2021-2022學(xué)年山東省青島市青島第九中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．集合，則圖中陰影部分所表示的集合是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將集合化簡(jiǎn)，陰影部分表示，然后求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，得，，圖中陰影部分表示,所以得故選：C2．已知，則“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】充分性判斷：利用偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合和差角正弦公式求；必要性判斷：應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)并判斷奇偶性，最后由充分、必要性定義確定題設(shè)條件間的關(guān)系.【詳解】當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，則恒成立，即，；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；綜上，“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B3．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷【詳解】因?yàn)?/span>，，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?/span>，所以故選：D4．圓心在原點(diǎn)，半徑為10的圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為弧度/秒，點(diǎn)N按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，速度為弧度/秒，則它們第三次相遇時(shí)點(diǎn)M轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)相遇一次轉(zhuǎn)過(guò)弧度之和為即可求解.【詳解】由題意，動(dòng)點(diǎn)第三次相遇，則兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的弧度之和為：，設(shè)從點(diǎn)出發(fā)秒后點(diǎn)第三次相遇，則，解得秒，此時(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為弧度故選：C5．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用代入法求出函數(shù)解析式，利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】的定義域?yàn)?/span>，的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，對(duì)于A, ，,,所以不是奇函數(shù)，對(duì)于B, 又，故為奇函數(shù)，的定義域?yàn)?/span>，的定義域?yàn)?/span>，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以CD均不為奇函數(shù)，故選：B6．某次全程為S的長(zhǎng)跑比賽中，選手甲總共用時(shí)為T，前一半時(shí)間以速度a勻速跑，后一半時(shí)間以速度b勻速跑；選手乙前半程以速度a勻速跑，后半程以速度b勻速跑；若，則（    ）A．甲先到達(dá)終點(diǎn) B．乙先到達(dá)終點(diǎn)C．甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn) D．無(wú)法確定誰(shuí)先到達(dá)終點(diǎn)【答案】A【分析】設(shè)乙選手總共用時(shí)，根據(jù)題意表示出，然后與作差，比較大小，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知對(duì)于選手甲，，則設(shè)選手乙總共用時(shí)，則對(duì)于選手乙，，則即，即甲先到達(dá)終點(diǎn)故選:A.7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若存在，滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用圖象求得函數(shù)的解析式為，由結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得出，且有，將代入結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得的值.【詳解】由圖象知函數(shù)的最小正周期為，，又，且，，，所以，，，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榇嬖?/span>，滿足，即，則，可得，且，則.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得出；（3）取特殊點(diǎn)代入函數(shù)可求得的值.8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span> ，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)于任意的，總有成立，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)（），對(duì)任意，存在，使得成立，則滿足條件的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合為（   ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由的特性結(jié)合函數(shù)圖象平移變換可得是奇函數(shù)，由可得函數(shù)的周期，由此探討出的值域，再將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式在上有解即可.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)是奇函數(shù)，由任意的，總有成立，即恒成立，于是得函數(shù)的周期是4，又當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，而是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，又，f(-2)=-f(2)，從而得，即時(shí)，，而函數(shù)的周期是4，于是得函數(shù)在上的值域是，因?qū)θ我?