以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點.空間向量是將空間幾何問題坐標化的工具，利用空間向量求平面與平面的夾角或線面角是高考熱點，通常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.
(1)(2021·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為
方法一　如圖，連接C1P，因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角.設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，
方法二　以B1為坐標原點，B1C1，B1A1，B1B所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)，設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，
設(shè)直線PB與AD1所成的角為θ，
方法三　如圖所示，連接BC1，A1B，A1P，PC1，則易知AD1∥BC1，所以直線PB與AD1所成的角等于直線PB與BC1所成的角.根據(jù)P為正方形A1B1C1D1的對角線B1D1的中點，
易知A1，P，C1三點共線，且P為A1C1的中點．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1為等邊三角形，
(2)(2022·河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)在中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分).現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為2，AA1，BB1，CC1，DD1均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為90°，則圖中異面直線AB1與CD1所成角的余弦值為
設(shè)上底面圓心為O1，下底面圓心為O，連接OO1，OC，OB，O1C1，O1B1，以O(shè)為原點，分別以O(shè)C，OB，OO1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則C(1,0,0)，A(0,2,0)，B1(0,1,2)，D1(2,0,2)，
平移線段法求異面直線所成角的步驟(1)平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角.(2)認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角或其補角.(3)計算：求該角的值(常利用解三角形).(4)取舍：由異面直線所成的角的范圍確定兩條異面直線所成的角.
(1)(2022·南寧模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為平面AA1B1B的中心，O1為平面A1B1C1D1的中心.若E為CD中點，則異面直線AE與OO1所成角的余弦值為
設(shè)正方體的棱長為2，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則A(2,0,0)，E(0,1,0)，O(2,1,1)，O1(1,1,2)，
設(shè)異面直線AE與OO1所成角為θ，
(2)(2022·廣東聯(lián)考)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，點D，E分別為AB，PC的中點，則異面直線PD，BE所成角的余弦值為
如圖，連接CD，取CD的中點F，連接EF，BF，則EF∥PD，∠BEF為異面直線PD，BE所成的角.
設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，
(2022·全國甲卷)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝(1)證明：BD⊥PA；
在四邊形ABCD中，作DE⊥AB于點E，CF⊥AB于點F，如圖.因為CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以四邊形ABCD為等腰梯形，
所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.因為PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，PD，AD?平面PAD，所以BD⊥平面PAD.又因為PA?平面PAD，所以BD⊥PA.
(2)求PD與平面PAB所成角的正弦值.
由(1)知，DA，DB，DP兩兩垂直，如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，
設(shè)平面PAB的一個法向量為n＝(x，y，z)，
(1)線面角θ與直線的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的關(guān)系是〈a，n〉＋θ＝ 所以應(yīng)用向量法求的是線面角的正弦值，而不是余弦值.(2)利用方程思想求法向量，計算易出錯，要認真細心.
　 (2022·龍巖質(zhì)檢)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，PA＝PD＝PB，BC＝DC＝ AD＝2，E為AD的中點，且PE＝4.(1)求證：PE⊥平面ABCD；
∴四邊形BCDE為平行四邊形，∴BE＝CD＝2，∵PA＝PD且E為AD的中點，∴PE⊥AD，
∴PE2＋BE2＝PB2，即PE⊥BE，又∵AD∩BE＝E，AD，BE?平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD.
以E為原點，EA為x軸，EB為y軸，EP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(－2,2,0)，P(0,0,4)，
故可取n＝(2,2,1)，
設(shè)BM＝t(t∈[0,2])，則M(－t，2,0)，而N(0,0,2)，
設(shè)直線MN與平面PAB所成的角為θ，
化簡得11t2－24t＋4＝0，
設(shè)平面α，β的法向量分別為u，v，平面α與平面β的夾角為θ，
(2022·新高考全國Ⅱ改編)如圖，PO是三棱錐P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E為PB的中點.(1)證明：OE∥平面PAC；
如圖，取AB的中點D，連接DP，DO，DE.因為AP＝PB，所以PD⊥AB.因為PO為三棱錐P－ABC的高，所以PO⊥平面ABC.因為AB?平面ABC，所以PO⊥AB.又PO，PD?平面POD，且PO∩PD＝P，所以AB⊥平面POD.因為OD?平面POD，所以AB⊥OD，又AB⊥AC，AB，OD，AC?平面ABC，所以O(shè)D∥AC.
