2022-2023學(xué)年江蘇省連云港市高二上學(xué)期期末模擬（三）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．過兩點和的直線的斜率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)斜率公式直接求解即可.【詳解】直線的斜率為．故選：D.2．設(shè)x為實數(shù)，若三個數(shù)3，x，12成等比數(shù)列，則公比為（    ）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】結(jié)合等比數(shù)列定義列方程求，再求公比.【詳解】由題意，，當時，公比，當時，公比，所以．故選：A．3．若拋物線上的一點M到坐標原點O的距離為，則點M到該拋物線焦點的距離為（    ）A．3 B． C．2 D．1【答案】B【解析】設(shè)，則，解得，故，計算得到答案.【詳解】設(shè)，M到坐標原點O的距離為，解得，故.點M到該拋物線焦點的距離為.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中的距離問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.4．若圓與x軸相切，則這個圓截y軸所得的弦長為（    ）．A． B． C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)題意求得圓的方程，結(jié)合圓的弦長公式，即可求解.【詳解】由圓，可得圓心，半徑為，因為圓與軸相切，可得，即，所以圓心到軸的距離為，則圓截軸所得的弦長為.故選：D.5．已知等軸雙曲線的中心在原點，它的一個焦點為，則雙曲線的方程是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等軸雙曲線的性質(zhì)結(jié)合所求雙曲線的焦點位置可設(shè)其方程為，由條件列方程求即可.【詳解】因為所求雙曲線為等軸雙曲線，且焦點在軸上，故設(shè)雙曲線的方程為，因為雙曲線的一個焦點坐標為，所以，則，即，所以雙曲線的方程為．故選：B．6．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（    ）A．為函數(shù)的零點 B．為函數(shù)的極大值點C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．是函數(shù)的最小值【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由的圖象可得，當時，，當時，，當時，，當時，所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，所以為的極小值點，所以B選項錯誤，C選項正確；是的零點，但不一定是的零點，所以A錯誤；是函數(shù)的極小值，但不一定是最小值，所以D錯誤.故選：C7．在數(shù)列中，，（，），則（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前4項，推導(dǎo)出為周期數(shù)列，從而得到的值【詳解】，，，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，，故選：A8．已知，其中．設(shè)兩曲伐，有公共點，且在該點的切線相同，則（    ）A．曲線，有兩條這樣的公共切線 B．C．當時，b取最小值 D．的最小值為【答案】D【分析】求得兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，設(shè)兩曲線的公切點為，由題意得，，從而可求得，即可判斷A；進而可求得的關(guān)系式，即即可判斷B；令，求出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)的最值，即可判斷CD.【詳解】解：由，，，則，，設(shè)兩曲線的公切點為，由題意得，，即，由 得，，解得或（舍去），所以曲線只有一條這樣的共切線，故A錯誤；，故B錯誤；令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以當時，b取得最小值，為，故C錯誤，D正確.故選：D. 二、多選題9．已知圓M：則（    ）A．圓M可能過原點B．圓心M在直線上C．圓M與直線相切D．圓M被直線截得的弦長等于【答案】ABD【分析】依據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判斷方法可判斷A，把圓心代入直線方程適合方程可判斷B，求出圓心到直線的距離可判斷C，利用弦長公式求得弦長可判斷D．【詳解】對于A，把原點（0，0）代入圓的方程得，所以，解得或，所以當或時，圓M過原點，故A正確；對于B，由知圓心為，把圓心坐標代入直線，得，所以圓心在直線上，故B正確；對于C，圓心為到直線的距離，故直線與圓相離，故C錯誤；對于D，圓心為到直線的距離，所以弦長，故D正確：故選:ABD．10．等差數(shù)列的前項和為，，則下列結(jié)論一定正確的是（    ）A． B．當或10時，取最大值C． D．【答案】AD【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判斷C、D兩選項；當時，，有最小值，故B錯誤.【詳解】解：，，故正確A.由，當時，，有最小值，故B錯誤.，所以，故C錯誤.，，故D正確.故選：AD【點睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)量的計算以及性質(zhì)，基礎(chǔ)題.11．設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（    ）．A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經(jīng)過點C．經(jīng)過點的圓有且只有一個D．所有圓的面積均為【答案】ABD【分析】求出圓心坐標和半徑后可判斷A、D的正誤，將B、C選項中的點代入圓的方程得到關(guān)于的方程，通過方程的有解與否可判斷B、C的正誤，【詳解】圓心坐標為，在直線上，A正確；令，化簡得，∵，∴，無實數(shù)根，∴B正確；由，化簡得，∵，有兩不等實根，∴經(jīng)過點的圓有兩個，C錯誤；由圓的半徑為2，得圓的面積為，D正確．故選：ABD．【點睛】本題考查動圓的性質(zhì)，注意動圓中隱含的確定關(guān)系，另外判斷動圓是否過確定的點，可轉(zhuǎn)化為方程是否有解來討論，本題屬于中檔題.12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)存在兩個不同的零點B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．