重慶市第七中學校2021-2022學年度上期高2023級高二（上）半期  數學試題一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的，把答案填涂在答題卡相應位置上）1. 點關于坐標平面的對稱點為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【分析】關于平面對稱，則坐標和坐標不變，坐標變?yōu)橄喾磾?【詳解】關于坐標平面的對稱點為.故選：D2. 若直線交于一點，則a的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【分析】先聯(lián)立方程求出的交點，再將該點代入即可求出a的值.【詳解】由，解得，即直線與相交于點，代入，解得.故選：C.【點睛】本題考查直線交點坐標的求法，屬于基礎題.3. 圓與圓的公共弦長等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【分析】聯(lián)立圓的方程求出公共弦的端點坐標，用兩點距離公式即可求出公共弦長.【詳解】解：聯(lián)立，解得或，故公共弦長等于.故選：D.4. 直線被橢圓所截得線段的中點的坐標是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【分析】將直線與橢圓聯(lián)立，消去整理得，然后利用韋達定理求解.【詳解】直線與橢圓聯(lián)立，得消去整理，得．設直線與橢圓的交點，中點．，∴中點坐標為．故選：C【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關系屬于基礎題.5. 已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則此雙曲線的離心率e為（    ）A.  B.  C.  D. 2【答案】A【分析】根據題意漸近線的斜率為，所以該漸近線的方程為，所以，求得，利用，求得即可得解.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，，∴該漸近線的方程為，∴，解得或（舍去），∴，∴雙曲線的離心率為．故選：A．6. 如圖，在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若，，，則的值為（ ）A. 1 B.  C. 2 D. 【答案】B【分析】根據空間向量關系表示出，平方處理即可求得模長.【詳解】由題平行六面體中，M為AC與BD的交點，，，，，所以故選：B7. 已知圓，圓，橢圓，若圓，都在橢圓內，則橢圓離心率的范圍是（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【分析】由已知圓的方程求出圓心坐標與半徑，圓，都在橢圓內，可得圓上的點，都在橢圓內，由此列關于，的不等式組得答案．【詳解】由圓，得，得圓的圓心為，半徑為，由圓，得，得圓的圓心為，半徑為，要使圓，都在橢圓內，則，解得．橢圓離心率的范圍是．故選：．【點評】本題考查圓與橢圓的綜合，考查數學轉化思想方法，考查運算求解能力，是中檔題．8. 已知，是橢圓的左焦點，點P是橢圓上的動點，求的最大值和最小值分別為（    ）A. ； B. ； C. ； D. ；【答案】A【分析】根據橢圓定義可知，取得最值時，即最值，根據可得答案.【詳解】解：由已知可得，得，根據橢圓定義：，
∴取得最大值時，即 最大，取得最小值時，即 最小，根據三角形的兩邊之差小于第三邊有當三點共線，且點P不在線段上時， ，即如圖所示：，
當P點在線段的延長線上，即P運動到圖中點N的位置時取得最大值．當P點在線段的延長線上，即P運動到圖中點M的位置時取得最小值．∴的最大值和最小值分別為 ；.故選：A.二、多選題（共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個備選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選的得0分）9. 下列說法錯誤是（    ）A. 直線與直線互相垂直則B. 經過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或C. 過、兩點的所有直線的方程為D. 無論為何值，直線必過定點【答案】AC【分析】對于A：取特殊值否定結論；對于B：分直線經過原點和不經過原點直接求直線方程；對于C：取特殊值或否定結論；對于D：用代入法進行驗證.【詳解】對于A：當a=0時，直線與直線分別化為：y=1和x=2，互相垂直.故A錯誤；對于B：當直線經過原點時，所求直線為：；當直線不經過原點時，用截距式方程表示：，因為在軸和軸上截距都相等，所以a=b，把（1，1）代入解得：a=b=2，所以所求直線為.故B正確；對于C：當或時，經過、兩點的所有直線的方程不能表示為：.故C錯誤；對于D：把代入恒成立，所以無論為何值，直線必過定點.故D正確.故選：AC10. （多選）已知方程表示曲線，則（    ）A. 當時，曲線一定是橢圓B. 當或時，曲線一定是雙曲線C. 若曲線是焦點在軸上的橢圓，則D. 