2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)2-2三角恒等變換與解三角形學(xué)案含答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第二講　三角恒等變換與解三角形——小題備考微專題1　三角函數(shù)求值?？汲Ｓ媒Y(jié)論1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin (α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos (α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ.(3)tan (α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝.3．常用公式(1)降冪擴角公式：cos2α＝，sin2α＝.(2)升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)公式變形：tanα±tanβ＝tan (α±β)(1?tanα·tanβ)．(4)輔助角公式：asinx＋bcosx＝sin (x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝. 保分題1.[2022·河北張家口一模]已知cosα＝，0<α<，則sin (α＋)＝(　　)A．B．C．－D．－2．[2022·湖北武漢二模]設(shè)sin32°＝k，則tan16°＋＝(　　)A．B．C．2kD．k3．[2022·山東煙臺一模]若sinα＝cos (α＋)，則tan2α的值為________．提分題例2(1)[2022·山東淄博三模]已知α∈(－，0)，且cos2α＝sin (α＋)，則sin2α＝(　　)A．－B．C．－1D．1(2)[2022·河北石家莊一模]已知角α∈(0，)，tan＝，則α＝________．聽課筆記：技法領(lǐng)悟1．解決給角求值問題的關(guān)鍵是兩種變換：一是角的變換，注意各角之間是否具有和差關(guān)系、互補(余)關(guān)系、倍半關(guān)系，從而選擇相應(yīng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)；二是結(jié)構(gòu)變換，在熟悉各種公式的結(jié)構(gòu)特點、符號特征的基礎(chǔ)上，結(jié)合所求式子的特點合理地進(jìn)行變形．2．給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異，一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外某些函數(shù)式的值，以備應(yīng)用．同時也要注意變換待求式，便于將已知求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的．3．實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．鞏固訓(xùn)練11.[2022·遼寧撫順一模]已知sin (－α)＝，則cos (2α－)的值是(　　)A．－B．C．－D．2．[2022·湖南師大附中三模]已知sin (α－)＝(0<α<π)，則sinα＋cosα＝________．微專題2　解三角形　?？汲Ｓ媒Y(jié)論1．正弦定理及其變形在△ABC中，＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理及其變形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.3．三角形面積公式S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB．4．三角形中的有關(guān)結(jié)論(1)sinA＝sin (B＋C)，cosA＝－cos (B＋C)；(2)A>B?sinA>sinB，cosA<cosB．保分題1.[2022·廣東廣州一模]在△ABC中，若A＝，B＝，a＝3，則b＝(　　)A．4B．2C．D．2．[2022·北京通州一模]在△ABC中，已知cosA＝，a＝2，b＝3，則c＝(　　)A．1B．C．2D．33．在△ABC中，sin2A＝sinBsinC，若∠A＝，則∠B的大小是(　　)A．B．C．D．提分題例2(1)[2022·山東臨沂二模]我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積S＝.根據(jù)此公式，若acosB＋(b－c)cosA＝0，且b2＋c2－a2＝，則△ABC的面積為(　　)A．B．C．D．(2)[2022·湖南衡陽二模]設(shè)a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，已知(b＋c)sin (A＋C)＝(a＋c)(sinA－sinC)，設(shè)D是BC邊的中點，且△ABC的面積為1，則·()等于(　　)A．2B．2C．－2D．－2聽課筆記：技法領(lǐng)悟1．正、余弦定理的適用條件(1)“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應(yīng)采用正弦定理．