一、單選題
1．設(shè)是雙曲線的右焦點，為坐標原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的內(nèi)切圓與軸切于點，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出，由，通過運算得到，再利用之間的關(guān)系得到關(guān)于的方程，解出即可.
【詳解】∵F到漸近線的距離為，∴，
則△FOH的內(nèi)切圓的半徑為，
設(shè)△FOH的內(nèi)切圓與FH切于點M，則
由，得
，
即
即
即，
由，得，由于 解得，
故選：C
【點睛】對于直角三角形內(nèi)切圓半徑要記住，根據(jù)向量之間關(guān)系得到關(guān)系式，再將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次式，再利用，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，這是求解關(guān)于離心率問題的常用方法.
2．已知點A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（ ）
A．（0，1）B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），由0可得點M在射線OA上．求出直線和BC的交點N的坐標，①若點M和點A重合，求得b；②若點M在點O和點A之間，求得b； ③若點M在點A的左側(cè)，求得b＞1．再把以上得到的三個b的范圍取并集，可得結(jié)果．
【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為 1，
由于直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），
由直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，
故0，故點M在射線OA上．
設(shè)直線y＝ax+b和BC的交點為N，則由可得點N的坐標為（，）．
①若點M和點A重合，如圖：
則點N為線段BC的中點，故N（，），
把A、N兩點的坐標代入直線y＝ax+b，求得a＝b．
②若點M在點O和點A之間，如圖：
此時b，點N在點B和點C之間，
由題意可得三角形NMB的面積等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有b．
③若點M在點A的左側(cè)，
則b，由點M的橫坐標1，求得b＞a．
設(shè)直線y＝ax+b和AC的交點為P，則由 求得點P的坐標為（，），
此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即 ?（1﹣b）?|xN﹣xP|，
即（1﹣b）?||，化簡可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此時 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
兩邊開方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化簡可得 b＞1，
故有1b．
綜上可得b的取值范圍應(yīng)是 ，
故選B．
【點睛】本題主要考查確定直線的要素，點到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用，還考查了運算能力以及綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題．
3．在中，，．若空間點滿足，則直線與平面所成角的正切的最大值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】設(shè)，易知點在以為旋轉(zhuǎn)軸，底面圓半徑為的圓柱上，以所在平面為，建立空間直角坐標，則平面的法向量，設(shè)則，記直線與平面所成角為,則，令，利用換元法可得，又，則的最大值為，由此即可求出答案.
【詳解】過點作與點，過點作與點，
設(shè)，則，
又，則，
則點在以為旋轉(zhuǎn)軸，底面圓半徑為的圓柱上，
如圖所示：以所在平面為，建立空間直角坐標，則平面的法向量為：，
，
設(shè)，
則，
記直線與平面所成角為,
則，
因為，
所以，
令，則，
則，，
又，在上單調(diào)遞減。在上單調(diào)遞增，
則，
所以，當且僅當，即時，等號成立，
又，
所以直線與平面所成角的最大值為，
此時，
故選：C
4．已知梯形中，，，，，是線段的中點將沿所在的直線翻折成四面體，翻折的過程中下列選項錯誤的是（ ）
A．與始終垂直
B．當直線與平面所成角為時，
C．四面體體積的最大值為
D．四面體的外接球的表面積的最小值為
【答案】B
【分析】A選項：利用線面垂直的判定定理證明平面，即可得到；
B選項：根據(jù)題意得到為直線與平面所成角，然后根據(jù)，求即可；
C選項：根據(jù)題意得到平面平面時，四面體體積最大，然后求體積即可；
D選項：根據(jù)題意得到平面平面時，四面體外接球的表面積最小，找出半徑求表面積即可.
【詳解】
A選項：連接交于，因為，點是的中點，所以，又∥，所以四邊形為平行四邊形，因為，，所以四邊形為正方形，，即，，又，所以在翻折過程中平面，因為平面，所以，故A正確；
B選項：因為平面，平面，所以平面平面，為直線與平面所成角，在中，，所以，故B錯；
C選項：當平面平面時四面體的體積最大，此時，故C正確；
D選項：由題易知，當平面平面時，四面體外接球的表面積最小，此時球心點處，外接球半徑為1，表面積為，故D正確；
故選：B.