若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則【答案】BD【分析】根據題意，結合橢圓與雙曲線的標準方程，一一判斷即可.【詳解】對于A，當時，曲線是圓，故A錯誤；對于B，當時，曲線是焦點在軸上的雙曲線，當時，曲線是焦點在軸上的雙曲線，故B正確；對于C，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，故C錯誤；對于D，若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，解得，故D正確．故選BD．11. 在三維空間中，定義向量的外積：叫做向量 與的外積，它是一個向量，滿足下列兩個條件：①， ，且，和 構成右手系（即三個向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指的指向一致，如圖所示）：②的模 （表示向量 ，的夾角）在正方體中，有以下四個結論，正確的有（ ）A.  B. C. 共線 D. 與正方體表面積的數值相等【答案】ACD【分析】在正方體中根據外積的定義逐項檢驗后可得正確的選項.【詳解】設正方體的棱長為，對于A，如圖，因為為等邊三角形，故，因為，而 為等邊三角形，故，故A正確.對于B，根據定義，， ，兩者不相等，故B錯.對于C，因為平面，結合外積的定義可得 與共線，故C正確.對于D，，故它與正方體表面積相同，故選：ACD.【點睛】方法點睛：對于立體幾何的新定義問題，一般要依據給出的定義進行驗證，此題中注意外積中向量的先后次序.12. 在棱長為1的正方體中，點滿足，，，則以下說法正確的是（    ）A. 當時，平面B. 當時，存在唯一點使得與直線的夾角為C. 當時，長度的最小值為D. 當時，與平面所成的角不可能為【答案】ACD【分析】對于A，可知點在線段上，易證平面平面，利用線面平行的性質可證得結論；對于B，可證得點為中點，此時可判斷； 對于C，可知三點共線，線段在中，利可求得距離最小值； 對于D，設點在平面內的射影為Q在線段上，則為所求角，求，可判斷結果.【詳解】對于A，當時，，即點在線段上，利用正方體的性質，易證平面平面，平面，平面，故A正確；對于B， 當時，，設的中點為H，則，即，即點為中點，此時，故B錯誤；對于C，當時，可知三點共線，線段在中，當點為中點時，最小，此時，，故長度的最小值為，故C正確；對于D，當時，可知三點共線，點在平面內的射影為Q在線段上，則為與平面所成的角，，又，所以，而，所以與平面所成的角不可能為，故D正確；故選：ACD【點睛】方法點睛：求直線與平面所成角的方法：（1）定義法，①作，在直線上選取恰當的點向平面引垂線，確定垂足的位置是關鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據是直線與平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知識求角；（2）向量法，（其中為平面的斜線，為平面的法向量，為斜線與平面所成的角）.三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡相應的位置上）13. 已知橢圓的兩個焦點分別為，，過點作直線交橢圓于A，B兩點，則三角形的周長為________．【答案】20【分析】根據橢圓方程求得，由此求得三角形的周長.【詳解】依題意橢圓方程為，所以，所以三角形的周長為.故答案為：14. 過圓x2+y2=4上一點（，1）的圓的切線方程是___________.【答案】【分析】求出圓心與已知點確定直線方程的斜率，利用兩直線垂直時斜率的乘積為－1求出過此點切線方程的斜率，即可確定出切線方程．【詳解】∵過與直線斜率為，∴過切線方程的斜率為，則所求切線方程為，即．故答案為：．15. 若圓上恰有3個點到直線的距離為2，則的值為___________【答案】2或【分析】根據圓的半徑和圓心到直線的距離列方程，由此求得的值.【詳解】圓的半徑為，且圓上恰有個點到直線的距離為，所以圓心到直線的距離為，所以或.故答案為：2或16. 已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，線段的垂直平分線過，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為____________．【答案】6【分析】由于線段的垂直平分線過，所以有，再根據雙曲線和橢圓的定義，求出的表達式，然后利用基本不等式來求得最小值.【詳解】設橢圓對應的參數為，雙曲線對應的參數為，由于線段的垂直平分線過，所以有.根據雙曲線和橢圓的定義有，兩式相減得到，即.所以，即最小值為.【點睛】本小題考查雙曲線的定義和幾何性質，考查橢圓的定義和幾何性質，是一個綜合性較強的題目.由于橢圓和雙曲線有公共的焦點，所以焦距相同，也就是有相同.對于兩個曲線的公共交點來說，即滿足橢圓的定義，又滿足雙曲線的定義，根據定義可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值.四、解答題（共6小題，共75分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17. 已知直線.