因為OD?平面PAC，AC?平面PAC，所以O(shè)D∥平面PAC.因為D，E分別為BA，BP的中點，所以DE∥PA.因為DE?平面PAC，PA?平面PAC，所以DE∥平面PAC.又OD，DE?平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC.又OE?平面ODE，所以O(shè)E∥平面PAC.
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求平面CAE與平面AEB夾角的正弦值.
連接OA，因為PO⊥平面ABC，OA，OB?平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，
易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，
又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，
以A為坐標原點，AB，AC所在直線分別為x，y軸，以過A且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
設(shè)平面CAE的法向量為n＝(x，y，z)，
設(shè)平面AEB的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
令z1＝2，則m＝(0，－3,2)，設(shè)平面CAE與平面AEB夾角為θ，
　 (2022·邯鄲模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA＝AB＝AD＝2，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC＝ ，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點.(1)證明：平面AEF⊥平面PAD.
連接AC(圖略).因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AE，
所以△ABC為等邊三角形.又因為E為BC的中點，所以AE⊥BC，又因為AD∥BC，所以AE⊥AD，因為PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以AE⊥平面PAD，又AE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD.
(2)求平面AEF與平面AED夾角的余弦值.
以A為原點，AE，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
因為PA⊥平面AED，所以n＝(0,0,1)是平面AED的一個法向量.設(shè)平面AEF的一個法向量為m＝(x，y，z)，
令z＝1，得x＝0，y＝－2，即m＝(0，－2,1).設(shè)平面AEF與平面AED夾角為θ，
A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.無法判斷是否共面
2.(2022·溫州模擬)在四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1與底面垂直，上、下底面均為矩形，AB＝1，AD＝AA1＝A1B1＝2，則下列各棱中最長的是A.BB1 B.B1C1C.CC1 D.DD1
由四棱臺ABCD－A1B1C1D1可得
因為AA1⊥平面A1B1C1D1，而A1D1，A1B1?平面A1B1C1D1，故AA1⊥A1D1，AA1⊥A1B1，而A1D1⊥A1B1，故可建立如圖所示的空間直角坐標系.故A1(0,0,0)，B(0,1,2)，B1(0,2,0)，C1(－4,2,0)，C(－2,1,2)，D(－2,0,2)，D1(－4,0,0)，
3.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AD，E為側(cè)棱DD1上一點，若直線BD1∥平面AEC，則二面角E－AC－B的正切值為
如圖，連接BD交AC于點F，連接EF，B1D1，由題意可知，BD1∥EF，因為F為BD的中點，所以E為DD1的中點，又AC⊥平面BDD1B1，BD，EF?平面BDD1B1，所以EF⊥AC，BD⊥AC，則∠EFD為二面角E－AC－D的平面角，
又二面角E－AC－B與二面角E－AC－D互補，
4.(2022·菏澤檢測)已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱長為3，A1在底面ABC上的射影點D為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成角的大小為
如圖，連接A1D，AD，A1B，由CC1∥AA1，知∠A1AB為異面直線AB與CC1所成的角，因為三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的等邊三角形，且側(cè)棱長為3，A1在底面ABC上的射影點D為BC的中點，
5.(2022·全國甲卷)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則A.AB＝2ADB.AB與平面AB1C1D所成的角為30°C.AC＝CB1D.B1D與平面BB1C1C所成的角為45°
如圖，連接BD，易知∠BDB1是直線B1D與平面ABCD所成的角，所以在Rt△BDB1中，∠BDB1＝30°，設(shè)BB1＝1，則B1D＝2BB1＝2，
易知∠AB1D是直線B1D與平面AA1B1B所成的角，所以在Rt△ADB1中，∠AB1D＝30°.
易知∠BAB1是直線AB與平面AB1C1D所成的角，
所以∠BAB1≠30°，所以B項錯誤；
所以∠DB1C＝45°，所以D項正確.
