2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答案卡一并交回.注意事項(xiàng)：1. 答第Ⅰ卷前考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2. 選出每小題答案前，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).所有試題的答案，寫在答題卡上，不能答在本試卷上，否則無(wú)效.第Ⅰ卷（選擇題  共60分）一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（    ）A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)除法運(yùn)算求出，再根據(jù)純虛數(shù)的定義可得結(jié)果.【詳解】,因?yàn)?/span>為純虛數(shù)，所以，得.故選：D2. 已知向量，，，若，則（    ）A. 3 B.  C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，再由，得可求出的值【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>，，所以，解得，故選：B3. 如圖，在中，，P是BN上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)t的值為（    ）  A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由題意設(shè)，由向量的線性運(yùn)算可得，再根據(jù)已知列等式計(jì)算即可求出.【詳解】由題意，是上一點(diǎn)，設(shè)，則，又，所以，所以，所以，解得.故選：C4. 若，且為第四象限角，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.【詳解】由于，且為第四象限角，所以，.故選：D5. 要得到的圖像，只需將函數(shù)的圖像（    ）A. 向左平移個(gè)單位 B. 向右平移個(gè)單位C. 向左平移個(gè)單位 D. 向右平移個(gè)單位【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，即可判斷.【詳解】，需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位.故選：A.6. 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值為（    ）A. 16 B. 8 C. 4 D. 2【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)基本不等式，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，所以，即，得，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為4.故選：C7. 已知外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件作圖可得為直角三角形，結(jié)合條件，并根據(jù)根據(jù)投影向量的概念求解即可【詳解】所以外接圓圓心為的中點(diǎn)，即為外接圓的直徑，所以,如圖：因?yàn)?/span>，所以，即，所以，向量在向量上的投影數(shù)量為：故選：A8. 已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，球的體積為，則該正四棱錐的體積最大值為（    ）A. 18 B.  C.  D. 27【答案】B【解析】【分析】先求出外接球的半徑，再根據(jù)正四棱錐的幾何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理可得，進(jìn)而由體積公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的最值.【詳解】如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)，高，外接球的球心為，則，因?yàn)榍虻捏w積為，所以球的半徑為，在中，，即，所以正四棱錐的體積為整理得，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，故選：B  二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 下列關(guān)于平面向量的命題正確的是(    )A. 若∥，∥，則∥B. 兩個(gè)非零向量垂直的充要條件是：C. 若向量，則四點(diǎn)必在一條直線上D. 向量與向量共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量共線的概念判斷A，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)判斷B，根據(jù)向量相等和向量概念判斷C，根據(jù)向量共線定理判斷D．【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，不一定成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于，兩個(gè)非零向量，當(dāng)向量垂直可得，反之也一定有向量垂直，B正確；對(duì)于C，若向量與方向和大小都相同，但四點(diǎn)不一定在一條直線上，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由向量共線定理可得向量與向量共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使D正確．故選：BD．10. 設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 的周期是B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C. 在單調(diào)遞減D. 在上的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】利用兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)，的最小正周期為，故A正確；令，求得，不是最值，可得的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故C正確；時(shí)，，故當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值為，故D正確，故選：ACD.11. 已知正方體，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 平面與直線平行 B. 平面與直線垂直C. 平面與平面平行 D. 平面與平面垂直【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)平行四邊形可證∥，進(jìn)而結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；對(duì)于B：根據(jù)線面垂直的判定定理分析證明；對(duì)于C：根據(jù)面面平行的判定定理分析證明；對(duì)于D：可證平面，根據(jù)面面垂直的判定定理分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?/span>∥，且，則為平行四邊形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?/span>為正方形，則，又因?yàn)?/span>平面，平面，則，，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以與不垂直，所以平面與直線不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?/span>∥，且，則為平行四邊形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，由選項(xiàng)A可知：∥平面，，平面，所以平面∥平面，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?/span>為正方形，則，又因?yàn)?/span>平面，平面，則，，平面，所以平面，且平面，可得，同理可證：，，平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以平面與平面不垂直，故D錯(cuò)誤；故選；AC.12. 數(shù)列依次為,,,,,,,,,,,,,,,,,…,其中第一項(xiàng)為,接下來(lái)三項(xiàng)為,再五項(xiàng)為,依次類推,記的前項(xiàng)和為,則下列說(shuō)法正確的是（    ）A.  B. 為等差數(shù)列C.  D. 對(duì)于任意正整數(shù)都成立【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律可求出判斷A；根據(jù)等差數(shù)列的定義可判斷B；根據(jù)數(shù)列求和可判斷C；根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷D.【詳解】設(shè)分母為的數(shù)為第一組,分母為的數(shù)為第二組，…,分母為的數(shù)為第組,則前組數(shù)共有個(gè)數(shù),對(duì)于A,令,可得,所以為第組最后一個(gè)數(shù),則,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)榍?/span>組數(shù)共有個(gè)數(shù),所以數(shù)列的項(xiàng)為每一組的最后一個(gè)數(shù)的倒數(shù),即,故B正確;對(duì)于C,因?yàn)榍?