?山西省大同市第一中學(xué)校南校2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期階段性綜合素養(yǎng)評(píng)價(jià)（四）數(shù)學(xué)試卷
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、單選題
1．下面四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是中心對(duì)稱圖形的是（?????）
A． B． C． D．
2．若函數(shù)的圖象在其所在的每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，則m的取值范圍是
A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞0
3．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（????）
A． B． C．且 D．且
4．如圖，△ABC為鈍角三角形，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為（　?。?br />
A．45° B．60° C．70° D．90°
5．用兩塊完全相同的長(zhǎng)方體擺放成如圖所示的幾何體，這個(gè)幾何體的左視圖是（????）

A． B． C． D．
6．如圖，大同南站某自動(dòng)扶梯的傾斜角為，自動(dòng)扶梯的長(zhǎng)為15米，則大廳兩層之間的高度為（????）

A．米 B．米 C．米 D．以上都不對(duì)
7．下列事件中是必然事件的是（????）
A．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上
B．隨意翻到一本書的某頁(yè)，這一頁(yè)的頁(yè)碼是偶數(shù)
C．打開電視機(jī)，正在播放廣告
D．從兩個(gè)班級(jí)中任選三名學(xué)生，至少有兩名學(xué)生來(lái)自同一個(gè)班級(jí)
8．拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，若將軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，將軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則該拋物線在新的平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)表達(dá)式為（????）
A． B．
C． D．
9．如圖，以為直徑，點(diǎn)為圓心的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，則圖中陰影部分的面積為（????）

A． B． C． D．
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=的圖像上，若 AD:AB=1：2，則k的值是（　?。?br />
A．8 B．10 C．12 D．6

二、填空題
11．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_____________．
12．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠DCE＝55°，則∠BOD＝________°．

13．如圖，已知⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線y＝x2﹣1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為_____．

14．大數(shù)據(jù)分析技術(shù)為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)發(fā)揮了重要作用．如圖是小明同學(xué)的健康碼示意圖，用黑白打印機(jī)打印在邊長(zhǎng)為2cm的正方形區(qū)域內(nèi)，圖中黑色部分的總面積為，現(xiàn)在向正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，點(diǎn)落入黑色部分的概率為______．

15．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，為邊的中點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到，連接，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為_____________．


三、解答題
16．計(jì)算：
(1)解方程：；
(2)．
17．冰天雪地也是金山銀山，北京張家口即將聯(lián)合舉辦2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)（簡(jiǎn)稱“冬奧會(huì)“），在我國(guó)刮起了冰雪運(yùn)動(dòng)的旋風(fēng)．某校為了了解七年級(jí)學(xué)生最喜愛(ài)的冬奧會(huì)項(xiàng)目，校團(tuán)委宣傳部李老師通過(guò)學(xué)校公眾號(hào)向七年級(jí)學(xué)生發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷，要求如實(shí)填寫并提交．

收集數(shù)據(jù)：李老師從中隨機(jī)抽查了40份問(wèn)卷，得到如下數(shù)據(jù)：
ADABDCADEBEBCEDACADCCADDCDBDAECECDCADCDC
整理分析：李老師整理了這組數(shù)據(jù)并將結(jié)果繪制成兩幅均不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
(1)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，m＝ 　 ，“項(xiàng)目E”所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為 　 ．
(3)最喜愛(ài)“B．滑冰”項(xiàng)目的有1名女生和3名男生，從中任選2名參加比賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中1名男生和1名女生的概率．
18．在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．

(1)按要求作圖：先將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，再以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)異側(cè)畫，使它與的相似比為；
(2)寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)．
19．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．

(1)求一次函數(shù)的解析式；
(2)求的面積．
20．圖1是某種路燈的實(shí)物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，為立柱的一部分，燈臂，支架與立柱分別交于A，B兩點(diǎn)，燈臂與支架交于點(diǎn)C，已知，，，求支架的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）
???????
21．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
斯庫(kù)頓定理：如圖1．在中，為的平分線，則．下面是該定理的證明過(guò)程：
證明：如圖2，是的外接圓，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．
∵為的平分線，
∴．
∵，（依據(jù)①__________________________）
．（依據(jù)②_________________________）


