2022-2023學年重慶市第七中學校高二上學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．直線的傾斜角為（    ）A．30° B．60° C．90° D．不存在【答案】C【分析】根據(jù)斜率和傾斜角的定義，直接可得答案.【詳解】化簡得，，明顯可見，該直線斜率不存在，傾斜角為90°故選：C2．若橢圓的焦點在y軸上，則實數(shù)k的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，從而可求出實數(shù)k的取值范圍.【詳解】因為橢圓的焦點在y軸上，所以，解得，故選：D3．若空間四點???共面且則的值為（    ）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】D【分析】化簡可得，由四點共面可知系數(shù)和，計算即可得解.【詳解】依題意，由四點共面,則系數(shù)和，則.故選：D4．直線關(guān)于點對稱的直線方程為（    ）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【分析】首先設(shè)對稱直線上任意一點，得到關(guān)于對稱點為，再代入直線即可得到答案。【詳解】設(shè)直線關(guān)于點對稱的直線上任意一點，則關(guān)于對稱點為，又因為在上，所以，即。故選：B5．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值（，且）的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡的圓心坐標為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題設(shè)，應(yīng)用兩點距離公式可得，整理并化為圓的標準形式，即可確定圓心.【詳解】令P(x，y)，則，兩邊平方并整理得：，∴圓心為(4，0)．故選：A．6．已知O為坐標原點，設(shè)F1，F2分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點，P為雙曲線左支上任意一點，過點F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|＝（    ）A．1 B．2C．4 D．【答案】A【分析】利用幾何關(guān)系結(jié)合雙曲線定義，以及中位線性質(zhì)可得.【詳解】如圖所示，延長F1H交PF2于點Q，由PH為∠F1PF2的平分線及PH⊥F1Q，易知，所以|PF1|＝|PQ|.根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|－|PF1|＝2，即|PF2|－|PQ|＝2，從而|QF2|＝2.在△F1QF2中，易知OH為中位線，則|OH|＝1.故選：A.7．二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，，，，則該二面角的大小為（    ）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】將向量轉(zhuǎn)化成，然后等式兩邊同時平方表示出向量的模，再根據(jù)向量的數(shù)量積求出向量與的夾角，即可得出答案．【詳解】解：由條件，知．即，，即，所以二面角的大小為.故選：B．8．已知A，B分別為橢圓C：的左?右頂點，P為橢圓C上一動點（異于A，B兩點），PA，PB與直線交于M，N兩點，與的外接圓的周長分別為，，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】計算，設(shè)直線的方程為，的方程為，計算，得到，根據(jù)正弦定理得到，利用均值不等式計算得到答案.【詳解】，設(shè)，則， 所以，易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，令得，不妨設(shè) ，則，設(shè)和外接圓的半徑分別為，由正弦定理得，，又，，當，即時等號成立.故選：A 二、多選題9．已知空間中三點，，，則（    ）A． B．C． D．A，B，C三點共線【答案】AB【詳解】易得，，，，A正確;因為，所以，B正確，D錯誤;而，C錯誤.故選: AB.10．已知曲線，則（    ）A．當時，則的焦點是，B．當時，則的漸近線方程為C．當表示雙曲線時，則的取值范圍為D．存在，使表示圓【答案】ABD【分析】通過的值或取值范圍，判斷曲線的形狀，轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】對于A，當時，曲線，則的焦點是，，所以A正確；對于B，當時，曲線，則的漸近線方程為，所以B正確；對于C，當表示雙曲線時，，解得：或，所以C不正確；對于D，當，即時，曲線表示圓，所以D正確.故選：ABD.11．已知橢圓C的兩個焦點分別為，，離心率為，且點P是橢圓上任意一點，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．橢圓C的方程為B．的最大值為C．當時，D．橢圓的形狀比橢圓C的形狀更接近于圓【答案】AC【分析】根據(jù)離心率計算得到，，得到橢圓方程，計算的最大值，B錯誤，根據(jù)橢圓性質(zhì)得到C正確，根據(jù)離心率的大小關(guān)系得到D錯誤，得到答案.【詳解】，，故，，故橢圓C的方程為，A正確；的最大值為為，B錯誤；，故當時，，C正確；橢圓的離心率為，故橢圓C的形狀更接近于圓，D錯誤.故選：AC.12．如圖，在棱長為的正方體中，分別為棱，的中點，為面對角線上的一個動點，則（    ）A．三棱錐的體積為定值B．線段上存在點，使平面C．線段上存在點，使平面平面D．設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為【答案】ABD【分析】對于A選項，利用等體積法判斷；對于B、C、D三個選項可以建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【詳解】易得平面平面，所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐即三棱錐的體積為定值，故A正確．對于B, 如圖所示, 以為坐標原點, 為軸, 為軸, 為軸, 建立空間直角坐標系, 則，, ，，，所以 ，，，設(shè)（），則所以，平面即解之得當為線段上靠近的四等分點時，平面.故B正確對于C，設(shè)平面的法向量則，取得 設(shè)平面 的法向量 ,則取 , 得 ,平面平面設(shè) , 即 ,解得 ，，不合題意 線段上不存在點, 使平面//平面，故C錯誤．對于D，平面的法向量為則因為所以所以的最大值為．故D正確．故選：ABD 三、填空題13．經(jīng)過點作圓的切線，則切線的方程為___________.【答案】【解析】根據(jù)題中條件，先求出切線斜率，進而可得切線方程.【詳解】因為點在圓上，所以，因此切線斜率為2，故切線方程為，整理得．故答案為：.14．已知直線過點，它的一個方向向量為，則點到直線AB的距離為___________.【答案】2【分析】利用空間中點到直線的距離公式求解即可【詳解】因為，，點到直線AB方向上的投影為，所以點到直線AB的距離為，故答案為：215．