/span>項(xiàng)共有組數(shù),又每組數(shù)的和為,所以前組數(shù)的和為,即,故C正確;對(duì)于D,根據(jù)已知設(shè),因?yàn)?/span>為定值,即,因?yàn)?/span>,所以,則,因?yàn)?/span>,所以,即,故D正確.故選:BCD.第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13. 已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】首先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)于的點(diǎn)在第四象限，所以，解得：.故答案為：14. 已知非零單位向量，滿足，則與的夾角余弦值為______.【答案】【解析】【分析】由已知兩等式平方后可解得得，進(jìn)而可求解.【詳解】，，又，，，，設(shè)與的夾角為，則故答案為：15. 公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一平面上.某人在點(diǎn)A處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?/span>，他在公路上自西向東行走，行走60米到點(diǎn)B處，測(cè)得仰角為，沿該方向再行走60米到點(diǎn)C處，測(cè)得仰角為.則______.【答案】【解析】【分析】首先得到，然后在中，由余弦定理得求出，可求出，即可求出.【詳解】  如圖，O為樓腳，OP為樓高，則，，所以，又因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以，所以又因?yàn)?/span>，所以在中，，所以，故.，所以，所以.故答案為：.16. 已知四邊形ABCD，為邊BC邊上一點(diǎn)，連接交BD于，點(diǎn)滿足，其中是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，，則的前n項(xiàng)______.  【答案】【解析】【分析】由結(jié)合共線向量定理的推論可得，則可求得，再由可得，從而得，則得，然后利用分組求和法可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以是以4為首項(xiàng)，2為公比等比數(shù)列，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以因?yàn)?/span>，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量共線定理的應(yīng)用，考查數(shù)列的分組求和法，考查等比數(shù)列的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將已知式子變形結(jié)合共線向量定理推論化簡(jiǎn)求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17. 在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得的值；（2）利用同角基本關(guān)系式得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.【小問(wèn)1詳解】在中，由正弦定理得，又由，得，又因?yàn)?/span>為三角形內(nèi)角，則，則.又因?yàn)?/span>，得到，.由余弦定理可得.【小問(wèn)2詳解】在三角形中，由（1）可得,.18. 已知數(shù)列，為的前n項(xiàng)和，，，.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義得數(shù)列 為第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案；（2）由（1）得 運(yùn)用錯(cuò)位相減法可得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 由， 可得，兩式相減可得，，即有，即為數(shù)列為第二項(xiàng)起為等比數(shù)列,又數(shù)列為以為首項(xiàng)，等比數(shù)列為的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得 ，， 可得，則,,即有前項(xiàng)和為，，,兩式相減可得，，化簡(jiǎn)可得.19. 如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，平面，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）利用中位線定理證得四邊形為平行四邊形，從而利用線面平行判定定理即可得證；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，從而求得平面與平面的法向量，進(jìn)而利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，分別為的中點(diǎn)，，，因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形，是的中點(diǎn)，所以且，故且，則四邊形為平行四邊形，，又面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以由勾股定理得，則是等腰直角三角形，又平面，故以中點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)和平行的直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)是面的一個(gè)法向量，則有，取，則，故，設(shè)是面的一個(gè)法向量，則有，取，則，故，記平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值.20. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，周期為.（1）求解析式；（2）在中，角A，B，C對(duì)的邊分別為a，b，c，的角平分線交AB于D.若恰為的最大值，且此時(shí)，求的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由周期可求出，再將坐標(biāo)代入函數(shù)中可求出，從而可求出的解析式；（2）恰為的最大值，且此時(shí)，可得，，再由題意得，化簡(jiǎn)可得，則，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】周期為，，圖象經(jīng)過(guò)，，，又，∴，【小問(wèn)2詳解】的最大值，，得，∵，∴，∴，，，，即，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又，即當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.21. 如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，面底面ABCD，E為AD的中點(diǎn).  （1）求證：；（2）在線段BD上存在一點(diǎn)F，使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為.①確定點(diǎn)F的位置；②求點(diǎn)C到平面PEF的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）①點(diǎn)的位置是線段上靠近的三等分點(diǎn)；②【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理，即可證明線線垂直；（2）①根據(jù)（1）的證明過(guò)程，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，以線面角的向量公式求點(diǎn)的位置；②根據(jù)①的結(jié)果，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的向量公式，計(jì)算結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，,為等邊三角形,,面底面，面底面，面，面，，，，又，面，面，，  【小問(wèn)2詳解】①如圖以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立空間  直角坐標(biāo)系.設(shè)，，，，,,，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量則有，令解得：因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為即解得，所以點(diǎn)的位置是線段上靠近的三等分點(diǎn)，②，，，點(diǎn)到平面的距離.22. 已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，.（1）已知，求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由可得，從而得到，進(jìn)而得到是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）由可得，從而有，得到數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)具有周期性，最后根據(jù)分組求和即可.【小問(wèn)1詳解】，，，，即，，即，是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，.【小問(wèn)2詳解】，又，，，，即，，即數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)具有周期性，，所以· 

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