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2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）
數(shù) 學(xué)

本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共4頁，選擇題部分1至2頁；非選擇題部分3至4頁。滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。
考生注意：
1．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上。
2．答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效。
參考公式：
如果事件A，B互斥，那么
如果事件A，B相互獨(dú)立，那么
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率
臺(tái)體的體積公式
其中分別表示臺(tái)體的上、下底面積，表示臺(tái)體的高
柱體的體積公式
其中表示柱體的底面積，表示柱體的高
錐體的體積公式
其中表示錐體的底面積，表示錐體的高
球的表面積公式

球的體積公式

其中表示球的半徑

選擇題部分（共40分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意結(jié)合交集的定義可得結(jié)果.
【詳解】由交集的定義結(jié)合題意可得：.
故選：D.
2. 已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】首先計(jì)算左側(cè)的結(jié)果，然后結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充分必要條件即可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】，
利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：.
故選：C.
3. 已知非零向量，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.
【詳解】如圖所示，,當(dāng)時(shí)，與垂直，，所以成立，此時(shí)，
∴不是的充分條件，
當(dāng)時(shí)，，∴,∴成立，
∴是的必要條件，
綜上，“”是“”的必要不充分條件

故選：B.
4. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）

A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，根據(jù)棱柱的體積公式可求其體積.
【詳解】幾何體為如圖所示的四棱柱，其高為1，底面為等腰梯形，
該等腰梯形的上底為，下底為，腰長為1，故梯形的高為，
故，
故選：A.

5. 若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】畫出滿足條件的可行域，目標(biāo)函數(shù)化為，求出過可行域點(diǎn)，且斜率為的直線在軸上截距的最大值即可.
【詳解】畫出滿足約束條件的可行域，
如下圖所示：

目標(biāo)函數(shù)化為，
由，解得，設(shè)，
當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，
取得最小值為.
故選：B
6. 如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（ ）

A. 直線與直線垂直，直線平面
B. 直線與直線平行，直線平面
C. 直線與直線相交，直線平面
D. 直線與直線異面，直線平面
【答案】A
【解析】
【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面，即可得出結(jié)論.
【詳解】
連，在正方體中，
M是的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，
又N是的中點(diǎn)，所以，
平面平面，
所以平面.
因?yàn)椴淮怪?，所以不垂?br /> 則不垂直平面，所以選項(xiàng)B,D不正確；
在正方體中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直線是異面直線，
所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)A正確.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個(gè)面對(duì)角線互相垂直，正方體的對(duì)角線與面的對(duì)角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.
7. 已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.
【詳解】對(duì)于A，，該函數(shù)非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；
對(duì)于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；
對(duì)于C，，則，
當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，排除C.
故選：D.
8. 已知是互不相同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個(gè)代數(shù)式不可能均大于，再結(jié)合特例可得三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值.
【詳解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，
故選：C.
法2：不妨設(shè)，則，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，
故選：C.
【點(diǎn)睛】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進(jìn)行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.
9. 已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是（ ）
A. 直線和圓 B. 直線和橢圓 C. 直線和雙曲線 D. 直線和拋物線
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方程.
【詳解】由題意得，即，
對(duì)其進(jìn)行整理變形：
，
，
，
，
所以或，
其中為雙曲線，為直線.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對(duì)所得的等式進(jìn)行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，屬于中等題.
10. 已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．
【詳解】因?yàn)?，所以，?br /> 由
，即
根據(jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，
由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由裂項(xiàng)求和法得：
所以，即．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項(xiàng)相消法求得．
非選擇題部分（共110分）
二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。
11. 我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則___________.

【答案】25
【解析】
【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計(jì)算其比值即可.
【詳解】由題意可得，大正方形的邊長為：，
則其面積為：，
小正方形的面積：，
從而.
故答案為：25.
12. 已知，函數(shù)若，則___________.
【答案】2
【解析】
【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.
【詳解】，故，
故答案為：2.
13. 已知多項(xiàng)式，則___________，___________.
【答案】 (1). ; (2). .
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式定理，分別求出的展開式，即可得出結(jié)論.
【詳解】，
，
所以，
，
所以.
故答案為：.
14. 在中，，M是的中點(diǎn)，，則___________，___________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得.
【詳解】由題意作出圖形，如圖，

在中，由余弦定理得，
即，解得（負(fù)值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案為：；.
15. 袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則___________，___________.
【答案】 (1). 1 (2).
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根據(jù)隨機(jī)變量的分布列即可求出．
【詳解】，所以，
, 所以, 則．
由于
．
故答案為：1；．
16. 已知橢圓，焦點(diǎn)，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，且軸，則該直線的斜率是___________，橢圓的離心率是___________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】不妨假設(shè)，根據(jù)圖形可知，，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出；再根據(jù)橢圓的定義求出，即可求得離心率．
【詳解】
如圖所示：不妨假設(shè)，設(shè)切點(diǎn)為，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案為：；．
17. 已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，再結(jié)合柯西不等式即可得解.
【詳解】由題意，設(shè)，
則，即，
又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
解決本題的關(guān)鍵是由平面向量的知識(shí)轉(zhuǎn)化出之間的等量關(guān)系，再結(jié)合柯西不等式變形即可求得最小值.
三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
18. 設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）由輔助角公式得，
則，
所以該函數(shù)的最小正周期;
（2）由題意，

，
由可得，
所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最大值.
19. 如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.

（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；
（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．
【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
又為中點(diǎn)，所以.
由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量
從而直線與平面所成角的正弦值為．

【點(diǎn)睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，
題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出．
20. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；
（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求出，對(duì)任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，由①，
得②，①②得
，
又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得

，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時(shí)不等式恒成立；
時(shí)，，得；
時(shí)，，得；
所以.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時(shí)，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對(duì)討論，還要注意時(shí)，分離參數(shù)不等式要變號(hào).
21. 如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，

（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）求出的值后可求拋物線的方程.
（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程后可得，求出直線的方程，聯(lián)立各直線方程可求出，根據(jù)題設(shè)條件可得，從而可求的范圍.
【詳解】（1）因?yàn)?，故，故拋物線的方程為：.
（2）設(shè)，，，
所以直線，由題設(shè)可得且.
由可得，故，
因?yàn)椋?，?
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，


故，
令，則且，
故，
故即，
解得或或.
故直線在軸上的截距的范圍為或或.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與拋物線中的位置關(guān)系中的最值問題，往往需要根據(jù)問題的特征合理假設(shè)直線方程的形式，從而便于代數(shù)量的計(jì)算，對(duì)于構(gòu)建出的函數(shù)關(guān)系式，注意利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍問題.
22. 設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿足.
(注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
【答案】(1)時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
(2)；
(3)證明見解析.
【解析】
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
(2)將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)結(jié)合(2)的結(jié)論將原問題進(jìn)行等價(jià)變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.
【詳解】(1)，
①若，則，所以在上單調(diào)遞增；
②若，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
綜上可得，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
(2)有2個(gè)不同零點(diǎn)有2個(gè)不同解有2個(gè)不同的解，
令，則，
記，
記，
又，所以時(shí)，時(shí)，，
則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，
.
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(3)有2個(gè)不同零點(diǎn)，則，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).
由(2)可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為，較小者為，
，
注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，又由知，
，
要證，只需，
且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以只需證，
只需證，
只需證，
，只需證在時(shí)為正，
由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，
又，故在時(shí)為正，
從而題中的不等式得證.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，從高考來看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

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