5．如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱的中點，Q為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中不正確的是（ ）
A．若平面，則動點Q的軌跡是一條線段
B．存在Q點，使得平面
C．當且僅當Q點落在棱上某點處時，三棱錐的體積最大
D．若，那么Q點的軌跡長度為
【答案】B
【分析】取中點，證明平面，得動點軌跡判斷A，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，由與此法向量平行確定點位置，判斷B，利用空間向量法求得到到平面距離的最大值，確定點位置判斷C，利用勾股定理確定點軌跡，得軌跡長度判斷D．
【詳解】選項A，分別取中點，連接，，由與，平行且相等得平行四邊形，所以，
平面，平面，所以平面，
連接，，，所以，同理平面，
，平面，所以平面平面，
當時，平面，所以平面，即點軌跡是線段，A正確；
選項B，以為原點，據(jù)直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設(shè)（），
，，，
設(shè)是平面的一個法向量，
則，取，則，
若平面，則，所以存在，使得，
同，解得，因此正方形內(nèi)（含邊界）不存在點，使得平面，B錯；
選項C，面積為定值，當且僅當點到平面的距離最大時，三棱錐的體積最大，，
到平面的距離為，，
時，，當時，有最大值1，
時，，時，有最大值，
綜上，時，取得最大值1，故與重合時，取得最大值，三棱錐的體積最大，C正確；
選項D，平面，平面，，
所以，所以點軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，圓心角是，軌跡長度為，D正確．
故選：B．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查空間點的軌跡問題，解題關(guān)鍵是勾畫出過且與平面平行的平面，由體積公式，在正方形內(nèi)的點到平面的距離最大，則三棱錐體積最大．
6．已知直三棱柱中，，當該三棱柱體積最大時，其外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】要使三棱柱的體積最大，則面積最大，故令，則，再結(jié)合余弦定理得，進而得，當且僅當時，取得最大值，此時為等腰三角形，，再求解三棱柱外接球的半徑即可得答案.
【詳解】解：因為三棱柱為直三棱柱，
所以，平面
所以，要使三棱柱的體積最大，則面積最大，
因為，
令
因為，所以，
在中，，
所以，，
所以，，
所以，當，即時，取得最大值，
所以，當時，取得最大值，此時為等腰三角形，，
所以，，
所以，
所以，由正弦定理得外接圓的半徑滿足，即，
所以，直三棱柱外接球的半徑，即，
所以，直三棱柱外接球的體積為.
故選：C
7．為慶祝國慶，立德中學將舉行全校師生游園活動，其中有一游戲項目是夾彈珠．如圖，四個半徑都是1cm的玻璃彈珠放在一個半球面形狀的容器中，每顆彈珠的頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個容器的容積是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)四個小球和容器的相切關(guān)系，作出對應(yīng)的正視圖和俯視圖，建立球心和半徑之間的關(guān)系即可得到容器的半徑.
【詳解】分別作出四個小球和容器的正視圖和俯視圖，如圖所示:

正視圖中小球球心B，半球球心O與切點A構(gòu)成直角三角形，則有，
俯視圖中，四個小球球心的連線圍成正方形，正方形的中心到球心的距離與正視圖中的相等， 設(shè)半球半徑為R，已知小球半徑r=1，∴ ，，，.
半球面形狀的容器的容積是.
故選：B
8．在棱長為3的正方體中，點為側(cè)面內(nèi)一動點，且滿足平面，若，三棱錐的所有頂點均在球的球面上，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】探求點的位置，結(jié)合余弦定理求出BP，AP，再由正弦定理求出的球的截面小圓半徑，然后確定球心O的位置并求出球半徑作答.
【詳解】在正方體中，連接，如圖，
對角面是矩形，有，平面，平面，則平面，
同理平面，而，平面，因此平面平面，
而平面，平面，則有平面，又點在側(cè)面內(nèi)，
側(cè)面平面，于是得點在線段上，中，，
由余弦定理得：，即，解得或，
中，，由余弦定理得：，
由正弦定理得的外接圓半徑，外接圓半徑，
令，外接圓圓心為，有平面，取中點，令外接圓圓心為 連，
則，而平面平面，平面平面，
因此平面，平面，又平面，從而有，
即四邊形為平行四邊形，，
球O的半徑R，有，
所以球的表面積為.
故選：C
【點睛】關(guān)鍵點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.