當時，方程有且只有兩個實根D．若時，，則的最小值為【答案】ABC【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值以及函數(shù)的圖象，最后直接判斷選項．【詳解】對于A．，解得，所以A正確；對于B．，當時，，當時，或，所以是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B正確．對于C．當時，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，再根據(jù)單調(diào)性可知，當時，方程有且只有兩個實根，所以C正確；對于D：由圖象可知，t的最大值是2，所以D不正確．故選：ABC.【點睛】易錯點點睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，極值點，以及函數(shù)的圖象，首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，判斷零點兩側(cè)的正負，得到函數(shù)的單調(diào)性，本題易錯的地方是是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，但當時，，所以圖象是無限接近軸，如果這里判斷錯了，那選項容易判斷錯了． 三、填空題13．直線與平行，則的值為_________.【答案】【解析】根據(jù)兩直線平行得出實數(shù)滿足的等式與不等式，解出即可.【詳解】由于直線與平行，則，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14．在平面直角坐標系中，若橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的四個頂點，則橢圓的離心率是__________.【答案】【分析】由題易得，再利用計算即可.【詳解】由已知，，所以，故離心率為.故答案為：.【點睛】本題考查求橢圓離心率，解決橢圓的離心率的問題，關(guān)鍵是建立的方程或不等式，本題是一道容易題.15．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲（水生植物名）生一日，長三尺；莞（植物名，俗稱水蔥、席子草）生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：今有蒲生長1日，長為3尺；莞生長1日，長為1尺．蒲的生長逐日減半，莞的生長逐日增加1倍．若蒲、莞長度相等，則所需的時間約為_____日．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】2.6．【詳解】解：設(shè)蒲（水生植物名）的長度組成等比數(shù)列 ，其 ，公比為 ，其前 項和為 ．莞（植物名）的長度組成等比數(shù)列 ，其，公比為 ，其前 項和為 ．則，令 ，化為：，解得 或 （舍去）．即： .所需的時間約為 日.16．當時，函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍___________.【答案】【分析】函數(shù)有兩個極值點轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的實數(shù)根，等價于與有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】有兩個極值點，所以有兩個不同的實數(shù)根，即有兩個不同的實數(shù)根，等價于與有兩個不同的交點，設(shè)，當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，所以當；所以與要有兩個不同的交點，只需故答案為：【點睛】方法點睛：含參方程有根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題，數(shù)形結(jié)合，是常用的方法.本題考查了運算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于一般題目. 四、解答題17．在①對任意滿足；②；③.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.問題:已知數(shù)列的前n項和為__________，若數(shù)列是等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式；若數(shù)列不是等差數(shù)列，說明理由.【答案】答案見解析【解析】分別選擇①②③，根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷是否能構(gòu)成等差數(shù)列，進而得出通項公式．【詳解】若選擇條件①：因為對任意，，滿足，所以，即，因為無法確定的值，所以不一定等于，所以數(shù)列不一定是等差數(shù)列.若選擇條件②：由，則，即，，又因為，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，因此數(shù)列的通項公式為.若選擇條件③：因為所以，兩式相減得，，，即，又，即，所以，，又，，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．所以.18．已知拋物線．（1）求過點與拋物線有且只有一個公共點的直線方程；（2）過焦點作一條斜率為的直線與拋物線交于兩點，，求的長．【答案】（1），，；（2）．【解析】（1）分類討論，再設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，即可得到結(jié)論；（2）先求出直線方程，聯(lián)立方程組，求出點，的坐標，根據(jù)兩點之間的距離公式即可求出．【詳解】解：（1）由題意，斜率不存在時，直線滿足題意，斜率存在時，設(shè)方程為，代入，可得，當時，，滿足題意，當時，，，直線方程為，綜上，直線的方程為或或；（2）拋物線的焦點坐標為，則過焦點作一條斜率為的直線方程為，聯(lián)立，解得或，不妨令，，．【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．是數(shù)列的前項和，．