為，所以令，代入上式得：其中，所以，因此的最小值為，故答案為：【點睛】方法點睛：對于正方體中關(guān)于線段長度最值問題可以利用解析法. 四、解答題17．分別求解以下兩個小題：(1)已知雙曲線過點，漸近線方程為，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點P為橢圓上的任意一點，O為原點，M滿足，求點M的軌跡方程．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定的漸近線方程，設(shè)出雙曲線方程，再利用待定系數(shù)法求解作答.（2）設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用給定的向量關(guān)系表示出點P，再代入橢圓方程作答.【詳解】（1）因雙曲線漸近線方程為，即，則設(shè)雙曲線方程為，而點在雙曲線上，即有，解得，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點，由得，點，而點P為橢圓上的任意一點，于是得，整理得：，所以點M的軌跡方程是.18．已知圓和直線.（1）若直線l與圓C相交，求k的取值范圍；（2）若，點P是直線l上一個動點，過點P作圓C的兩條切線PM、PN，切點分別是M、N，證明：直線MN恒過一個定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）直線l與圓C相交，則圓心到直線的距離小于半徑，可得答案.（2）設(shè)點P的坐標(biāo)是，由條件在以為直徑的圓上，則為圓與圓的公共弦，則直線MN的方程是，再根據(jù)點P在直線上，可得答案.【詳解】（1）直線就是，圓C的圓心是，半徑是.由題意得，圓心到直線l的距離是，解得或.故k的取值范圍是.（2）由（1）可知，當(dāng)時，直線l與圓C相離,設(shè)點P的坐標(biāo)是，則在以為直徑的圓 上所以為圓與圓的公共弦，由兩圓方程相減可得：所以直線MN的方程是.因為點P在直線上，所以.代入中，得到，即.由得，故直線MN恒過一個定點.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系和圓的切線問題，解答本題的關(guān)鍵是圓心到直線l的距離是，為圓與圓的公共弦，從而得到直線MN的方程是，屬于中檔題.19．如圖，且，，且，且，平面，．(1)求平面與平面的夾角；(2)求直線到平面的距離．【答案】(1)(2) 【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間角的向量方法求解;(1)由線面平行可得直線上所有點到平面距離相等，再利用等體積法可求解.【詳解】（1）因為，面，故可以為坐標(biāo)原點， 為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：由題可知：，，，，，，，易知面的一個法向量為，設(shè)面的法向量為，，，故得，即，不妨令y＝1，則，，所以平面與平面的夾角為．（2）因為，面，則面，所以直線到平面的距離與點到面的距離相等，如圖，連接，由（1）可知平面，平面，所以，又因為，所以，設(shè)點到平面EBC的距離為，則，，又因為，所以，所以直線AD到平面EBC的距離為．20．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，且，若M為橢圓C上一點，線段與圓C：相切于該線段的中點N．(1)求橢圓C的方程；(2)過點做直線l與橢圓C交于A，B兩點，且橢圓C上存在點P，使得四邊形若OAPB為平行四邊形，求直線l的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由幾何關(guān)系與橢圓的定義得后求解，（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立后由韋達定理化簡得點坐標(biāo)，再代入橢圓方程求解，【詳解】（1）∵，，且ON是的中位線，∴，，，而，，，∴，∴橢圓C的方程為：．（2）存在，理由如下：①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為，此時橢圓上不存在符合題意的點P，②當(dāng)直線AB的斜率存在且k＝0時，此時O，A，B三點共線，所以橢圓上不存在符合題意的點P，③當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)斜率為k，，，，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程，消去y得：，∴，∴，，∴，∵四邊形OAPB是平行四邊形，∴，∴，代入橢圓方程得：，化簡整理得：，∴，∴橢圓C上存在三個點A，B，P，滿足題意，此時直線AB的方程為21．如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為菱形，邊長為2，，，且.（1）求證：平面ABCD；（2）當(dāng)異面直線PB與CD所成的角為60°時，在線段CP上是否存在點M，使得直線OM與平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，請求出線段CM的長，若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)三線合一得出，，故而得到平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得為異面直線與所成角，設(shè)，利用余弦定理求出，設(shè)，根據(jù)線面角的正弦值得到方程，解得即可得解；【詳解】解（1）證明：因為為菱形，所以為的中點，因為，所以，又因為，，面所以平面（2）平面，以為原點，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，為異面直線與所成角，，在菱形中，設(shè)，，，，設(shè)，則，，在中，由余弦定理得：，，解得，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，設(shè)，則設(shè)直線OM與平面PCD所成角為，，解得，所以，即22．已知橢圓：的左?右焦點分別為，，且，點在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）為橢圓上一點，射線，分別交橢圓于點，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值為.【分析】（1）根據(jù)，點在橢圓上，由求解；（2）由點在軸上時，不妨設(shè)點求解；當(dāng)點不在軸上時，設(shè)，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理用表示點A，B的縱坐標(biāo)，再由求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得解得，.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①當(dāng)點在軸上時，由對稱性不妨設(shè)點，此時，，兩點重合，，，故.②當(dāng)點不在軸上時，由對稱性不妨設(shè)，，，此時直線的方程為，聯(lián)立整理得，則，故.同理可得.故.綜上，為定值，且定值為. 

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