二、多選題
9．已知正四棱臺的所有頂點都在球的球面上，，為內(nèi)部（含邊界）的動點，則（ ）
A．平面B．球的表面積為
C．的最小值為D．與平面所成角的最大值為60°
【答案】ACD
【分析】對于A，利用平行四邊形證得，進而證得平面；
對于B，先假設(shè)的位置，利用勾股定理與半徑相等得到及，解得，進而確定的位置，故可求得球的表面積為；
對于C，先判斷落上，再進一步判斷與重合時，取得最小值為；
對于D，利用面面垂直的性質(zhì)作出面，故為與平面所成角，再利用得知當與重合時，取得最大值，再利用對頂角相等求得此時，進而得到的最大值為.
【詳解】對于A，如圖1，
由棱臺的結(jié)構(gòu)特征易知與的延長線必交于一點，故共面，
又面面，而面面，面面，故，即；
由平面幾何易得，即；
所以四邊形是平行四邊形，故，
而面，面，故平面，故A正確；
.
對于B，如圖2，設(shè)為的中點，為正四棱臺外接球的球心，則，
在等腰梯形中，易得，即，
為方便計算，不妨設(shè)，則由，
即，即，又，
解得，即與重合，故，
故球的表面積為，故B錯誤；
.
對于C，由圖2易得，，，面，
故面，
不妨設(shè)落在圖3處，過作，則面，故，
故在中，（勾股邊小于斜邊）；同理，，
所以，故動點只有落在上，才有可能取得最小值；
再看圖4，由可知，
故，故C正確，
.
對于D，由選項C可知，面，面，故面面，
在面內(nèi)過作交于，如圖5，
則面，面面，故面，故為與平面所成角，
在中，，故當取得最小值時，取得最大值，即取得最大值，
顯然，動點與重合時，取得最小值，即取得最大值，且，
在中，，，，故為正三角形，即，即與平面所成角的最大值為，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于確定的位置，先假設(shè)在外（記為），由勾股邊小于斜邊推得，進而得到只有落在上，再利用為定值及基本不等式，推得與重合時，取得最小值；對于動點，我們一般要考慮特殊位置，可提高我們做題速度.
10．已知點，點是雙曲線：左支上的動點，為其右焦點，是圓：上的動點，直線交雙曲線右支于（為坐標原點），則（ ）
A．過點作與雙曲線有一個公共點的直線恰有條
B．的最小值為
C．若的內(nèi)切圓與圓外切，則圓的半徑為
D．過作軸垂線，垂足為（與不重合），連接并交雙曲線右支于，則（為直線斜率，為直線斜率）
【答案】BD
【分析】根據(jù)點的位置可確定與雙曲線有一個公共點的直線條數(shù)，知A錯誤；
根據(jù)，，結(jié)合雙曲線定義可知B正確；
設(shè)圓，由兩圓外切可構(gòu)造方程求得圓的半徑，知C錯誤；
設(shè)，可求得，，從而將化為，利用基本不等式可求得D正確.
【詳解】
對于A，雙曲線的漸近線方程為，點在雙曲線外，
過可作平行于漸近線的兩條直線與雙曲線有且僅有一個交點；
又過可作雙曲線的兩條切線，與雙曲線有且僅有一個交點，
過點作與雙曲線有一個公共點的直線恰有條，A錯誤；
對于B，由雙曲線方程知其焦點為，圓的圓心為雙曲線的左焦點，
；
（當且僅當三點共線時取等號），
（當且僅當三點共線時取等號），
，B正確；
對于C，由雙曲線焦點三角形性質(zhì)可知：的內(nèi)切圓的圓心必在上，
可設(shè)，則圓的半徑為，
圓與圓相外切，，解得：，
即的內(nèi)切圓的半徑為，C錯誤；
對于D，設(shè)，，，則，，，
；
又，，
，D正確.
故選：BD.
11．已知拋物線的焦點為F，過F的直線與拋物線相交于A，B兩點.過A，B兩點分別作拋物線的切線，兩切線交于點Q.直線l為拋物線C的準線，與x軸交于點D，則（ ）
A．當時，B．若，P是拋物線上一個動點，則的最小值為2
C．D．若點Q不在坐標軸上，直線AB的傾斜角為，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合導數(shù)的幾何意義、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系逐一判斷即可.
【詳解】設(shè)，，直線AB為，則整理得，，，.