（1）若平行于l的直線m經過點，求m的方程；（2）若l與直線的交點在第二象限，求b的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據兩直線平行，先設直線方程，再由直線過點，即可求出結果；（2）聯(lián)立兩直線方程，求出交點坐標，根據交點位置列出不等式求解，即可得出結果.【詳解】（1）因為直線m平行于l，可設直線m的方程為，又因為直線m經過點，所以，解得，可知m的方程為.（2）聯(lián)立方程組，解得因為它們的交點在第二象限，所以，解得，即b的取值范圍為.18. 已知橢圓的兩焦點為、，P為橢圓上一點，且．（1）求此橢圓的方程；（2）若點P在第二象限，，求的面積．【答案】（1）；    （2）.【分析】（1）由題可得，根據橢圓的定義，求得，進而求得的值，即可求解；（2）由題可得直線方程為，聯(lián)立橢圓方程可得點P，利用三角形的面積公式，即求.【小問1詳解】設橢圓的標準方程為，焦距為，由題可得，，所以，可得，即，則，所以橢圓的標準方程為．【小問2詳解】設點坐標為，，，∵，∴所在的直線方程為，則解方程組，可得，∴.19. 已知三棱柱的側棱垂直于底面，，E、F分別是棱、BC的中點.（1）求證：平面AEF；（2）求點F到平面的距離.【答案】（1）證明見解析    （2）【分析】（1）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證明，即得證；（2）利用向量法求點F到平面的距離.【小問1詳解】證明三棱柱的側棱垂直于底面，，以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，，E、F分別是棱C、BC的中點，0，0，1，，1，，，，，AE，平面AEF，平面AEF.【小問2詳解】解：0，1，，設平面的法向量b，，則，取，得1，，平面的法向量1，，點F到平面距離： .20. 已知點與兩個定點，之間的距離的比為，記點的軌跡為曲線.（1）求點的軌跡的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點的直線被軌跡所截得的線段的長為8，求直線的方程.【答案】（1）點的軌跡的方程是，軌跡是以為圓心，5為半徑的圓；（2）或.【分析】（1）根據點與兩個定點，之間的距離的比為，由求解；（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，易知成立；當直線的斜率存在時，設的方程，然后由求解.【詳解】（1）由題意，得，即，化簡得，即.點的軌跡的方程是，軌跡是以為圓心，5為半徑的圓.（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時所截得的線段的長為，符合題意.當直線的斜率存在時，設的方程為，即，圓心到直線距離，由題意，得，解得，直線的方程為，即.綜上，直線的方程為或.21. 已知橢圓C：過點，為橢圓的左右頂點，且直線的斜率的乘積為.（1）求橢圓C的方程；（2）過右焦點F的直線與橢圓C交于M，N兩點，線段MN的垂直平分線交直線于點P，交直線于點Q，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)寫出橢圓C的左右頂點坐標，利用給定斜率積求出，再由橢圓過的點即可計算得解；(2)根據條件設的方程為，將與C的方程聯(lián)立求出弦MN長，再求出點P的橫坐標并計算PQ長，最后借助均值不等式即可得解.【詳解】(1)依題意，，則，解得，又，于是得，所以橢圓C的方程為；(2)由(1)可得，顯然直線不垂直于y軸，設其方程為，設點，由消去y并整理得，則，于是得，顯然點P的坐標有：，，而直線PQ方程為：y-yP=-m(x-xP)，則，，當且僅當，即時取“=”，所以的得最小值.22. 已知正方形的邊長為，，分別為，的中點，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點在線段上.（1）若為的中點，且直線與由，，三點所確定平面的交點為，試確定點的位置，并證明直線平面；（2）是否存在點，使得直線與平面所成的角為；若存在，求此時平面與平面的夾角的余弦值，若不存在，說明理由.【答案】（1）答案見解析    （2）答案見解析【分析】（1）根據面面位置關系判斷點的位置，再根據線線平行證明線面平行；（2）設，利用坐標法根據線面夾角為可得的值，再；利用坐標法求二面角余弦值.【小問1詳解】證明：因為直線平面，故點在平面內也在平面內，所以點在平面與平面的交線上(如圖所示).因為，為的中點，所以，所以，，所以點在的延長線上，且.連接交于，因為四邊形為矩形，所以是的中點.連接，所以為的中位線，所以，又因為平面，所以直線平面.【小問2詳解】解：存在.由已知可得，，，所以平面，所以平面平面,取的中點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，所以設（），則，設平面的法向量，則所以，取，則，所以.因為與平面所成的角為，所以所以，解得或，所以存在點，使得直線與平面所成的角為.設平面的法向量為，則，所以，取，則，所以， ，設二面角的大小為.所以.因為當時， ，此時平面平面，所以當時， 為鈍角，所以.當時， 為銳角，所以

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