(2)“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應(yīng)采用余弦定理．2．三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化．鞏固訓(xùn)練21.(多選)已知銳角△ABC，下列說法正確的是(　　)A．sinA＋sinB＋sinC<cosA＋cosB＋cosCB．tanA＋tanB＋tanC>0C．sinA＝，tanB＝3，則A<BD．cosA＋cosB<2．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a＝，b＋c＝3，向量m＝(2cos2A＋3，2)，n＝(2cosA，1)，且m∥n.則△ABC的面積是________. 第二講　三角恒等變換與解三角形微專題1　三角函數(shù)求值保分題1．解析：由cos α＝，0<α<，得sin α＝，所以sin (α＋)＝sin α＋cos α＝＝，故選B.答案：B2．解析：tan 16°＋＝＝＝＝.故選A.答案：A3．解析：由sin α＝cos (α＋)，可得sin α＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α，則tan α＝，tan 2α＝＝＝.答案：提分題[例1]　解析：(1)∵cos2α＝sin (α＋)＝(sin α＋cos α)，∴cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)，∴(cos α＋sin α)(cos α－sin α－)＝0，∴cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，由cos α＋sin α＝0平方可得1＋sin 2α＝0，即sin 2α＝－1，由cos α－sin α＝平方可得1－sin 2α＝，即sin 2α＝，因為α∈(－，0)，所以2α∈(－π，0)，sin 2α<0，綜上，sin 2α＝－1.(2)∵tan ＝，∴＝，∴sin (cos α＋cos )＝cos (sin α－sin )，∴sin cos α＋sin cos ＝cos sin α－cos sin ，∴sin cos ＋cos sin ＝cos sin α－sin cos α，∴sin ＝sin (α－)，∵α∈(0，)，∴α－∈(－)∴＝α－，則α＝＝.答案：(1)C　(2)[鞏固訓(xùn)練1]1．解析：cos (2α－)＝cos (－2α)＝cos [2(－α)]＝1－2sin2(－α)＝1－2×()2＝.答案：B2．解析：由題意得α－∈(－)，而sin(α－)＝<，故α－∈(0，)，cos (α－)＝，故sin α＋cos α＝sin (α＋)＝cos (α－)＝.答案：微專題2　解三角形保分題1．解析：在△ABC中，若A＝，B＝，a＝3，由正弦定理＝得：b＝＝＝＝2，所以b＝2.答案：B2．解析：因為在△ABC中，cos A＝，a＝2，b＝3，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，12＝9＋c2－6×c，得c2－2c－3＝0，解得c＝3，或c＝－1(舍去)．答案：D3．解析：因為sin2A＝sinB sin C，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，即(b－c)2＝0，得b＝c，所以△ABC是等邊三角形，∠B＝.答案：C提分題[例2]　解析：(1)由正弦定理邊角互化可知a cos B＋(b－c)cos A＝0化簡為sin A cos B＋(sin B－sin C)cos A＝0，sin A cos B＋sin B cos A＝sin C cos A即sin (A＋B)＝sin C＝sin C cos A∵sin C≠0，∴cos A＝，cos A＝＝?＝，解得：bc＝1，根據(jù)面積公式可知S＝＝＝.(2)∵(b＋c)sin (A＋C)＝(a＋c)(sin A－sin C)，∴由正弦定理可得：(b＋c)b＝(a＋c)(a－c)，整理可得：b2＋c2－a2＝－bc，∴由余弦定理可得：cos A＝－，∴由A∈(0，π)，可得：A＝，又ABC的面積為1，即bc sin ＝1，∴bc＝4，又·()＝()·()＝2－2＝＝＝－＝－·＝－bc cos A＝2.答案：(1)A　(2)B[鞏固訓(xùn)練2]1．解析：對于A，取A＝B＝C＝，則sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C，可知A錯誤；對于B，由于△ABC是銳角三角形，故tan A>0，tan B>0，tan C>0，故tan A＋tan B＋tan C>0，故B正確；對于C，銳角△ABC中，由sin A＝知cos A＝，故tan A＝，則tan A<tan B，即C正確；對于D，△ABC是銳角三角形，故A＋B>，所以B>－A，故cos A＋cos B<cos A＋cos (－A)＝cos A＋sin A＝sin (A＋)≤，即cos A＋cos B<，即D正確．答案：BCD2．解析：因為m＝(2cos 2A＋3，2)，n＝(2cos A，1)，m∥n；所以4cos A＝2cos 2A＋3＝4cos2A＋1，解得cosA＝；cos A＝＝＝，即＝，解得bc＝2；又cos A＝，所以sin A＝，所以△ABC的面積為S＝bc sin A＝.答案：