當時，則，故，，∴，故，∴，故A正確；
M到拋物線準線的距離為，結(jié)合拋物線的定義可知，當P的縱坐標為1時，的最小值是，故B錯誤；
不妨設(shè)A在第一象限，B在第四象限，則，，，則點A處切線斜率，，，則點B處切線斜率，所以，又因為，所以，所以，故C正確；
不妨設(shè)A在第一象限，B在第四象限，記直線AD與直線BD的傾斜角為，，
，因為直線AB傾斜角為，則，故，故D正確.
故答案為：ACD
【點睛】關(guān)鍵點睛：利用導數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵.
12．拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于兩點，點在拋物線上，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則的最小值為4
B．當時，
C．若，則的取值范圍為
D．在直線上存在點，使得
【答案】BC
【分析】對A，根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化求解最小值即可；對B，根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系可得直線傾斜角，再根據(jù)拋物線焦點弦長公式求解即可；對C，根據(jù)拋物線的定義可得，再分析臨界條件求解即可；對D，
【詳解】對A，如圖，由拋物線的定義，的長度為到準線的距離，故的最小值為與到準線距離之和，故的最小值為到準線距離 ，故A錯誤；
對B，不妨設(shè)在第一象限，分別過作準線的垂線，垂足，作.則根據(jù)拋物線的定義可得，故
.
故，所以.故B正確；
對C，過作垂直于準線，垂足為，則，由圖易得，故隨的增大而增大，當時在點處，此時取最小值1；當與拋物線相切時最大，此時設(shè)方程，聯(lián)立有，，此時解得，不妨設(shè)則方程，此時傾斜角為，.
故的取值范圍為，故C正確；
對D， 設(shè)，中點，故到準線的距離，又，故，故以為直徑的圓與準線相切，又滿足的所有點在以為直徑的圓上，易得此圓與無交點，故D錯誤；
故選：BC
三、填空題
13．三棱錐中，頂點P在平面ABC的射影為O，滿足，A點在側(cè)面PBC上的射影H是的垂心，，此三棱錐體積的最大值是____________.
【答案】36
【分析】由題設(shè)O是的重心，連接并延長交于，連接并延長交于，易得分別是、中點，再應(yīng)用線面垂直的判定、性質(zhì)求證、，即可知為等邊三角形，設(shè)其邊長為，利用棱錐體積公式得，應(yīng)用三元基本不等式求最大值，注意取值條件.
【詳解】由P在平面ABC的射影為O，且，
所以O(shè)是的重心，連接并延長交于，連接并延長交于，
則分別是、中點，
由面，面，則，
又H是的垂心，則，
而，面，所以面，
由面，故，
由面，面，則，
又，面，則面，
由面，所以，
而面，則，又，，面，
所以面，面，則，
而面，則，
又，面，則面，
由面，則，即，
根據(jù)，，分別為、中點，故為等邊三角形，
設(shè)邊長為，則，故，又，
所以，則，
故，當且僅當，即時等號成立，
所以三棱錐體積的最大值是36.
故答案為：36
【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先要判定為等邊三角形，再設(shè)的邊長，結(jié)合錐體體積公式、基本不等式求體積最大值.
14．三棱錐中，，底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點，且，若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為___________.
【答案】##
【分析】先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解；
【詳解】為邊長為2的等邊三角形，
為正三棱錐，
，又分別為中點，
，
，又
平面平面，
為正方體一部分，
故，即，
∵為三棱錐外接球上的動點，
∴當位于正方體的如圖所示的頂點處，點到平面距離最大，設(shè)為，
∴可求得三棱錐的體積為：，
∴，
解得：
故答案為：
【點睛】求解立體幾何外接球問題，根據(jù)題目特征作出輔助線，找到球心，求出半徑，或補形為長方體或正方體，進而求出表面積或體積.
15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點作直線分別交雙曲線左支和一條漸近線于點（在同一象限內(nèi)），且滿足． 聯(lián)結(jié)，滿足． 若該雙曲線的離心率為，求的值_______．
【答案】
【分析】先假設(shè)，由得，再由點在雙曲線上，得到，進而得到，又由點在漸近線上，得到，平方后將，代入得到齊次方程，求得，再平方即可求得離心率.
【詳解】不妨設(shè)，由得，化簡得（1）， 在雙曲線上，所以，即， 代入（1）解得，
，又在漸近線上，，即．
兩邊平方得（2）
將和代入（2）得
化簡得，解得，即． 化簡得
故答案為：
【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．
16．阿波羅尼奧斯在其著作《圓錐曲線論》中提出：過橢圓上任意一點的切線方程為．若已知△ABC內(nèi)接于橢圓E：，且坐標原點O為△ABC的重心，過A，B，C分別作橢圓E的切線，切線分別相交于點D，E，F(xiàn)，則______．
【答案】4
【分析】設(shè)、、，由重心的性質(zhì)有、、，寫出過切線方程并求交點坐標，進而判斷△重心也為O，再由在橢圓上可得、、共線，即分別是的中點，即可確定面積比.