（1）證明的等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合與的關(guān)系，求得，再根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可求解；（2）由（1）和題設(shè)條件，求得，結(jié)合成公比錯位相減法，即可求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）因為，所以時，，兩式相減，可得，即，又由當時，，也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式，又由，所以數(shù)列表示首項為，公比的等比數(shù)列.（2）由（1），可得，所以，可得，兩式相減，可得，，所以數(shù)列的前項和.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列定義及的通項公式及求和公式、以及“錯位相減法”求和的應(yīng)用，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，解答中確定通項公式是基礎(chǔ)，準確計算求和是關(guān)鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù)，能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計算能力等.20．已知函數(shù)（，實數(shù)m，n為常數(shù)）.（1）若（），且在上的最小值為0，求m的值；（2）若，函數(shù)在區(qū)間上總是減函數(shù)，求m的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求導(dǎo)，求函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得最小值，令其等于0，即可求得m的值；（2）函數(shù)在區(qū)間上總是減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題即可求解.【詳解】（1）當時，.則.令，得（舍），，①當即時，x，，的變化如下：x1（1，2m）2m（2m，+∞）f′（x） ﹣0+f（x）1+m遞減極小值遞增 ∴當時，.令，得；②當即時，在上恒成立，在上為增函數(shù)，當時，.令，得（舍）.綜上所述，所求m為；（2）對于任意的實數(shù)，在區(qū)間上總是減函數(shù)，則當，，∴在區(qū)間上恒成立.設(shè)，∵，∴在區(qū)間上恒成立.由二次項系數(shù)為正，得即，亦即，，∴當時，，當時，，∴當時，，當時，，即.【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)研究函數(shù)的最值和單調(diào)性，已知最值和單調(diào)性求參數(shù)范圍，屬于中檔題.21．已知雙曲線（1）若，求雙曲線的焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；（2）若雙曲線的離心率為，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）焦點坐標為，，頂點坐標為，，漸近線方程為；（2）.【分析】（1）根據(jù)雙曲線方程確定，即可按照概念對應(yīng)寫出焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；（2）先求（用表示），再根據(jù)解不等式得結(jié)果.【詳解】（1）當時，雙曲線方程化為，所以，，，所以焦點坐標為，，頂點坐標為，，漸近線方程為.（2）因為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題根據(jù)雙曲線方程求焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程，根據(jù)離心率求參數(shù)范圍，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.22．已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；（2）若的導(dǎo)函數(shù)存在兩個不相等的零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值為.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得出從而可求出實數(shù)的值；（2）令，可得知函數(shù)在上有兩個零點，分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性和極值，由題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值相關(guān)的不等式，解出即可得出實數(shù)的取值范圍；（3）將代入函數(shù)的解析式得出，對該函數(shù)求導(dǎo)得出，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性結(jié)合零點存在定理找出函數(shù)的極小值點，并滿足，結(jié)合此關(guān)系式計算得出，從而可得出整數(shù)的最大值.【詳解】（1），因為曲線在點處的切線方程為，所以，得；（2）因為存在兩個不相等的零點.所以存在兩個不相等的零點，則.①當時，，所以單調(diào)遞增，至多有一個零點②當時，因為當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以時，. 因為存在兩個零點，所以，解得.  因為，所以.因為，所以在上存在一個零點.  因為，所以.因為，設(shè)，則，因為，所以單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上存在一個零點.綜上可知，實數(shù)的取值范圍為；（3）當時，，，設(shè)，則.所以單調(diào)遞增，且，，所以存在使得， 因為當時，，即，所以單調(diào)遞減；當時，，即，所以單調(diào)遞增，所以時，取得極小值，也是最小值，此時，  因為，所以，因為，且為整數(shù)，所以，即的最大值為.【點睛】本題考查利用切線方程求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，同時也考考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，涉及隱零點法的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題. 

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