2022-2023學(xué)年山東省青島市青島第九中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．雙曲線的漸近線方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可直接求出其漸近線方程.【詳解】∵雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴雙曲線的焦點(diǎn)在軸，，，且雙曲線的漸近線方程為，即.故選：C.2．若兩個(gè)不同平面的法向量分別為，則（       ）A． B． C．相交但不垂直 D．以上均不正確【答案】A【分析】根據(jù)法向量，可得，可得法向量和平行即可得解.【詳解】由，所以法向量和平行，所以平面和平行，故選：A.3．已知圓的圓心，一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程為A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別A（a，0）B（0，b）．圓心C為點(diǎn)（2，﹣3），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，a=4，b=﹣6，∴r=，則此圓的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=13，即x2+y2﹣4x+6y=0．故選A．4．過點(diǎn)作直線分別與軸、軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，根據(jù)已知條件求出的取值范圍，并求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】由于過點(diǎn)作直線分別與軸、軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，則直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)；令，可得，即點(diǎn).由題意可得，解得，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.5．如圖，在長方體中，，，點(diǎn)在線段上，且，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求，的坐標(biāo)，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求與所成角的余弦值即可.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，.∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選：B6．已知圓截直線所得的弦的長度為，則等于A．2 B．6 C．2或6 D．【答案】C【詳解】∵圓 截直線 所得的弦的長度為 ，圓心 到直線的距離 ，∴，解得 或 ．故選C．7．橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是（　?。?/span>A．3 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)橢圓上的點(diǎn)P（4cosθ，2sinθ），由點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算可得答案．【詳解】設(shè)橢圓上的點(diǎn)P（4cosθ，2sinθ）則點(diǎn)P到直線的距離d=，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．8．已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【詳解】由題意知，點(diǎn)P在以原點(diǎn)（0，0）為圓心，以m為半徑的圓上，又因?yàn)辄c(diǎn)P在已知圓上，所以只要兩圓有交點(diǎn)即可，所以，故選B.【解析】本小題主要考查兩圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查分析問題與解決問題的能力.  二、多選題9．如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，下列說法中不正確的是（    ）A．B．C．向量與的夾角是D．與AC所成角的余弦值為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，對選項(xiàng)中的命題分析，判斷正誤即可．【詳解】解：對于A，，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B：，所以，即，選項(xiàng)B正確；對于C：向量 與 的夾角是，所以向量 與的夾角也是，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D：，得，，同理，可得，所以，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ACD．10．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上不同于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（    ）A．的周長為 B．面積的最大值為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】計(jì)算周長得到6，A錯(cuò)誤，，B正確，，根據(jù)定義域得到范圍，C正確，，得到值域，得到答案.【詳解】根據(jù)題意：，，，的周長為，A錯(cuò)誤；面積的為，當(dāng)在上下頂點(diǎn)時(shí)等號成立，B正確；設(shè)，則，，故，C正確；，設(shè)，，則，故的取值范圍為，D正確.故選：BCD.11．如圖，四邊形是邊長為的正方形，平面，平面，且，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A． B．該幾何體外接球的體積為C．若為中點(diǎn)，則平面 D．的最小值為【答案】ACD【分析】以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得，，，，，的坐標(biāo)，由，的數(shù)量積可判斷A選項(xiàng)；該幾何體外接球的球心為矩形的對角線交點(diǎn)，即可求得半徑，可判斷B選項(xiàng)；求得的坐標(biāo)，求得平面的法向量，計(jì)算可判斷C選項(xiàng)；設(shè)（），由兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可判斷D選項(xiàng)．【詳解】由題意以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，，對于A選項(xiàng)：有，，由，可得即，所以A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)：由球的截面性質(zhì)可知，球心在過正方形的中心的垂面上，即為矩形的對角線的交點(diǎn)，則該球的半徑，即該幾何體外接球的體積，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)：若為中點(diǎn)，則，即，，，設(shè)平面的法向量為，由，令，可得，即，可得，又平面，則平面，所以C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)：由三角形是等腰直角三角形，可設(shè)（），則，又，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以D選項(xiàng)正確．故選：ACD.12．卵形曲線也叫卵形線，是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線.卡西尼卵形線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)（叫做焦點(diǎn)）距離之積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.設(shè)焦點(diǎn)是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，（是定長），特別地，當(dāng)時(shí)的卡西尼卵形線又稱為伯努利雙紐線，某同學(xué)通過類比橢圓與雙曲線的研究方法，對伯努利雙紐線進(jìn)行了相關(guān)性質(zhì)的探究，得到下列結(jié)論，其中正確的是（    ）A．曲線過原點(diǎn)B．關(guān)于原點(diǎn)中心對稱且關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對稱C．方程為D．曲線上任意點(diǎn)，，【答案】ABC【分析】根據(jù)得到軌跡方程為得到ABC正確，驗(yàn)證知在曲線上，故D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】設(shè)，時(shí)，，化簡得到：，故C正確；曲線過原點(diǎn)，A正確；關(guān)于原點(diǎn)中心對稱且關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對稱，B正確；驗(yàn)證知在曲線上，故D錯(cuò)誤.