設(shè)?是橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于兩點，則的最大值為___________.【答案】14【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖所示由橢圓的性質(zhì)可得，，所以的周長，當最小時，最大，又當軸時最小，此時，所以的最大值為14，故答案為：1416．已知為雙曲線的右焦點，經(jīng)過作直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與雙曲線的另一條漸近線在第二象限的交點為．若，則雙曲線的離心率為______．【答案】【分析】設(shè)，與雙曲線兩漸近線聯(lián)立可求得坐標，利用可構(gòu)造齊次方程求得離心率.【詳解】由題意可設(shè)：，由得：，即；由得：，即；，，即，，即，，解得：，即雙曲線的離心率為.故答案為：.【點睛】思路點睛：求解圓錐曲線離心率或離心率取值范圍問題的基本思路有兩種：（1）根據(jù)已知條件，求解得到的值或取值范圍，由求得結(jié)果；（2）根據(jù)已知的等量關(guān)系或不等關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于的齊次方程或齊次不等式，配湊出離心率，從而得到結(jié)果. 四、解答題17．已知向量，，，，.(1)求，，；(2)求與所成角的余弦值.【答案】(1)，，(2) 【分析】（1）根據(jù)向量平行得到，根據(jù)向量垂直得到，計算得到答案.（2）計算，，再根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】（1），故，即，故，，，即，，，故，，故（2），，與所成角的余弦值為：18．已知兩點，及圓：，為經(jīng)過點的一條動直線.(1)若直線與圓相切，求切線方程；(2)若直線與圓相交于兩點，從下列條件中選擇一個作為已知條件，求的面積.條件①:直線平分圓；條件②：直線的斜率為-3.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）設(shè)直線為，利用圓心到直線的距離等于半徑求即可；（2）選擇條件①利用兩點式可得直線的方程，再利用點到直線的距離得到的高，即可得到面積；選擇條件②利用點斜式可得直線的方程，再利用點到直線的距離得到的高，即可得到面積.【詳解】（1）當直線斜率不存在時，即，圓心到直線的距離，此時直線與圓相交；當直線斜率存在時，設(shè)直線為，即，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或，所以切線方程為或.（2）選擇條件①：直線平分圓則直線過圓心，所以直線為，即，因為，點到直線的距離，所以.選擇條件②：由直線的斜率為-3且過可得直線為，即，直線過圓心，所以，點到直線的距離，所以.19．如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為中點，為中點，.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)圖形特點，建立空間直角坐標系，利用向量關(guān)系即可證明平面；（2）按照空間向量的坐標運算求解直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】（1）證明：四棱錐中，底面為矩形，所以又平面，平面，所以如圖所示，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，取中點連接則，，，，，所以，，，所以，則，即，又平面，平面PBC所以平面.（2）解：由（1）可設(shè)平面的一個法向量為又，所以，令，所以則所以直線與平面所成角的正弦值為.20．已知，分別是雙曲線E：的左、右焦點，P是雙曲線上一點，到左頂點的距離等于它到漸近線距離的2倍，求雙曲線的漸近線方程；當時，的面積為，求此雙曲線的方程．【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）由到左頂點的距離等于它到漸近線距離的倍，根據(jù)點到直線距離公式可得，從而可得雙曲線的漸近線方程；（2）由余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義可得，再根據(jù)的面積為，可得，得，從而可得結(jié)果.試題解析：（1）因為雙曲線的漸近線方程為，則點到漸近線距離為（其中c是雙曲線的半焦距），所以由題意知，又因為，解得，故所求雙曲線的漸近線方程是.（2）因為，由余弦定理得，即．又由雙曲線的定義得，平方得，相減得．根據(jù)三角形的面積公式得，得．再由上小題結(jié)論得，故所求雙曲線方程是.21．如圖所示，正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，，，，.(1)證明：平面；(2)在線段CM（不含端點）上是否存在一點E，使得二面角的余弦值為.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)見解析(2)存在， 【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得，再得出即可證明；（2）設(shè)，求出平面和平面的法向量，利用向量關(guān)系建立方程求出即可得出.【詳解】（1）證明：正方形中，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，且，又，，又，，，又，，又平面，平面；（2）解：如圖，以B為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設(shè)點，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，顯然，平面的法向量為，，即，即即，解得或（舍），所以存在一點，且.22．在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為A，B，點P，Q為橢圓上異于A，B的兩動點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知．求證：直線恒過x軸上一定點.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由題意列方程組求解；（2）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由題意列方程通過韋達定理化簡求解，注意分類討論直線的斜率是否為0.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓C的方程為．（2）依題意，點，設(shè)，因為若直線的斜率為0，則點P，Q關(guān)于y軸對稱，必有，不合題意．所以直線斜率必不為0，設(shè)其方程為，與橢圓C聯(lián)立，整理得：，所以，且因為點是橢圓上一點，即，則，所以，即因為，所以，此時，故直線：恒過x軸上一定點． 

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