6.向量的運算包含點乘和叉乘，其中點乘就是大家熟悉的向量的數(shù)量積.現(xiàn)定義向量的叉乘：給定兩個不共線的空間向量a與b，規(guī)定：①a×b為同時與a，b垂直的向量；②a，b，a×b三個向量構(gòu)成右手直角坐標系(如圖1)；③|a×b|＝|a||b|〈a，b〉；④若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
如圖，建立空間直角坐標系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,3)，C1(0,2,3)，
二、多項選擇題7.(2022·山東聯(lián)考)若{a，b，c}構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是A.a＋b＋c，a－b，2b＋cB.a－b，a－c，b－cC.a＋2b，a－2b，a＋cD.a－2b，6b－3a，－c
選項A，因為a＋b＋c＝(a－b)＋(2b＋c)，所以a＋b＋c，a－b，2b＋c共面；選項B，因為a－b＝(a－c)－(b－c)，所以a－b，a－c，b－c共面；選項C，a＋2b，a－2b在a，b構(gòu)成的平面內(nèi)且不共線，a＋c不在這個平面內(nèi)，不符合題意；選項D，因為a－2b，6b－3a共線，所以a－2b，6b－3a，－c共面.
8.(2022·廣州模擬)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝4，則下列命題為真命題的是
對于A，如圖，直線AC1與直線CD所成的角，即為直線AC1與直線AB所成的角即∠BAC1，
對于B，構(gòu)建如圖所示的空間直角坐標系，過A的直線l與長方體所有棱所成的角相等，與平面BCC1B1交于M(x，2，z)且x，z>0，
對于D，如圖，過A的平面β與長方體所有面所成的二面角都為μ，只需平面β與以4為棱長的正方體中相鄰的三條棱頂點所在平面平行，如平面EDF，
三、填空題9.在空間直角坐標系中，設(shè)點M是點N(2，－3,5)關(guān)于坐標平面Oxy的對稱點，點P(1,2,3)關(guān)于x軸的對稱點為Q，則線段MQ的長度等于______.
因為點M是點N(2，－3,5)關(guān)于坐標平面Oxy的對稱點，所以M(2，－3，－5)，又因為點P(1,2,3)關(guān)于x軸的對稱點為Q，所以Q(1，－2，－3).
10.如圖，矩形ABCD是圓柱O1O2的軸截面，AB＝2，AD＝3，點E在上底面圓周上，且 ，則異面直線AE與O2C所成角的余弦值為_____.
以O(shè)2為坐標原點，O2B，O2O1所在直線分別為y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
11.如圖，在二面角的棱上有兩個點A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，若AB＝1，AC＝2，BD＝3，CD＝ ，則這個二面角的大小為______.
設(shè)這個二面角的大小為α，
∴這個二面角的大小為60°.
建立如圖所示的空間直角坐標系，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，由正六邊形的性質(zhì)可得，A(0,0,0)，B(1,0,0)，
四、解答題13.(2022·莆田質(zhì)檢)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，F(xiàn)為PD的中點.(1)證明：PB∥平面AFC；
連接BD交AC于點O，因為ABCD是菱形，所以O(shè)為BD的中點.連接OF.因為F為PD的中點，所以O(shè)F為△PBD的中位線，所以O(shè)F∥PB.因為OF?平面AFC，PB?平面AFC，所以PB∥平面AFC.
(2)請從下面三個條件中任選一個，補充在橫線上，并作答.
若PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，且________，求平面ACF與平面ACD夾角的余弦值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
在菱形ABCD中， AC⊥BD.因為AB＝AP＝2，
設(shè)n＝(x，y，z)為平面ACF的一個法向量，
顯然m＝(0,0,1)為平面ACD的一個法向量.設(shè)平面ACF與平面ACD的夾角為θ，
14.(2022·湖北聯(lián)考)如圖，已知在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝1，BC＝1，CD＝2，點A在平面PCD內(nèi)的射影恰好是△PCD的重心G.(1)求證：平面PAB⊥平面PBC；
因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，因為∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又因為BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.
(2)求直線DG與平面PBC所成角的正弦值.
取CD的中點E，連接AE，因為∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，所以四邊形ABCE是矩形，所以AB⊥AE，因為PA⊥平面ABCD，AB，AE?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AE，所以AB，AE，AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，E(0,1,0)，D(－1,1,0)，設(shè)P(0,0，t)(t>0)，
因為點A在平面PCD內(nèi)的射影恰好是△PCD的重心G，所以AG⊥平面PCD，又DG?平面PCD，所以DG⊥AG，
設(shè)m＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，
設(shè)直線DG與平面PBC所成角為θ，

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