/span>，存在，使得成立，從而得不等式，即在上有解，當(dāng)時(shí)，取，成立，即得，當(dāng)時(shí)，在上有解，必有，解得，則有，綜上得，所以滿足條件的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合為.故選：A 二、多選題9．下列既是存在量詞命題又是真命題的是（    ）A．，B．至少有個(gè)，使能同時(shí)被和整除C．，D．每個(gè)平行四邊形都是中心對(duì)稱(chēng)圖形【答案】AB【分析】AB選項(xiàng)，可舉出實(shí)例；C選項(xiàng)，根據(jù)所有實(shí)數(shù)的平方非負(fù)，得到C為假命題；D選項(xiàng)為全稱(chēng)量詞命題，不合要求.【詳解】中，當(dāng)時(shí)，滿足，所以A是真命題B中，能同時(shí)被和整除，所以B是真命題C中，因?yàn)樗袑?shí)數(shù)的平方非負(fù)，即，所以C是假命題D是全稱(chēng)量詞命題，所以不符合題意.故選：AB．10．下列運(yùn)算中正確的是（    ）A．B．C．當(dāng)時(shí)，D．若，則【答案】BC【分析】根據(jù)換底公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及冪的運(yùn)算法則判斷．【詳解】，A錯(cuò)；，B正確；當(dāng)時(shí)，，C正確；時(shí)，，所以，D錯(cuò)．故選：BC．11．已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則實(shí)數(shù)C．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．若，則不等式的解集為【答案】ABC【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)分別判斷.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，所以恒成立，則，解得：，故正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?/span>的值域?yàn)?/span>，所以，所以，解得，故正確；C選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：，解得，故正確；D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，由，可得，解得：，故錯(cuò)誤；故選：ABC.12．設(shè)函數(shù)，g（x）＝x2-（m＋1）x＋m2-2，下列選項(xiàng)正確的有（    ）A．當(dāng)m＞3時(shí)，f[f（x）]＝m有5個(gè)不相等的實(shí)根B．當(dāng)m＝0時(shí)，g[g（x）]＝m有4個(gè)不相等的實(shí)根C．當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f[g（x）]＝m有6個(gè)不相等的實(shí)根D．當(dāng)m＝2時(shí)，g[f（x）]＝m有5個(gè)不相等的實(shí)根【答案】BCD【分析】作出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象分析可解得結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象：令，得；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根：，方程有1個(gè)根，方程有2個(gè)根，所以A錯(cuò)誤；②當(dāng)時(shí)，，，令，由得由由所以B正確；③令，，因?yàn)?/span>，所以有個(gè)實(shí)根根，設(shè)，所以，，因?yàn)?/span>在上遞減，所以，所以，所以，即方程的最小根大于的最小值，所以、、都有2個(gè)不等實(shí)根，且這6個(gè)實(shí)根互不相等，所以當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f[g（x）]＝m有6個(gè)不相等的實(shí)根，所以C正確；④令，則，當(dāng)時(shí)，方程化為，得；當(dāng)，得；當(dāng)得符合題意，所以D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解是解題關(guān)鍵. 三、填空題13．已知函數(shù)，則的值為________【答案】－3【分析】由分段函數(shù)的定義計(jì)算，注意自變量的取值范圍．【詳解】，，∴．故答案為：．14．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具在下列性質(zhì)①②③，且定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集的函數(shù)：___________.①最小正周期為1；②；③無(wú)零點(diǎn).【答案】此題答案不唯一，只要滿足條件都可以，例如【分析】結(jié)合周期性和奇偶性，可以取，再根據(jù)③可以取.【詳解】的定義域?yàn)?/span>，最小正周期為，因?yàn)?/span>，所以，所以無(wú)零點(diǎn)，綜上，符合題意故答案為：（答案不唯一）15．若，，且，則的最小值為__________．【答案】【詳解】分析：由對(duì)數(shù)運(yùn)算和換底公式，求得 的關(guān)系為，根據(jù)基本不等式確定詳解：因?yàn)?/span>，所以 ，所以 ，即所以 當(dāng)且僅當(dāng)，即，此時(shí)時(shí)取等號(hào)所以最小值為點(diǎn)睛：本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)換底公式的綜合應(yīng)用，根據(jù)“1”的代換聯(lián)系基本不等式求最值，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題． 四、雙空題16．已知a為正數(shù)，函數(shù)在區(qū)間和上的最大值分別記為和，若，則___________，a的取值范圍為___________.【答案】          【分析】首先根據(jù)得出大致范圍，從而求出的值，再根據(jù)的范圍即可求出的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)在區(qū)間和上的最大值分別記為和，，則，否則，與條件矛盾.所以=1.