七　解析幾何『必記知識』1．直線方程的五種形式(1)點斜式：y－y1＝k(x－x1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)．(3)兩點式：＝(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐標軸和平行于坐標軸的直線)．(4)截距式：＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不包括坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)．2．直線的兩種位置關(guān)系當不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時：(1)兩直線平行l1∥l2?k1＝k2.(2)兩直線垂直l1⊥l2?k1·k2＝－1.3．三種距離公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點間的距離|AB|＝.(2)點到直線的距離d＝(其中點P(x0，y0)，直線方程為Ax＋By＋C＝0)．(3)兩平行線間的距離d＝(其中兩平行線方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)．4．圓的方程的兩種形式(1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．5．直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法．(2)圓與圓的位置關(guān)系：相交、內(nèi)切、外切、外離、內(nèi)含，代數(shù)判斷法與幾何判斷法．6．橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程＝1(a>b>0)＝1(a>b>0)圖形幾何性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對稱性對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點焦點F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)頂點A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)軸線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長軸和短軸；長軸長為2a，短軸長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率焦距與長軸長的比值：e＝＝∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2 7.雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程＝1(a>0，b＞0)＝1(a>0，b＞0)圖形幾何性質(zhì)范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱性對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點焦點F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實軸和虛軸；實軸長為2a，虛軸長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率焦距與實軸長的比值：e＝＝∈(1，＋∞)漸近線y＝±xy＝±xa，b， c的關(guān)系a2＝c2－b2  8.拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形幾何性質(zhì)對稱軸x軸y軸頂點O(0，0)焦點FFFF準線方程x＝－x＝y＝－y＝范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R離心率e＝19.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1)若雙曲線的方程為＝1(a>0，b>0)，則漸近線的方程為＝0，即y＝±x.(2)若漸近線的方程為y＝±x(a>0，b>0)，即±＝0，則雙曲線的方程可設(shè)為＝λ(λ≠0)．(3)若所求雙曲線與雙曲線＝1(a>0，b>0)有公共漸近線，其方程可設(shè)為＝λ(λ>0，焦點在x軸上；λ<0，焦點在y軸上)．10．拋物線焦點弦的相關(guān)結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α為直線AB的傾斜角，則(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝.(3)＝.(4)以弦AB為直徑的圓與準線相切．  【易錯剖析】易錯點1　遺漏方程表示圓的充要條件【突破點】　二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F>0，在此條件下，再根據(jù)其他條件求解．易錯點2　解決截距問題忽略“0”的情形【突破點】　解決直線在兩坐標軸上的截距或截距具有某種倍數(shù)關(guān)系的問題時，需注意兩點：(1)截距不是距離，直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.(2)明確直線方程的截距式不能表示過原點或與坐標軸垂直的直線．因此解題時應(yīng)該從截距是否為0進行分類討論．易錯點3　忽視斜率不存在的情況【突破點】　(1)在解決兩直線平行的相關(guān)問題時，若利用l1∥l2?k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情況，就會導致漏解．(2)對于解決兩直線垂直的相關(guān)問題時，若利用l1⊥l2?k1·k2＝－1求解，要注意其前提條件是k1與k2必須同時存在．易錯點4　忽略直線與圓錐曲線相交問題中的判別式【突破點】　凡是涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，一定不能忘記對判別式的討論．易錯點5　忽視雙曲線定義中的條件【突破點】　　雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a<|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支．易錯點6　忽視圓錐曲線定義中的焦點位置【突破點】　橢圓的焦點位置由分母的大小確定，雙曲線則是根據(jù)二次項系數(shù)的符號來確定的．解決此類問題時，一定要將方程化為曲線的標準形式．  【易錯快攻】易錯快攻一　遺漏直線的斜率不存在的情況[典例2]　[2022·全國乙卷]已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A(0，－2)，B(，－1)兩點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點P(1，－2)的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足＝.證明：直線HN過定點．聽課筆記：      易錯快攻二　忽視雙曲線定義中的限制條件[典例2]　點P到曲線E上所有點的距離的最小值稱為點P到曲線E的距離，那么平面內(nèi)到定圓C的距離與到圓C外的定點A的距離相等的點P的軌跡是(　　)A．射線   B．橢圓C．雙曲線的一支 D．雙曲線聽課筆記：                        七　解析幾何[典例1]　解析：(1)設(shè)橢圓E的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．將點A(0，－2)，B(，－1)的坐標代入，得解得所以橢圓E的方程為＝1.(2)證明：方法一　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．由題意，知直線MN與y軸不垂直，設(shè)其方程為x－1＝t(y＋2)．聯(lián)立得方程組消去x并整理，得(4t2＋3)y2＋(16t2＋8t)y＋16t2＋16t－8＝0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝.設(shè)T(x0，y1)．由A，B，T三點共線，得＝，得x0＝y1＋3.設(shè)H(x′，y′)．由＝，得(y1＋3－x1，0)＝(x′－y1－3，y′－y1)，所以x′＝3y1＋6－x1，y′＝y1，所以直線HN的斜率k＝＝＝，所以直線HN的方程為y－y2＝·(x－x2)．令x＝0，得y＝·(－x2)＋y2＝＋y2＝＝＝－2.所以直線NH過定點(0，－2)．方法二　由A(0，－2)，B(，－1)可得直線AB的方程為y＝x－2.a．若過點P(1，－2)的直線的斜率不存在，則其直線方程為x＝1.將直線方程x＝1代入＝1，可得N(1，)，M(1，－)．將y＝－代入y＝x－2，可得T(3－，－)．由＝，得H(5－2，－)．此時直線HN的方程為y＝(2＋)(x－1)＋，則直線HN過定點(0，－2)．b．若過點P(1，－2)的直線的斜率存在，設(shè)此直線方程為kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2)．聯(lián)立得方程組消去y并整理，得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0.所以則且x1y2＋x2y1＝.①聯(lián)立得方程組，可得T(＋3，y1)．由＝，得H(3y1＋6－x1，y1)．則直線HN的方程為y－y2＝(x－x2)．將點(0，－2)的坐標代入并整理，得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0.②將①代入②，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，顯然成立．綜上可得，直線HN過定點(0，－2)．[典例2]　解析：設(shè)圓C的半徑為r，依據(jù)題意可知，|PC|＝|PA|＋r，即|PC|－|PA|＝r，且r<|AC|，故所求點P的軌跡為以A，C為焦點的雙曲線靠近A點的一支，故選C.答案：C 

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