故選：ABC. 三、填空題13．直線與直線平行，則的值為____________．【答案】##【分析】利用直線的一般式方程確定兩直線平行的條件即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得,所以的值為.故答案為：.14．記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值______________．【答案】2（滿足皆可）【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需，即，可滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”所以，又因?yàn)?/span>，所以，故答案為：2（滿足皆可） 15．如圖，已知圓是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則矩形的頂點(diǎn)的軌跡方程是___________．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，連接交于，可寫出的坐標(biāo)，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x, y的關(guān)系式，即頂點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)，如圖連接交于， 由矩形可知為的中點(diǎn)，，連接，在直角中，，則即，整理得，所以頂點(diǎn)的軌跡方程是故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查求軌跡方程，解題的關(guān)鍵是求誰設(shè)誰，設(shè)點(diǎn)，然后再利用圖像的幾何關(guān)系找到x, y的關(guān)系式，即求得軌跡方程，考查學(xué)生的直觀想象能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題. 四、雙空題16．已知點(diǎn) 是空間直角坐標(biāo)系 內(nèi)一點(diǎn)， 則點(diǎn) 關(guān)于 軸的對稱點(diǎn) 的 坐標(biāo)為 ________． 若點(diǎn) 在平面 上的射影為 ， 則四面體 的體積為________．【答案】     （1，－2，－3）     2【分析】由空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對稱性質(zhì)求解，利用棱錐的體積公式直接求解【詳解】 是空間直角坐標(biāo)系 內(nèi)一點(diǎn)， 則點(diǎn) 關(guān)于 軸的對稱點(diǎn) 的 坐標(biāo)為（1，－2，－3），因?yàn)辄c(diǎn) 在平面 上的射影為 ，所以，所以四面體 的體積為，故答案為：（1，－2，－3），2 五、解答題17．已知斜率為的直線與圓心為的圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上.（1）求圓的方程；（2）若直線與直線平行，且圓上恰有四個(gè)不同點(diǎn)到直線距離等于，求直線縱截距的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意可知，從而可得，求出，再由即可求解.（2）設(shè)：，由題意可得圓心到直線的距離，解不等式即可.【詳解】解：（1）依題意，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.，，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而圓的半徑.故所求圓的方程為.（2）因?yàn)?/span>，設(shè)：，由圓上恰有四個(gè)不同點(diǎn)到直線距離等于，得圓心到直線的距離，解得.即直線縱截距的取值范圍為.18．已知橢圓的離心率為，短軸長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知過點(diǎn)P（2,1）作弦且弦被P平分，則此弦所在的直線方程.【答案】(1) (2) 【詳解】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程組解出a，b，c即可；（2）設(shè)直線斜率為k，把直線方程代入橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程即可得出k的值，從而求出直線方程．試題解析：（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦與橢圓交于，則，分別代入橢圓的方程，兩式相減得，所以，所以，由直線的點(diǎn)斜式方程可知，所求直線方程為，即．點(diǎn)睛：弦中點(diǎn)問題解法一般為設(shè)而不求，關(guān)鍵是求出弦AB所在直線方程的斜率k,方法一利用點(diǎn)差法，列出有關(guān)弦AB的中點(diǎn)及弦斜率之間關(guān)系求解；方法二是直接設(shè)出斜率k，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得直線方程.19．已知的頂點(diǎn)，直線的方程為，邊上的高 所在直線的方程為.(1)求頂點(diǎn)和的坐標(biāo)；(2)求外接圓的一般方程.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）聯(lián)立直線，的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由求出直線的斜率及方程，的方程與直線方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)；（2）設(shè)圓的一般方程為，將，，三點(diǎn)坐標(biāo)代入求出圓的一般方程求出的值即可求解.【詳解】（1）由可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，由可得，所以由，可得，因?yàn)?/span>，所以直線    的方程為：，即，由可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）設(shè)的外接圓方程為，將，和三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入圓的方程可得：，解得：，所以的外接圓的一般方程為.20．在正四棱柱中在線段上.（1）若平面，求的長；（2）在（1）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知可得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知條件寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)()，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面，可得，即可得出的值，即可得出結(jié)果；（2）由（1）得，為平面的一個(gè)法向量，利用線面的所成角的向量求法求解即可.【詳解】解：（1）由已知可得兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，設(shè)()，則，，∴，∴.由平面，得，解得，即的長為.（2）由（1）得，為平面的一個(gè)法向量，∴，∴與平面所成角的正弦值為.21．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?/span>，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為. 22．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，，當(dāng)軸時(shí)，的面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知建立關(guān)于的方程組，解之可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由（1）知，設(shè)，，由直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得，得出根與系數(shù)的關(guān)系式，表示，代入可求得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?/span>為直角三角形，所以，則，又，所以，又，所以，則，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）知，設(shè)，，則，，又直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以設(shè)直線的方程為，則，消去得，所以，，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形．有時(shí)若直線過x軸上的一點(diǎn)，可將直線設(shè)成橫截式. 

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