2022-2023學(xué)年重慶市江津第五中學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線(xiàn)斜率公式直接求解即可．【詳解】直線(xiàn)的斜率為，故選：A.2．已知向量，，則等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】由，，得，因此.故選：C.3．焦點(diǎn)坐標(biāo)為，（0，4），且長(zhǎng)半軸的橢圓方程為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，即可由求出，再根據(jù)焦點(diǎn)位置得出橢圓方程．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，而焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為．故選：B．4．若直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（    ）A． B． C． D．或【答案】C【分析】推導(dǎo)出，利用空間向量法可得出線(xiàn)面關(guān)系.【詳解】因?yàn)?/span>，，則，即，因此，.故選：C.5．直線(xiàn)的傾斜角為（      ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】化成斜截式方程得斜率為，進(jìn)而根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】將直線(xiàn)一般式方程化為斜截式方程得：，所以直線(xiàn)的斜率為，所以根據(jù)直線(xiàn)傾斜角與斜率的關(guān)系得直線(xiàn)的傾斜角為.故選：C6．點(diǎn)(2，1)到直線(xiàn)l：x－2y＋2＝0的距離為（    ）A． B．C． D．0【答案】B【分析】直接運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】點(diǎn)(2，1)到直線(xiàn)l：x－2y＋2＝0的距離為，故選：B7．已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點(diǎn)，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖形可得，根據(jù)比例關(guān)系可得，，再根據(jù)向量減法，代入整理并代換為基底向量．【詳解】即故選：D．8．已知圓的圓心在x軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)，圓：，則圓，的公共弦長(zhǎng)為       A． B．C． D．2【答案】A【解析】根據(jù)題意設(shè)圓方程為:,代點(diǎn)即可求出,進(jìn)而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線(xiàn)方程,再利用垂徑定理去求弦長(zhǎng).【詳解】設(shè)圓的圓心為,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,將點(diǎn)代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線(xiàn)方程為:,圓心到該直線(xiàn)的距離為,因此公共弦長(zhǎng)為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題綜合考查圓的方程及直線(xiàn)與圓,圓與圓位置關(guān)系,屬于中檔題.一般遇見(jiàn)直線(xiàn)與圓相交問(wèn)題時(shí),常利用垂徑定理解決問(wèn)題. 二、多選題9．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（    ）．A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用向量線(xiàn)性關(guān)系、數(shù)量積、模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題設(shè)，，A錯(cuò)誤；，B正確；，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：BC10．關(guān)于橢圓，以下說(shuō)法正確的是（    ）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 B．焦距為C．離心率為 D．左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】BCD【解析】求出、、的值，結(jié)合橢圓的方程可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，.對(duì)于A選項(xiàng)，該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，該橢圓的焦距為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，該橢圓的離心率為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，該橢圓的左頂點(diǎn)坐標(biāo)為，D對(duì).故選：BCD.11．已知直線(xiàn)l1：3x+y﹣3＝0，直線(xiàn)l2：6x+my+1＝0，則下列表述正確的有（　　）A．直線(xiàn)l2的斜率為B．若直線(xiàn)l1垂直于直線(xiàn)l2，則實(shí)數(shù)m＝﹣18C．直線(xiàn)l1傾斜角的正切值為3D．若直線(xiàn)l1平行于直線(xiàn)l2，則實(shí)數(shù)m＝2【答案】BD【分析】利用直線(xiàn)l1的方程，考慮斜率不存在的情況可判斷選項(xiàng)A，利用兩條直線(xiàn)垂直的充要條件可判斷選項(xiàng)B，利用傾斜角與斜率的關(guān)系可判斷選項(xiàng)C，利用兩條直線(xiàn)平行的充要條件可判斷選項(xiàng)D．【詳解】解：直線(xiàn)l1：3x+y﹣3＝0，直線(xiàn)l2：6x+my+1＝0，當(dāng)m＝0時(shí)，直線(xiàn)l2的斜率不存在，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)直線(xiàn)l1垂直于直線(xiàn)l2，則有3×6+1×m＝0，解得m＝﹣18，故選項(xiàng)B正確；直線(xiàn)l1的斜率為﹣3，故傾斜角的正切值為﹣3，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)直線(xiàn)l1平行于直線(xiàn)l2，則，解得m＝2，故選項(xiàng)D正確．故選：BD．12．已知圓：和圓：相交于，兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（    ） A．圓與圓有兩條公切線(xiàn)；B．圓與圓的相交弦所在的直線(xiàn)方程；C．線(xiàn)段的長(zhǎng)為；D．，分別是圓和圓上的點(diǎn)，則的最大值為.【答案】ABD【分析】寫(xiě)出兩圓的圓心與半徑判斷兩圓的位置關(guān)系可知A，利用圓的方程求直線(xiàn)的方程，由圓心與直線(xiàn)關(guān)系可判斷B，利用圓的弦的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)圓上兩點(diǎn)最大距離判斷D．【詳解】圓：的圓心為，半徑，圓：，即，其圓心為，半徑，所以，兩圓相交，對(duì)于A，因?yàn)閳A與圓相交，所以有兩條公切線(xiàn)，A正確；對(duì)于B，兩圓方程相減得，即直線(xiàn)AB的方程為 ，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)閳A心與圓心的中點(diǎn)為滿(mǎn)足，，所以圓心與圓心關(guān)于直線(xiàn)AB對(duì)稱(chēng)，且兩圓半徑相等，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，分別是圓和圓上的點(diǎn)，則的最大值為，故D正確，故選：ABD. 三、填空題13．橢圓兩焦點(diǎn)之間的距離為______.【答案】【解析】求出橢圓的焦距即可.【詳解】由題得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14．直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是______.【答案】【解析】直線(xiàn)方程可化為，從而可得，解方程組即可.【詳解】直線(xiàn)方程可化為因?yàn)閷?duì)任意，方程恒成立，所以解得故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)故答案為：15．已知兩點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與線(xiàn)段相交，直線(xiàn)的斜率的取值范圍是______________ .【答案】【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出圖像，所求直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足,用直線(xiàn)的斜率公式分別求出的值，即可得出直線(xiàn)的斜率的取值范圍．