?解密02 三角恒等變換與解三角形

核心考點(diǎn)
讀高考設(shè)問知考法
命題解讀
三角恒等變換
【2018新課標(biāo)2理10文11】已知，，則( )
1.三角函數(shù)的化簡與求值是高考的命題熱點(diǎn)，其中關(guān)鍵是利用兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等進(jìn)行恒等變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心；
2.正弦定理與余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查邊、角、面積的計(jì)算及有關(guān)的范圍問題.
【2020新課標(biāo)3文5】已知，則（ ）
【2018新課標(biāo)2理15】已知，，則__________．
正弦定理、余弦定理
【2020新課標(biāo)3文11】在中，，，，則（ ）
【2020新課標(biāo)3理7】在中，，，，則（ ）
【2019新課標(biāo)1文11】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=( )
【2020新課標(biāo)1文18】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）若，，求的面積；
（2）若，求．
【2020新課標(biāo)2理17】中，．
（1）求；（2）若，求周長的最大值．
【2020新高考全國17】在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________?
解三角形與三角函數(shù)的綜合問題
【2018天津卷17】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知bsin A＝acos. (1)求角B的大??；(2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.

核心考點(diǎn)一 三角恒等變換
三角函數(shù)公式
(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β；
tan(α±β)＝.
(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)輔助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.

1.【2018新課標(biāo)2理10文11】已知，，則( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，．
，又，，又，，故選B．
2.【2018新課標(biāo)2理15】已知，，則__________．
【答案】
【解析】，，，，，
因此．

1.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均為銳角，則β等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】　因?yàn)棣?，β均為銳角，所以－A，所以b>a，所以所以CD＝.
在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD·cos C＝16＋2－2×4×cos ＝26，所以AD＝.
若選擇條件②：cos B＝.
因?yàn)閏os B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝.
因?yàn)閟in A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝，
所以結(jié)合正弦定理＝，得a＝＝2.
在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝(2)2＋()2－2×2××＝26，解得AD＝.
4.在①3c2＝16S＋3(b2－a2)，②5bcos C＋4c＝5a，兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線處，然后解答問題.
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，已知________.
(1)求tan B的值；(2)若S＝42，a＝10，求b的值.
(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)
【解析】選擇條件①：(1)由題意得8acsin B＝3(a2＋c2－b2)，
即4sin B＝3·，整理可得3cos B－4sin B＝0.
又sin B>0，所以cos B>0，所以tan B＝＝.
(2)由tan B＝，得sin B＝.
又S＝42，a＝10，
所以S＝acsin B＝×10c×＝42，解得c＝14.
將S＝42，a＝10，c＝14代入3c2＝16S＋3(b2－a2)，
得3×142＝16×42＋3(b2－102)，解得b＝6.
選擇條件②：(1)已知5bcos C＋4c＝5a，
由正弦定理，得5sin Bcos C＋4sin C＝5sin A，
即5sin Bcos C＋4sin C＝5sin(B＋C)，
即sin C(4－5cos B)＝0.
在△ABC中，因?yàn)閟in C≠0，所以cos B＝.
所以sin B＝＝，所以tan B＝.
(2)由S＝acsin B＝×10c×＝42，解得c＝14.
又a＝10，所以b2＝100＋196－2×140×＝72，所以b＝6.
核心考點(diǎn)三 解三角形與三角函數(shù)的綜合問題

1.【2018天津卷】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大?。?br /> (2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B.
又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，
即sin B＝cos，所以tan B＝.
又因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝ .
因?yàn)閍

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