于是得所以，結(jié)合，所以,所以.故答案為：1；. 五、解答題17．已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)是的必要條件，求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出集合、，利用交集的定義可求得集合；（2）分析可知，對(duì)、的大小關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)檢驗(yàn)或得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：由可得，解得，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.（2）解：由題意可知，且，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，不滿足，不符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，由，得，解得.綜上，．18．已知(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化“弦”為“切”求解即可；（2）利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化“弦”為“切”求解即可【詳解】（1）（2）19．已知函數(shù)的某一周期內(nèi)的對(duì)應(yīng)值如下表：x131 （1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，若函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根據(jù)的最小正周期求出，再根據(jù)函數(shù)的最值求出A,B的值，解方程得到的值，即得函數(shù)的解析式；（2）先根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出n的值，再通過(guò)數(shù)形結(jié)合分析得到實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)的最小正周期為T，則，由得.又由，解得.令，即，解得.，，.（2）函數(shù)的最小正周期為，且，.令，，，由，得，故的圖象如圖.若在上有兩個(gè)不同的解，則，即，解得，方程在恰有兩個(gè)不同的解時(shí)，，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求法，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查三角方程的有解問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20．已知函數(shù)，．(1)求證：為奇函數(shù)；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)解關(guān)于的不等式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3) 【分析】（1）求得的定義域，計(jì)算，與比較可得；（2）原不等式等價(jià)為對(duì)恒成立，運(yùn)用基本不等式可得最小值，進(jìn)而得到所求范圍；（3）原不等式等價(jià)為，設(shè)，判斷其單調(diào)性可得的不等式，即可求出.【詳解】（1）函數(shù)，由解得或，可得定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)?/span>，所以是奇函數(shù)；（2）由或，解得，所以恒成立，即，則，即對(duì)恒成立，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即的取值范圍為；（3）不等式即為，設(shè)，即，可得在上遞減，所以，則，解得，所以不等式的解集為.21．如圖，一個(gè)半圓和長(zhǎng)方形組成的木塊，長(zhǎng)方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現(xiàn)要將此木塊鋸出一個(gè)等腰三角形，其底邊，點(diǎn)在半圓上.（1）設(shè)，求三角形木塊面積；（2）設(shè)，試用表示三角形木塊的面積，并求的最大值.【答案】（1）；（2）,的面積最大值為【分析】（1）構(gòu)造垂線，將、的長(zhǎng)度進(jìn)行轉(zhuǎn)化，的長(zhǎng)度即為的值，的長(zhǎng)度即為的值，從而求解出；（2）根據(jù)第（1）問(wèn)的轉(zhuǎn)化方法，同理可以得出的表達(dá)式，然后將看成整體進(jìn)行換元，進(jìn)而將面積函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)，從而求解出最值.【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，所以,，所以；（2）因?yàn)榘雸A和長(zhǎng)方形組成的鐵皮具有對(duì)稱(chēng)性，所以可只分析時(shí)的情況，，，所以，令，，故，，，，，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的值域問(wèn)題，三角函數(shù)中與的聯(lián)系等等，考查了學(xué)生綜合應(yīng)用能力.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)，時(shí)，求滿足的的值；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿足①求及的表達(dá)式；②若對(duì)任意且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)①，；② 【分析】（1）代入，得到，再因式分解求解即可；（2）①由定義在上的奇函數(shù)滿足可得，進(jìn)而得到及；②化簡(jiǎn)可得，令，再參變分離根據(jù)基本不等式求解范圍即可【詳解】（1）因?yàn)?/span>，時(shí)，，又因?yàn)?/span>，所以（）所以，所以，即；（2）①因?yàn)?/span>是定義在上的奇函數(shù)，所以，，，所以所以，②由①可得，因?yàn)?/span>對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，令（），所以，又因?yàn)?/span>由對(duì)勾函數(shù)（）的單調(diào)性可知，時(shí)有最小值，所以，所以，所以的最大值為. 

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