又，
．
．
……

任務(wù)：
（1）證明過(guò)程中的依據(jù)是：
①__________________________________．
②__________________________________．
（2）將證明過(guò)程補(bǔ)充完整：
（3）如圖3．在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)．若，，，，，請(qǐng)利用斯庫(kù)頓定理，直接寫出線段的長(zhǎng)．

22．如圖1，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．

（1）求證：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如圖2．
①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠OAG′是直角時(shí)，求α的度數(shù)；
②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求AF′長(zhǎng)的最大值和此時(shí)α的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說(shuō)明理由．
23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且直線過(guò)點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)N．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案：
1．B
【分析】中心對(duì)稱圖形的定義：如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，與初始圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．據(jù)此定義即可判斷．
【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
C、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】此題考查中心對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握中心對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．
2．A
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性列出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．
【詳解】∵函數(shù)的圖象在其所在的每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，
∴m+2＜0，
解得：m＜﹣2．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．
3．D
【分析】利用一元二次方程的定義及根的判別式列不等式a≠0且，從而求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：a≠0且，即
，
解得：且，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
4．D
【詳解】已知△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)l20°得到△AB′C′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得∠AB′B=（180°-120°）=30°，再由AC′∥BB′，可得∠C′AB′=∠AB′B=30°，所以∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．故選D．
5．C
【詳解】解：找到從左面看所得到的圖形即可：
從左面看易得有兩層，上層右邊是1個(gè)正方形；下層有1個(gè)長(zhǎng)方形，且中間有一看不見(jiàn)的豎線．
故選C．
6．A
【分析】根據(jù)題意得，，即可得．
【詳解】解：根據(jù)題意得，，
（米），
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握正弦的定義．
7．D
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可．
【詳解】解：A、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上是隨機(jī)事件；
B、隨意翻到一本書的某頁(yè)，這一頁(yè)的頁(yè)碼是偶數(shù)，是隨機(jī)事件；
C、打開電視機(jī)，正在播放廣告，是隨機(jī)事件；
D、從兩個(gè)班級(jí)中任選三名學(xué)生，至少有兩名學(xué)生來(lái)自同一個(gè)班級(jí)，是必然事件．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，掌握三種事件的區(qū)別與聯(lián)系成為解答本題的關(guān)鍵．
8．C
【分析】將題意中的平移方式轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖像的平移，再求解析式即可．
【詳解】解：若將軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，
相當(dāng)于將函數(shù)圖像向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，
將軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，
相當(dāng)于將函數(shù)圖像向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，
則平移以后的函數(shù)解析式為：
化簡(jiǎn)得：，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像的平移，將題意中的平移方式轉(zhuǎn)換為函數(shù)圖像的平移是解決本題的關(guān)鍵．
9．A
【分析】先利用圓周角定理可得，然后可得△ABC是等腰直角三角形，進(jìn)而可得△AOC和△BOC都為等腰直角三角形，于是得到，然后根據(jù)扇形面積公式可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵為直徑，
∴，
∵，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴，則OA=OB=1，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都為等腰直角三角形，
∴，
∴；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積公式及圓周角定理，熟練掌握扇形面積公式及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
10．B
【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、OB的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、角的和差得出，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出BE、CE的長(zhǎng)，從而可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將其代入反比例函數(shù)的解析式即可得出答案．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E
點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

