2022-2023學年山東省青島市即墨區(qū)實驗高級中學高一上學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合A，B和全集U={1，2，3，4}，且A={1，2，3}，B={3，4}，則（    ）A．{4} B． C．{3，4} D．{3}【答案】A【分析】求出，再求交集即可.【詳解】因為，，所以.故選：A.2．命題“有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】原命題為特稱命題，根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題進行否定即可.【詳解】命題“有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)”是特稱命題，根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，所以命題的否定應該是“所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)”，即，.故選：C.【點睛】本題考查含有量詞的命題的否定，要求熟練掌握特稱命題的否定是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題，屬于基礎(chǔ)題.3．已知命題“，使得”是真命題，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可知：不等式對應的二次函數(shù)開口向上，若命題“，使得”是真命題，則相應的二次方程有不等的實根,利用判別式即可求解.【詳解】因為命題“，使得”是真命題，所以方程有兩個不等的實數(shù)根，所以，解得：或，故選：.4．已知函數(shù) ，若，實數(shù)（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先求得，再由，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故，故選：B.5．設(shè)命題甲：|x－2|＜3，命題乙：，那么甲是乙的（ ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】因為命題甲：|x－2|＜3，解得：，命題乙：,所以乙甲且甲推不出乙，甲是乙的必要而不充分條件，故選:．6．已知，則A． B． C． D．【答案】B【分析】運用中間量比較，運用中間量比較【詳解】則．故選B．【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．7．1614年納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化計算面發(fā)明對數(shù)；1637年笛卡爾開始使用指數(shù)運算；1707年歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，這已成為歷史珍聞. ，，，估計的值約為（    ）A．0.1654 B．0.2314 C．0.3055 D．0.4897【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)式的互化，可得x的表達式，利用對數(shù)運算，結(jié)合已知可求得答案.【詳解】由可得，即,故選：C.8．已知定義在上函數(shù)，對任意的，且，都有，若函數(shù)為奇函數(shù)，且，則（    ）A． B．C． D．的值與0的大小關(guān)系不確定【答案】C【分析】根據(jù)題意，先求出函數(shù)的單調(diào)性和對稱中心，然后已知條件進行轉(zhuǎn)化，進而求出結(jié)果.【詳解】由題意可知：定義在上函數(shù)，且，都有，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，當時，則，也即，又因為函數(shù)關(guān)于原點對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，設(shè)，則，則有，又因為，則，故選：. 二、多選題9．已知集合，且，則的可能取值有（    ）A．1 B． C．3 D．2【答案】AC【解析】利用，可得或，解出的值代入集合驗證滿足元素互異性即可.【詳解】因為，所以或，解得：，或，，當時，，符合題意，當時，，符合題意，當時，，不滿足元素互異性，不成立所以或，故選：AC【點睛】本題主要考查了元素的確定性和互異性，屬于基礎(chǔ)題.10．已知是實數(shù)，則下列一定正確的有（    ）A．若，則B．若，，則C．，，若，則D．，，若，則【答案】BC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值，對每個選項進行逐一分析即可選擇.【詳解】對A：當時，滿足，但不滿足，故A錯誤；對B：若，，則，故可得，故B正確；對C：因為為上的單調(diào)函數(shù)，故當時，一定有，故C正確；對D：若，沒有意義，故D錯誤.故選：BC.11．已知可用列表法表示如下: 若，則可以?。?/span>       ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)所給函數(shù)關(guān)系一一代入計算可得；【詳解】解：當時，，故不適合;當時，適合;當時，適合;當時，適合，所以或或.故選：BCD12．下列說法正確的有（    ）A．若，則的最大值是B．若，，都是正數(shù)，且，則的最小值是3C．若，，，則的最小值是2D．若實數(shù)，滿足，則的最大值是【答案】ABD【分析】對于A，湊分母，結(jié)合基本不等式，可得答案；對于B，根據(jù)基本不等式，結(jié)合“1”的妙用，可得答案；對于C，根據(jù)基本不等式的變式，整理出關(guān)于所求整式的二次不等式，可得答案；對于D，采用換元法，設(shè)，，可將原式化簡為，結(jié)合基本不等式，可得答案．【詳解】對于A，因為，所以，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為，故A正確；對于B，因為x，y，z都是正數(shù)，且，所以，，，所以，當且僅當，即，即時等號成立，所以的最小值為3，故B正確；對于C，因為，，所，即（當且僅當時等號成立），因為，所以，所以，所以，解得（舍去）或，當且僅當時等號成立，所以的最小值為4，故C錯誤；對于D，，設(shè)，，∵，當且僅當，即時，取等號∴則的最大值為，故D正確．故選：ABD. 三、填空題13．已知集合，則 __________．【答案】【分析】解方程組，即可得.【詳解】聯(lián)立，解得或，故.故答案為：.14．設(shè)，則的值為________．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)化簡求值即可.【詳解】，.故答案為：.15．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性分類討論求解即可.【詳解】當時，，顯然該函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，該函數(shù)的對稱軸為：，要想該函數(shù)在上單調(diào)遞減，只需滿足，綜上所述：的取值范圍是，故答案為： 四、雙空題16．