2022-2023學(xué)年重慶市第一中學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．拋物線的通徑長(zhǎng)為（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】拋物線，即，利用通經(jīng)長(zhǎng)公式即可求得通經(jīng)長(zhǎng)．【詳解】解：拋物線，即，可得，因此通徑長(zhǎng)為：．故選：C．2．和橢圓有相同焦點(diǎn)的等軸雙曲線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用等軸雙曲線性質(zhì)，求解即可．【詳解】橢圓，，則，可得，設(shè)等軸雙曲線方程為，其中，可得，解得所求的雙曲線方程為．故選：A3．已知數(shù)列滿足，則的前10項(xiàng)的和為（    ）A． B．6 C．5 D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的周期性，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，以及二倍角公式，即可求得結(jié)果.【詳解】由題可知，又的周期，且，故該列數(shù)列的前10項(xiàng)的和為.故選：D.4．在△中，“”是“△為鈍角三角形”的（    ）條件A．充要 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】根據(jù)正、余弦定理求得的等價(jià)條件，再?gòu)某浞中院捅匾远x即可判斷.【詳解】在△中，，等價(jià)于，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，又，故可得為鈍角；即△中，等價(jià)于△是以為鈍角的鈍角三角形；顯然，充分性成立，但若△為鈍角三角形，不一定是為鈍角，故必要性不成立.故“”是“△為鈍角三角形”的充分不必要條件.故選：B.5．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列是等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值是（    ）A．9 B．3 C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)求出通項(xiàng)公式，利用可求出，再由等比數(shù)列求和公式求出，分、討論根據(jù)等差數(shù)列的定義可得答案.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，，則，解得，又因?yàn)?/span>，所以，則，當(dāng)時(shí)，，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， 當(dāng)即時(shí)，，所以，時(shí)，，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；當(dāng)即時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?/span>，，所以不是常數(shù)，即不是等差數(shù)列.綜上所述，.故選：B.6．已知直線，若雙曲線與均無公共點(diǎn)，則可以是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線漸近線與之間的位置關(guān)系，即可容易判斷.【詳解】的斜率分別是；對(duì)A：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，又，故曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意，A錯(cuò)誤；對(duì)B：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，又，故雙曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意，B錯(cuò)誤；對(duì)C：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，又，故雙曲線與都沒有公共點(diǎn)，滿足題意，C正確；對(duì)D：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，又，故雙曲線與沒有公共點(diǎn)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意，D錯(cuò)誤.故選：C.7．已知復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最大值為（    ）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，利用已知求出a與b的關(guān)系，代入原式表示為b的二次函數(shù)求最大值即可.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，所以，所以，所以..故選：B.8．若數(shù)列滿足：，其中且，若對(duì)任意成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（    ）A． B．4 C． D．【答案】D【分析】由已知去絕對(duì)值得，即，采用疊加法求出，分為奇偶討論求出的分段函數(shù)，結(jié)合極限即可求解的最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，且，所以，即，，，，累加得，又，所以，即，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，，，要使對(duì)任意成立，則，實(shí)數(shù)的最小值是.故選：D 二、多選題9．已知空間中兩個(gè)不同的平面，兩條不同的直線滿足，則以下結(jié)論正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若相交，則相交 D．若，則【答案】CD【分析】利用空間中線線、線面關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)，如圖所示：，，與有可能只是相交，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，如圖所示：若，，與有可能異面；C選項(xiàng)，若，相交，則一定相交，故C正確；D選項(xiàng)，由面面垂直的判定定理即可得若， ，則，故D正確.故選：CD.10．已知平面上點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，以下敘述正確的是（    ）A．若，則的軌跡是一條直線B．若，則的軌跡是雙曲線的一支C．若（為正常數(shù)，且），則的軌跡一定是圓D．若，則的軌跡是橢圓【答案】ACD【分析】根據(jù)橢圓，雙曲線的定義，結(jié)合題意，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，即可選擇.