2022-2023學(xué)年山東省青島市青島第十六中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)集合，若，則等于（    ）A．{0,2} B．{0,5}C． D．{0,2,5}【答案】D【分析】根據(jù)集合中元素與集合的關(guān)系求解參數(shù)，即可得集合，再按照并集運算即可求解.【詳解】解：若，則，，又所以，即，則，所以，于是有故選：D.2．命題的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可.【詳解】解：命題為全稱量詞命題，其否定為：.故選：C3．函數(shù)的定義域為，值域為，則圖像可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和函數(shù)的概念，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，值域為，對于A中，函數(shù)的定義域為，不符合題意；對于B中，函數(shù)的定義域為，值域為，符合題意；對于C中，根據(jù)函數(shù)的概念，一對一對應(yīng)和多多對一對應(yīng)是函數(shù)，而C項中出現(xiàn)一對多對應(yīng)，所以不是函數(shù)，不符合題意；對于D中，函數(shù)的定義域為，但值域為，不符合題意.故選：B4．“，不等式成立”的充要條件是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次不等式恒成立得，再根據(jù)充分必要條件的概念求解即可.【詳解】當(dāng)時，，該不等式成立；當(dāng)，即時，該不等式成立；綜上，得當(dāng)時， 關(guān)于的不等式恒成立，所以，關(guān)于的不等式恒成立的充分必要條件是．故選：B.5．函數(shù)的圖象是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用函數(shù)的定義域、特殊點的函數(shù)值確定正確選項.【詳解】依題意的定義域為，由此排除CD選項.當(dāng)時，，由此排除A選項.故選：B6．某地供電公司．為鼓勵小微企業(yè)增加夜間時段用電，規(guī)定在月度所屬夜間計費時段內(nèi)采用按用電量分段計費的方法來計算電費，夜間月用電量x（度）與相應(yīng)電費y（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)夜間月用電量為300度時，應(yīng)交電費為（    ）A．130元 B．140元C．150元 D．160元【答案】D【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出，代入數(shù)值即可求出結(jié)果.【詳解】結(jié)合函數(shù)圖像可知，當(dāng)時，與之間是一次函數(shù)，設(shè)當(dāng)時，；當(dāng)時，；則，解得，此時；所以當(dāng)時，，故選：D.7．設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意利用指數(shù)函數(shù)?冪函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．【詳解】解：∵，函數(shù)是增函數(shù)，，∴，∴，且又，即，綜上可得，，故選：C.8．設(shè)，，當(dāng)時，恒有，則（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】令得到，即可得解.【詳解】解：因為當(dāng)時，恒有，令則，即，所以.故選：A 二、多選題9．對實數(shù)a，b，c，下列說法正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若則 D．恒成立【答案】AD【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷A；取特值可判斷B，C；作差判斷D.【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，若，，則，則，故B不正確；對于C，若，滿足，，則C不正確；對于D，，所以，故D正確.故選：AD.10．高斯是歷史上最有影響力的數(shù)學(xué)家之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，高斯函數(shù)表示不超過x的最大整數(shù)，如，則（    ）A． B．C． D．對任意【答案】ACD【分析】令，則，則，代入ACD分析，即可判斷，令，可判斷B.【詳解】令，則，且，選項A，，正確；選項B，令，則，錯誤；選項C，，正確；選項D，，正確.故選：ACD11．設(shè)正實數(shù)a，b滿足，則下列說法正確的是（    ）A．有最大值 B．有最小值C．有最小值 D．有最大值1【答案】ABC【分析】根據(jù)正實數(shù)a，b滿足，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)求最值即可判斷.【詳解】解：對于A，正實數(shù)a，b滿足，所以，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，所以有最大值，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則有最小值，故B正確；對于C，正實數(shù)a，b滿足，則，故，所以，則當(dāng)時，有最小值，故C正確；對于D，由A中得，所以，則，故有最小值64，故D錯誤.故選：ABC.12．已知函數(shù)，則（    ）A．f(x)是奇函數(shù)B．f(x)圖象關(guān)于（—1，—1）對稱C．f(x)在區(qū)間（—∞，+∞）上單調(diào)遞增D．當(dāng)時，【答案】BCD【分析】計算可判斷A；驗證可判斷B；求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)可判斷C，作差驗證可判斷D.【詳解】選項A，由于，故不是奇函數(shù)，錯誤；選項B，故f(x)圖象關(guān)于（—1，—1）對稱，正確；選項C，恒成立，故f(x)在區(qū)間（—∞，+∞）上單調(diào)遞增，正確；選項D，由于，，故，又，故，正確.故選：BCD 三、填空題13．已知集合，則 __________．【答案】【分析】解方程組，即可得.【詳解】聯(lián)立，解得或，故.故答案為：.14．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則不等式的解集為___________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及符號法則即可解出．【詳解】因為函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，所以，且在上單調(diào)遞增．因此，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的解集為．故答案為：．15．若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是___________【答案】【分析】分段函數(shù)在R為增函數(shù)，各段分別為增函數(shù)，再滿足斷點處為增函數(shù)即可得出答案.