【詳解】若、、，則的中點、、，
由O為△ABC的重心，則、、，
所以、、，可得，
由題設(shè)，過切線分別為、、，
所以，，，
所以，同理，即△重心也為O，
又、、，可得、、，
所以，同理可得、，
所以、、共線，
綜上，分別是的中點，則
【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)點坐標及過切線方程，并求出坐標，利用重心的性質(zhì)確定△重心為O，并求證分別是的中點即可.
四、解答題
17．已知、分別是橢圓的左右頂點，為坐標原點，，點在橢圓上．過點，且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于、兩個不同的點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若點落在以線段為直徑的圓的外部，求直線的斜率的取值范圍；
(3)當直線的傾斜角為銳角時，設(shè)直線、分別交軸于點、，記，，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)長軸長求出，再代入，求出，得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，先根據(jù)根的判別式求出的取值范圍，
再根據(jù)點落在以線段為直徑的圓的外部，則，列出不等式，求出的取值范圍；
（3）先設(shè)出直線的方程，求出點S坐標，同理求出點T為，根據(jù)向量關(guān)系得到，結(jié)合的范圍求出的范圍.
【詳解】（1）因為，所以；
又點在圖像上即，所以，
所以橢圓的方程為；
（2）由（1）可得
設(shè)直線，設(shè)、，
由得，
解得或①
∵點在以線段為直徑的圓的外部，則，
又②
解得或
由①②得
（3）設(shè)直線，又直線的傾斜角為銳角，由（2）可知，
記、，所以直線的方程是：，直線的方程是：.
令，解得，所以點S坐標為；同理點T為.
所以，，.
由，，可得：，，
所以，
由（2）得，，
所以

，
因為，所以，，
故的范圍是.
【點睛】對于直線與圓錐曲線結(jié)合，求解取值范圍問題，通常思路為設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再根據(jù)題干條件列出方程，求出答案.
18．已知點在橢圓C：（）上，橢圓C的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，的面積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓O：（）相切，試判斷直線AB是否過定點，并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)
(2)過定點，證明見解析
【分析】（1）結(jié)合題意，可得關(guān)于的方程，解之可得橢圓C的方程；
（2）先由直線與圓相切可得，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理分別求出，，，，代入可得的關(guān)系式，進而可得直線AB過定點.
【詳解】（1）由題知，，的面積等于，
所以，解得，所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，
由題知，所以，
所以，同理，，
所以是方程的兩根，所以.
設(shè)，設(shè)直線的方程為，
將代入，得，
所以，①
②
所以，③
，④
又因為，⑤
將①②③④代入⑤，化簡得，
所以，所以，
若，則直線，此時過點，舍去.
若，則直線，此時恒過點，
所以直線過定點.
【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
19．已知橢圓的離心率為，橢圓C與y軸交于A，B兩點，且．
(1)求橢圓C的方程．
(2)設(shè)點P是橢圓C上的一個動點，且點P在y軸的右側(cè)．直線PA，PB與直線分別交于M，N兩點．若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點E，F(xiàn)，求點P橫坐標的取值范圍及的最大值．
【答案】(1)
(2)橫坐標的取值范圍為，的最大值為2
【分析】（1）根據(jù)離心率及短軸長求出，，求出橢圓方程；
（2）解法1：設(shè)出P的坐標為，，得到PA，的方程，進而求出的坐標，表達出圓的方程，根據(jù)圓與軸有兩個交點得到，利用求出最大值；
解法2：同解法1，表達出的坐標，根據(jù)以MN為直徑的圓與x軸相交列出不等式，求出，利用垂徑定理得到，求出最大值；
解法3：同解法1，表達出的坐標，根據(jù)半徑大于圓心到軸的距離列出不等式，求出，利用垂徑定理得到，求出最大值；
解法4：同解法1，，表達出的坐標，根據(jù)垂直關(guān)系得到，從而得到，求出，根據(jù)表達出的長，并求出最大值；
解法5：：設(shè)直線OP與交于點T，根據(jù)相似得到T是MN的中點，求出T，
得到半徑，根據(jù)點到軸距離小于半徑，結(jié)合得到，
利用垂徑定理得到，求出最大值.