【詳解】對(duì)A：根據(jù)題意可得：，整理可得：， 故的軌跡是一條直線，A正確；對(duì)B：，故點(diǎn)的軌跡是一條射線，不滿足雙曲線定義，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，即，整理可得：，其表示圓心為，半徑為的圓，C正確；對(duì)D：，故其軌跡是以為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，D正確.故選：ACD.11．單增數(shù)列滿足，點(diǎn)，對(duì)于任意都有，則（    ）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為B．?dāng)?shù)列的最大值為C．的面積為D．四邊形的面積為【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)根據(jù)求得數(shù)列的遞推關(guān)系確定為等差數(shù)列求出通項(xiàng)判斷為正確；B選項(xiàng)利用作差法判斷數(shù)列為遞減數(shù)列，得最大值為首項(xiàng)，計(jì)算判斷為正確；C選項(xiàng)利用向量法的坐標(biāo)表示計(jì)算三角形的面積判斷為不正確；D選項(xiàng)利用同樣的方法計(jì)算和兩三角形面積相減得到四邊形的面積判斷為正確.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，又?jǐn)?shù)列為單增數(shù)列，所以，即數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，A正確；B選項(xiàng)，，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，數(shù)列的值最大，為，B正確；C選項(xiàng)，，則C不正確；D選項(xiàng)，四邊形的面積為D正確.故答案為：ABD.12．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，且，點(diǎn)是雙曲線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，的平分線交軸于點(diǎn)垂直于交于，則以下正確的是（    ）A．當(dāng)點(diǎn)到漸近線的距離為時(shí)，該雙曲線的離心率為B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為C．當(dāng)時(shí)，三角形的面積D．若則【答案】ABD【分析】對(duì)A：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合已知條件求得，即可求得離心率；對(duì)B：根據(jù)角平分線定理，結(jié)合的長(zhǎng)度，即可容易求得的坐標(biāo)；對(duì)C：根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合已知條件，即可求得焦點(diǎn)三角形的面積；對(duì)D：做輔助線，構(gòu)造全等三角形，求得，再根據(jù)與漸近線之間的關(guān)系，建立的不等式，即可求得的范圍.【詳解】對(duì)A：易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，又雙曲線的一條漸近線為，根據(jù)題意可得，又，故，則，則雙曲線的離心率為，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?/span>，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，由其定義可得：，由角平分線定理可得：，即，又，故，又的坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，B正確；對(duì)C：由題可知，又，則，故，則△的面積，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如下所示：易知△△，即，由，可得，則，故可得；又點(diǎn)在第一象限，故直線的斜率必小于漸近線的斜率，不妨設(shè)漸近線的傾斜角為，由，可得，則，即，整理得，又，則，解得，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線離心率，焦點(diǎn)三角形面積，以及雙曲線中參數(shù)范圍的求解；其中D選項(xiàng)中，充分挖掘幾何關(guān)系，建立的不等式，是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題. 三、填空題13．雙曲線的離心率等于____________.【答案】.【詳解】試題分析：.【考點(diǎn)定位】雙曲線及其離心率. 14．已知等比數(shù)列滿足，那么的公比__________．【答案】2【分析】利用公式法列方程求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，因?yàn)?/span>，所以，化簡(jiǎn)得，解得.故答案為：2.15．已知點(diǎn)分別是拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，到的準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為__________．【答案】4【分析】將到拋物線的準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為M到拋物線焦點(diǎn)的距離，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系將的最小值表示為，最后根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到圓心的距離減去半徑求的最小值即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，則，圓D的圓心為，半徑為所以.故答案為：4.16．設(shè)等差數(shù)列的公差為（為常數(shù)），且是數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和__________．（用表示）【答案】【分析】由求得，得到，化簡(jiǎn)得，結(jié)合累加法即可求解.【詳解】由，即，所以，，所以，，所以.故答案為： 四、解答題17．已知數(shù)列滿足：(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)的和．【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合已知條件，即可容易證明；（2）根據(jù)（1）中所證即可求得，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和即可求得結(jié)果.【詳解】（1），故可得，故數(shù)列為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.