【詳解】由題意得：故答案為：16．已知不等式的解集，若對不等式成立，則實數(shù)的最大值為______________．【答案】5【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集求參數(shù)，代入所求不等式，利用二次函數(shù)根的分布列不等式即可得實數(shù)的最大值.【詳解】解：不等式的解集，則方程的兩根為，且，所以，解得，所以不等式為，對不等式恒成立，則①，解得，或②，無解.綜上，，所以實數(shù)的最大值為.故答案為：5. 四、解答題17．已知全集，集合，集合，集合．(1)寫出集合C的所有子集：(2)若，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）求出集合，再根據(jù)子集的定義即可得解；（2）分和兩種情況討論，列出不等式，從而可得出答案.【詳解】（1）解：，所以集合的子集有；（2）解：或，則，因為，當(dāng)，即時，，符合要求，當(dāng)時，則，所以，解得，綜上所述實數(shù)m的取值范圍為或.18．當(dāng)時，函數(shù)滿足(1)求時的解析式(2)若為上的奇函數(shù)，求的值并作出的圖象．【答案】(1)(2)；的圖象見解析 【分析】（1）令反解出，分類討論和，即可求出的解析式.（2）由的奇偶性求出，由（1）中的解析式結(jié)合奇偶性畫出的圖象．【詳解】（1）當(dāng)時，，令，所以，所以，當(dāng)時，，令，所以，所以，所以，（2）因為為上的奇函數(shù)，所以，.所以.的圖象如下圖所示，19．已知關(guān)于的函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象過和兩點．(1)求的解析式：(2)設(shè)，若在上的最大值為，求的值．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）依題意可得，即可求出的值，再根據(jù)函數(shù)過點和，代入得到關(guān)于、的方程，解得即可；（2）首先求出的解析式，即可得到其對稱軸，分和兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的最大值，即可得到方程，解得即可.【詳解】（1）解：因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即恒成立，即恒成立，所以，則，又函數(shù)過和兩點，所以，解得，所以.（2）解：由（1）可得，函數(shù)開口向上，對稱軸為，①當(dāng)即時，解得，符合題意；②當(dāng)即時，解得，符合題意；綜上可得或.20．有一個農(nóng)場計劃用鐵網(wǎng)柵欄建設(shè)一個矩形養(yǎng)殖棚，如圖，養(yǎng)殖棚的后面是現(xiàn)成的土墻，其他三面用鐵網(wǎng)柵欄，側(cè)面長度為米．(1)若鐵網(wǎng)柵欄長共米且養(yǎng)殖棚內(nèi)部兩側(cè)和前面都要留出寬米的投喂通道．①求養(yǎng)植棚的有效養(yǎng)殖面積（平方米）與（米）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求有效面積為（平方米）時的值；②若后面現(xiàn)成的土墻足夠長．求怎樣設(shè)計，才能使有效養(yǎng)殖面積最大．(2)若要使建設(shè)的養(yǎng)植棚面積為平方米，鐵網(wǎng)柵欄建設(shè)費用為元/米，那么，當(dāng)為何值時，鐵網(wǎng)柵欄的總建設(shè)費用最小，并求出的最小值．【答案】(1)①答案見解析；②當(dāng)垂直與墻的一邊邊長為米時，有效養(yǎng)殖面積最大.(2)當(dāng)米時，鐵網(wǎng)柵欄的總建設(shè)費用最小，并求出的最小值為元. 【分析】（1）①利用圖形結(jié)合矩形的面積公式可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合實際情況求出的取值范圍，然后解方程，可得出的值；②利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值，求出對應(yīng)的值，即可得出結(jié)論；（2）求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用基本不等式求出的最小值及其對應(yīng)的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）①由圖可知，，由，解得，故養(yǎng)植棚的有效養(yǎng)殖面積（平方米）與（米）之間的函數(shù)關(guān)系式為，其中，由，可得，解得或；②當(dāng)時，取最大值，即（平方米），即當(dāng)垂直與墻的一邊邊長為米時，有效養(yǎng)殖面積最大.（2）由題意可得（元），當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故當(dāng)米時，鐵網(wǎng)柵欄的總建設(shè)費用最小，并求出的最小值為元.21．已知函數(shù)f(x)對任意，總有成立，且對任意實數(shù)，總有．(1)求，并分析判斷f(x)在R上的單調(diào)性；(2)若，不等式總有解，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)，f(x)在R上單調(diào)遞增；(2). 【分析】（1）根據(jù)題意令求，令結(jié)合單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性；（2）令結(jié)合奇偶性的定義可證f(x)在R上為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)和單調(diào)性整理可得當(dāng)成立，根據(jù)能成立問題結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】（1）∵， 令，則，可得，函數(shù)在R上遞增，證明如下：令，且，則，即，∵，即，則，∴，即，故f(x)在R上單調(diào)遞增.（2）∵，令，則，即，∴故f(x)在R上為奇函數(shù)，∵，則，又∵f(x)在R上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴，故實數(shù)a的取值范圍為.22．已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)證明：；(2)證明：；(3)設(shè)，求S的最大值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3) 【分析】（1）由題意可得，化簡即可得證；（2）根據(jù)韋達(dá)定理可得，再結(jié)合即可得證；（3）利用韋達(dá)定理可得，化簡整理，再結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】（1）證明：因為關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，則，所以；（2）證明：由題意得，因為，所以，因為，所以，所以；（3）解：由題意，則，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以S的最大值為. 

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