四邊形ABCD是矩形，
，


又

，即
解得

點(diǎn)C的坐標(biāo)為
將點(diǎn)代入反比例函數(shù)的解析式得：
解得
故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．
11．
【分析】把拋物線化成頂點(diǎn)式，即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，把拋物線化成頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．
12．110°
【分析】首先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求得∠BCD的度數(shù)，然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得∠A的度數(shù)，然后利用圓周角定理求得∠BOD的度數(shù)．
【詳解】解：∵∠DCE＝55°，
∴∠BCD＝125°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠A＝55°，
∴∠BOD＝2∠A＝110°，
故答案為：110°．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，注意：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角．
13．（，2）或（﹣，2）
【分析】根據(jù)直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2或-2．將P的縱坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求P點(diǎn)坐標(biāo)即可
【詳解】根據(jù)直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2或-2．
當(dāng)y=2時(shí)， x2-1=2，解得x=±
當(dāng)y=-2時(shí)， x2-1=-2，方程無(wú)解
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）或（-）
【點(diǎn)睛】此題注意應(yīng)考慮兩種情況．熟悉直線和圓的位置關(guān)系應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．
【分析】用黑色部分的總面積除以正方形的面積即可解答．
【詳解】解：由題意可知，正方形的面積為，
因?yàn)楹谏糠值目偯娣e為，
所以向正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，點(diǎn)落入黑色部分的概率為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查概率的實(shí)際應(yīng)用，涉及幾何概率，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
15．
【分析】先利用輔助圓確定當(dāng)取得最小值時(shí)的位置，再利用勾股定理建立方程和正切的定義求解即可．
【詳解】解：∵正方形邊長(zhǎng)為4，為邊的中點(diǎn)，
∴
如圖，以為直徑作圓，則該圓是以點(diǎn)E為圓心，2為半徑的圓，
連接，與圓交于點(diǎn)M，
則當(dāng)位于點(diǎn)M處時(shí)，取最小值，
記當(dāng)位于點(diǎn)M處時(shí)的折痕為，連接，設(shè)，
∴，
∴，
∵中，，
∴，
由折疊知，，
∴，
∴中，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及到了用輔助圓確定動(dòng)點(diǎn)的某個(gè)特殊位置，求一個(gè)角的正切，勾股定理，正方形的性質(zhì)等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是確定當(dāng)取得最小值時(shí)的位置．
16．(1)，
(2)

【分析】（1）根據(jù)因式分解法可解答此方程；
（2）首先把特殊角的三角函數(shù)值代入，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可．
【詳解】（1）解：；


，
（2）解：原式
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程—因式分解法，解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)，選取合適的方法解方程，本題也考查了特殊三角函數(shù)的混合運(yùn)算．
17．(1)見(jiàn)解析
(2)30，45°
(3)，樹狀圖見(jiàn)解析，

【分析】（1）先求出最喜愛(ài)“D．冰球和冰壺”項(xiàng)目的人數(shù)和最喜愛(ài)“E．冬季兩項(xiàng)”項(xiàng)目的人數(shù)，然后補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；
（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)乘以m%等于最喜愛(ài)“D．冰球和冰壺”項(xiàng)目的人數(shù)即可求出m，用360度乘以最喜愛(ài)“E．冬季兩項(xiàng)”項(xiàng)目的人數(shù)占比即可求出“項(xiàng)目E”所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)；
（3）列出樹狀圖得到所有的等可能性的結(jié)果數(shù)，然后找到恰好為1名男生1名女生的結(jié)果數(shù)最后根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得：最喜愛(ài)“D．冰球和冰壺”項(xiàng)目的人數(shù)為12人，最喜愛(ài)“E．冬季兩項(xiàng)”項(xiàng)目的人數(shù)為5人，
∴補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：

（2）解：由題意得：，
∴，
“項(xiàng)目E”所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為
（3）解列樹狀圖如下：

由樹狀圖可知一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中恰好為1名男生1名女生的結(jié)果數(shù)為6種，
∴恰好選中1名男生和1名女生的概率為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖信息相關(guān)聯(lián)，樹狀圖或列表法求解概率，正確理解題意讀懂統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．
18．(1)見(jiàn)解析
(2)，

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)作圖，確定的位置，再根據(jù)位似比等于相似比，使，畫出；
（2）根據(jù)圖形直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：，即為所求；

（2）如圖可知：，．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)作圖，位似作圖．熟練掌握旋轉(zhuǎn)三要素，以及位似比等于相似比，是解題的關(guān)鍵．
19．(1)一次函數(shù)的解析式為；
(2)的面積為9．

【分析】（1）先求得，得到，，再通過(guò)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）先求得直線交x軸于點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用求解．
【詳解】（1）解：∵，在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴一次函數(shù)的解析式為；
（2）解：設(shè)直線交x軸于點(diǎn)C，