（2）根據(jù)（1）中所求，故可得，故；故.故數(shù)列的前項(xiàng)和為.18．銳角的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，且(1)求角；(2)已知的面積為，其外接圓半徑為，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角公式即可求解；（2）由正弦面積公式求出，結(jié)合正弦定理外接圓公式求出，最后聯(lián)立余弦定理可整體求出，進(jìn)而得解.【詳解】（1）由得，因?yàn)?/span>，所以，同時(shí)除以得，即，；（2）因?yàn)?/span>，即，又，由余弦定理可得，即，，所以的周長(zhǎng)為.19．如圖，斜三棱柱中，點(diǎn)在底面上的射影恰好是的中點(diǎn)，且．(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2) 【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)及判定定理，及面面垂直的判定定理即可得證；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得線面角.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接DO，即點(diǎn)在底面上的射影為，平面又平面，又，平面ABED ，則平面又平面，所以平面平面（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則，，，，則，，設(shè)平面的法向量為則，令，則設(shè)直線與平面所成角為，則20．已知拋物線的焦點(diǎn)為到雙曲線的漸近線的距離為1．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過動(dòng)點(diǎn)作拋物線的切線（斜率不為0），切點(diǎn)為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求得雙曲線的漸近線方程，和拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得以及拋物線方程；（2）設(shè)出切線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)相切關(guān)系，求得參數(shù)之間的關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)求解，消去參數(shù)，即可求得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）雙曲線的一條漸近線為，又拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題可得：，解得，故拋物線方程為：.（2）設(shè)過點(diǎn)與拋物線相切的直線方程為，聯(lián)立拋物線方程可得，則，又，則，且，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，代入，可得，又，故；則點(diǎn)的軌跡方程為：.21．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于，當(dāng)與重合時(shí)，點(diǎn)在軸上的射影為(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的最值．【答案】(1)(2)的最小值為，最大值為 【分析】（1）當(dāng)與重合時(shí)，把代入橢圓方程可得，直線過可得，求出直線，令時(shí)得，結(jié)合可得答案；（2）設(shè)，由橢圓方程與直線方程聯(lián)立得由韋達(dá)定理可得， 利用兩點(diǎn)間的距離公式求出，，故，代入， 令，轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.【詳解】（1）因?yàn)橛翼旤c(diǎn)為，所以，當(dāng)與重合時(shí)，點(diǎn)在軸上的射影為，故此時(shí)，所以，可得，直線過，所以，得，直線，當(dāng)時(shí)，，即，所以，得，由，解得或舍去，故，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，由得，因?yàn)?/span>，所以，且，因?yàn)?/span>，而，，所以，因?yàn)?/span>，而，，所以，故，令，則，，則，令，，則，令，，其對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而， 所以在上單調(diào)遞減，從而，即，而，所以，所以在上單調(diào)遞減，從而，即，可得，可得，故，所以的最小值為，最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在第二問中，求出、，以及令利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和求最值是解題的關(guān)鍵點(diǎn)，考查了向上分析問題、解決問題以及運(yùn)算能力.22．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．若對(duì)任意，總存在，使得，則稱是“數(shù)列”．(1)若數(shù)列，判斷是不是“數(shù)列”，并說明理由；(2)設(shè)是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差，且是“數(shù)列”，①求的值；②設(shè)數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)不是，理由見解析；(2)①；② 【分析】（1）理由等比數(shù)列求和公式求得，再舉反例可求解；（2）①利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求得，再利用新定義即可得解；②化簡(jiǎn)，再利用放縮法求得數(shù)列的前項(xiàng)和為，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）數(shù)列不是“數(shù)列”，理由如下：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)找不到，使得所以數(shù)列，不是“數(shù)列”.（2）①是等差數(shù)列，且首項(xiàng)，公差，則， 故對(duì)任意，總存在，使得成立，則，其中為非負(fù)整數(shù)，要使，需要恒為整數(shù)，即為所有非負(fù)整數(shù)的公約數(shù)，又，所以②由①知，，則令，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，且則由對(duì)任意成立，即恒成立，即故實(shí)數(shù)的取值范圍為 

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