已知函數(shù)，若，則的值域是_________；若的值域是，則參數(shù)的取值范圍是_________.【答案】     ；     .【分析】第一空，根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分段求解函數(shù)值的范圍，取并集可得答案;第二空，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得到參數(shù)需滿足的不等式，求得答案.【詳解】當時，，當時，，當時，，故的值域是；若的值域是，因為時，，因為時，，故需滿足 ， 又因為需滿足 ，則，故參數(shù)的取值范圍是，即，故答案為：;. 五、解答題17．（1）；（2）.【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則，化簡計算，可得答案；（2）根據(jù)對數(shù)的運算法則，化簡計算，可得答案.【詳解】（1） ；（2） .18．已知集合 ，.(1)若，求；(2)若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）確定集合,求得集合B,以及其補集，根據(jù)交集運算即可求得答案;（2）根據(jù)是的充分不必要條件，可得?,從而可得關(guān)于m的不等式，求得答案.【詳解】（1）當時， ，或 ，則，故；（2）若是的充分不必要條件，則?,故 ，即實數(shù)的取值范圍是.19．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，已知當時，；(1)求函數(shù)的解析式并畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖像寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若方程有3個相異的實數(shù)根，求實數(shù)的取值集合；(3)求不等式的解集.【答案】(1)見解析(2)或或；(3)或； 【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義即可求解析式，從而可得函數(shù)的圖象，利用圖象即可得單調(diào)增區(qū)間；（2）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有3個交點，結(jié)合圖象即可求解；（3）對分類討論，求出不等式的解集，再求并集即可【詳解】（1）當時，，令，則，則，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，又，所以函數(shù)的解析式為，作出函數(shù)的圖象如下：由圖象可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和；（2）若方程有3個相異的實數(shù)根，則函數(shù)與的圖象有3個交點，由圖象可知或或，所以實數(shù)的取值集合是或或；（3）當時，不等式即為，即，解得；當時，不等式即為，顯然不成立；當時，不等式即為，即，解得；綜上，不等式的解集為或；20．已知.(1)若的解集為 ，求實數(shù)、的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)；(2)答案見解析. 【分析】（1）根據(jù)不等式的解集可確定相應的方程的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出等式，求得答案;（2）化簡，確定相應方程的根，分類討論，確定不等式的解集.【詳解】（1）由題意的解集為，可得1和n是方程的兩實數(shù)解，且 ，則，解得；（2）關(guān)于的不等式，即，即，即，當時，，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.21．世界范圍內(nèi)新能源汽車的發(fā)展日新月異，電動汽車主要分三類：純電動汽車、混合動力電動汽車和燃料電池電動汽車.這3類電動汽車目前處在不同的發(fā)展階段，并各自具有不同的發(fā)展策略.中國的電動汽車革命也早已展開，以新能源汽車替代汽（柴）油車，中國正在大力實施一項將重新塑造全球汽車行業(yè)的計劃.2022年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本2000萬元，每生產(chǎn)（百輛），需另投入成本（萬元），且；已知每輛車售價5萬元，由市場調(diào)研知，全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.(1)求出2022年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；(2)2022年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【答案】(1);(2)100（百輛），2300萬元. 【分析】（1）根據(jù)利潤收入-總成本，即可求得（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（2）分段求得函數(shù)的最大值，比較大小可得答案.【詳解】（1）由題意知利潤收入-總成本，所以利潤  ,故2022年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式為 .（2）當時，，故當時，；當時，,當且僅當， 即時取得等號；綜上所述，當產(chǎn)量為100（百輛）時，取得最大利潤，最大利潤為2300萬元．22．對于函數(shù)， 若存在，使得，則稱為函數(shù)的 “不動點”;若存在，使得，則稱為函數(shù) 的“穩(wěn)定點”.記函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別為A和B，即(1)設(shè)函數(shù)，求A和B；(2)請?zhí)骄考?/span>A和B的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若，且，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)，；(2)，證明見解析；(3). 【分析】（1）根據(jù)不動點、穩(wěn)定點定義，令、求解，即可得結(jié)果；（2）問題化為與有交點，根據(jù)交點橫縱坐標的關(guān)系知，即可證.（3）問題化為有實根、中無實根，或與有相同的實根，求參數(shù)a范圍.【詳解】（1）令，可得，故；令，可得，故.（2），證明如下：由題意，不動點為與的交點橫坐標，穩(wěn)定點為與的交點橫坐標，若與有交點，則橫縱坐標相等，則，所以.（3）由，則：令，即有實根，當時，，符合題設(shè)；當時，，可得.令，即有實根，所以，因為，則無實根，或有與相同的實根，當無實根，有且，可得且；當有實根，此時，即，所以，則，代入得：，可得.綜上，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，將問題化為、與的交點理解，注意交點橫縱坐標性質(zhì)；第三問，化為有實根、中無實根或與的實根相同. 

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