令，則，
∴點(diǎn)C，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握坐標(biāo)系內(nèi)求圖形面積的方法．
20．49cm
【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥MN，垂足為D，分別解△ACD和△BCD，即可得到結(jié)果．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥MN，垂足為D，
∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，
∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∵AC=40cm，
∴在Rt△ACD中，AD=AC=20cm，
∴CD=cm，
∴在Rt△BCD中，BC=cm，
∴支架BC的長(zhǎng)為49cm．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，涉及到等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊直角三角形．
21．（1）①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，②兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；（2）見(jiàn)解析；（3）
【分析】（1）由圖可知和所對(duì)的弧是同一條弧，根據(jù)同弧或者等弧所對(duì)圓周角相等可知結(jié)論；已知兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；
（2）已知兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似可知，進(jìn)而得到比例關(guān)系，最后得出結(jié)論；
（3）由斯庫(kù)頓定理，得，從而求出的值，再根據(jù)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似可知：，進(jìn)而得出的值，最后由線段和可知的值．
【詳解】解：（1）①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等
∵和所對(duì)的弧是同一條弧
∴①應(yīng)填：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等
②兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似
∵題目中的結(jié)論是兩個(gè)三角形相似，用的方式是三角形的兩個(gè)角分別相等
∴②應(yīng)填兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似
（2）∵，.
.



（3）
∵.
∴弧弧
∴
∴平分.
由斯庫(kù)頓定理，得
又∵，，，，
∴.
解得或（舍去）。
∵, .
∴
∴
∴
解得
∴
【點(diǎn)睛】本題是一道閱讀理解題，通過(guò)讀材料運(yùn)用已知條件得到斯庫(kù)頓定理，理解并會(huì)運(yùn)用斯庫(kù)頓定理是解題的關(guān)鍵．
22．（1）見(jiàn)解析；（2）30°或150°，的長(zhǎng)最大值為，此時(shí)
【分析】（1）延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H，易證△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后運(yùn)用等量代換證明∠AHE=90°即可；
（2）①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：α由0°增大到90°過(guò)程中，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，α=30°，α由90°增大到180°過(guò)程中，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，α=150°；
②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時(shí)，AF′的長(zhǎng)最大，AF′=AO+OF′=+2，此時(shí)α=315°．
【詳解】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠GAO+∠DEO=90°，
∴∠AHE=90°，
即DE⊥AG；
（2）①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：
(Ⅰ)α由0°增大到90°過(guò)程中，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，
∵OA=OD=OG=OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，
∴∠AG′O=30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°°，
即α=30°；

(Ⅱ)α由90°增大到180°過(guò)程中，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°?30°=150°．
綜上所述，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，α=30°或150°．
②如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A．?O、F′在一條直線上時(shí)，AF′的長(zhǎng)最大，

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，
∴OA=OD=OC=OB=，
∵OG=2OD，
∴OG′=OG=，
∴OF′=2，
∴AF′=AO+OF′=+2，
∵∠COE′=45°，
∴此時(shí)α=315°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的四條邊相等、四個(gè)角相等，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，注意特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用．
23．（1）；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.
【分析】（1）根據(jù)直線求出點(diǎn)B和點(diǎn)D坐標(biāo)，再根據(jù)C和D之間的關(guān)系求出點(diǎn)C坐標(biāo)，最后運(yùn)用待定系數(shù)法求出拋物線表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，0），表示出M和N的坐標(biāo)，再利用三角形面積求法得出S△BMD=，再求最值即可；
（3）分當(dāng)∠QMN=90°時(shí)，當(dāng)∠QNM=90°時(shí)，當(dāng)∠MQN=90°時(shí)，三種情況，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)，分別求解即可.
【詳解】解：（1）∵直線過(guò)點(diǎn)B，點(diǎn)B在x軸上，
令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，
∴B（6，0），D（0，-6），
∵點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴C（0，6），
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C，代入，
，解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為：；
（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，0），
則點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，），點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，m-6），
∴MN=-m+6=，
∴S△BMD=S△MNB+S△MND
=
=
=-3（m-2）2+48
當(dāng)m=2時(shí)，S△BMD最大=48，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）；
（3）存在，
由（2）可得：M（2，12），N（2，-4），
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，n），
當(dāng)∠QMN=90°時(shí)，即QM⊥MN，如圖，
可得，此時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相等，
即Q（0，12）；

當(dāng)∠QNM=90°時(shí)，即QN⊥MN，如圖，
可得，此時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)相等，
即Q（0，-4）；

當(dāng)∠MQN=90°時(shí)，MQ⊥NQ，如圖，
分別過(guò)點(diǎn)M和N作y軸的垂線，垂足為E和F，
∵∠MQN=90°，
∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，
∴∠NQF=∠QME，
∴△MEQ∽△QFN，
∴，即，
解得：n=或，
∴點(diǎn)Q（0，）或（0，），

綜上：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的表達(dá)式，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，解一元二次方程，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合，分類討論思想的運(yùn)用.

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