【詳解】如下圖，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為.由圖可知直線(xiàn)的斜率的取值范圍是.          【點(diǎn)睛】本題主要考查過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)斜率范圍問(wèn)題．16．過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)的方程是______．【答案】或【分析】當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，可得直線(xiàn)，分析可得直線(xiàn)與圓相切，滿(mǎn)足題意，當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，可得直線(xiàn)l的方程，由題意可得圓心到直線(xiàn)的距離，即可求得k值，綜合即可得答案.【詳解】當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)，此時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離為1=r，此時(shí)直線(xiàn)與圓相切，滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，所以，即，因?yàn)橹本€(xiàn)l與圓相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離，解得，所以直線(xiàn)l的方程為.綜上：直線(xiàn)的方程為或故答案為：或 四、解答題17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為、、．求：(1)邊所在直線(xiàn)的方程；(2)邊上的高所在直線(xiàn)的方程；(3)邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）先用斜率公式求出的斜率，再利用直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，即可求解；（2）利用兩直線(xiàn)垂直得到，即可得到高所在直線(xiàn)的斜率，利用直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，即可求解.（3）求出邊上的中點(diǎn)D坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線(xiàn)方程；【詳解】（1）因?yàn)?/span>、，故，邊AC所在直線(xiàn)的方程為：，即為：，（2）由（1）知，故所以AC邊上的高所在直線(xiàn)的斜率為，又，故為：，即；（3）設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為D，則，即，故AC邊上的中線(xiàn)BD所在直線(xiàn)的方程的斜率為，故為：，即.18．求過(guò)三點(diǎn)的圓C的一般方程，并求直線(xiàn)被圓C截得的弦長(zhǎng)．【答案】和【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，分別代入，解方程可得圓的方程，再利用圓的弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可求解.【詳解】設(shè)圓的方程為：，分別代入，得，解得，故圓心為，半徑，圓的方程為：設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，則，，得到其弦長(zhǎng)為：19．如圖，已知平面，底面為正方形，，分別為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）利用直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量，計(jì)算線(xiàn)面角的正弦值.【詳解】（1）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則.，，所以,由于，所以平面.（2），，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以.設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則.20．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若為橢圓上一點(diǎn)，軸，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的長(zhǎng)軸即焦點(diǎn)坐標(biāo),可得.由橢圓中滿(mǎn)足,即可求得,進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù),可得點(diǎn)坐標(biāo),即可求得的面積．【詳解】（1）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和則,且解得 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）為橢圓上一點(diǎn),軸所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,代入橢圓方程可求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方,則 所以【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,橢圓的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)單應(yīng)用,焦點(diǎn)三角形面積求法,屬于基礎(chǔ)題.21．如圖，在四棱錐中，已知棱，，兩兩垂直且長(zhǎng)度分別為1，2，2，，．（1）若中點(diǎn)為，證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量，證明即可；（2）利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，求出的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可．【詳解】解：（1）證明：分別以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)?/span>，，的長(zhǎng)度分別為1，2，2，且，則，，，，，又是的中點(diǎn)，所以，所以，由已知可得平面的一個(gè)法向量為，則，所以，又平面，所以平面；（2）解：設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?/span>，，則有，即，令，則，，故，又，所以點(diǎn)到平面的距離．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線(xiàn)的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線(xiàn)垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.22．已知離心率為的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)且與軸垂直的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，．（1）求此橢圓的方程；（2）已知直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，求的值．【答案】（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）設(shè)焦距，從而求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將代入橢圓的方程，得，由，得到，再由韋達(dá)定理得到，，利用平面向量化簡(jiǎn)，列出方程，即可求解的值．試題解析：（1）設(shè)焦距為, 橢圓的方程為 ．（2）將代入橢圓的方程，得, 又直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以, 解得．設(shè), 則, 若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則,即,而, 則, 解得,滿(mǎn)足．【解析】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，其中解答中涉及到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，此類(lèi)問(wèn)題的解答中把直線(xiàn)方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、韋達(dá)定理化簡(jiǎn)運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，試題運(yùn)算量大，思維難度深，屬于中檔試題． 

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