【詳解】（1）由題意，可得，，得，解得：．
橢圓C的標準方程為．
（2）解法1：設(shè)點P的坐標為，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為．
∴，直線PA的方程為，同理：直線PB的方程為．
直線PA與直線的交點為；
直線PB與直線的交點為．
∵線段MN的中點坐標為，
∴圓的方程為．
令，則．
∵，
∴，
∴．
∵這個圓與x軸相交，該方程有兩個不同的實數(shù)解，
∴，解得．
設(shè)交點坐標分別為，，則．
∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．
解法2：設(shè)點P的坐標為，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為．
∴，直線PA的方程為，同理：直線PB的方程為．
直線PA與直線的交點為；
直線PB與直線的交點為．
若以MN為直徑的圓與x軸相交，則，
即，即．
∵，
∴，代入得到，解得．
該圓的直徑為；
圓心到x軸的距離為；
該圓在x軸上截得的弦長為．
∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．
解法3：設(shè)點P的坐標為，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為．
∴，直線PA的方程為
同理：直線PB的方程為．
直線PA與直線的交點為；
直線PB與直線的交點為．
∴．
圓心到x軸的距離為．
若該圓與x軸相交，則，即．
∵，
∴，
∴，解得．
該圓在x軸上截得的弦長為．
∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．
解法4：記點D的坐標為（2，0），點H的坐標為（4，0），設(shè)點P的坐標為，點M的坐標為，點N的坐標為．
由已知可得點A的坐標為（0，1），點B的坐標為．
∴AP的直線方程為，BP的直線方程為．
令，分別可得，．
∴點M的坐標為，點N的坐標為．
若以MN為直徑的圓與x軸相交于點E，F(xiàn)，
∵，
∴．
．
∵，
∴，代入得到，
∴．
∴．
∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．
解法5：設(shè)直線OP與交于點T．
∵軸，
∴有，．
∴，，即T是MN的中點．
又設(shè)點P的坐標為，則直線OP方程為．
令，得，∴點T的坐標為．
而，若以MN為直徑的圓與x軸相交于點E，F(xiàn)，則，即．
∵，
∴，
∴，解得或．
∵，∴，∴．
∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．
【點睛】圓錐曲線與圓結(jié)合的題目，要充分利用圓的幾何性質(zhì)進行求解，本題中使用圓心到直線的距離小于半徑來求解軸與圓相交，從而求出，利用垂徑定理求解弦長，進而求出最大值.
20．平面直角坐標系中，已知點.點滿足，記點的軌跡.
(1)求的方程；
(2)設(shè)點與點關(guān)于原點對稱，的角平分線為直線，過點作的垂線，垂足為，交于另一點，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義得到點的軌跡為以為焦點的雙曲線的右支，求出，得到軌跡方程；
（2）設(shè)出，，，根據(jù)角平分線的條件，結(jié)合向量投影
模長相等得到，從而求出，點坐標，確定直線的方程，由點到直線距離
公式求出，再求出直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用
弦長公式求出，結(jié)合基本不等式求出，最后求出的最大值.
【詳解】（1）由題意得：，，
所以點的軌跡為以為焦點的雙曲線的右支，
即，
所以的方程為；
（2）由對稱性，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)，則，
設(shè)直線的斜率為，記，由為的角平分線，
則，其中，，
所以，
同理得：，
，
代入中，，
化簡得：，
將代入，中，解得：，
所以，，
設(shè)直線的方程為，將代入，解得：，
所以直線的方程為，
由點到直線距離公式得：，
由直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，
將點代入，解得：，
所以直線的方程為，將其與聯(lián)立得：
，
設(shè)，
則，
由可知：，又，所以，
，
由均值不等式，，當且僅當，
即時，等號成立，因為，故，
所以，當且僅當時，等號成立，
的最大值為.
【點睛】本題難點在于如何處理角平分線這個條件，采用了向量投影的模長相等來進行求解，計算量小且易操作，屬于點睛之筆.
21．一個楔子形狀幾何體的直觀圖如圖所示，其底面 為一個矩形，其中 ，，頂部線段 平面，棱 ，二面角 的余弦值為 ，設(shè) ， 分別是 ， 的中點.
(1)證明：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）先由線面平行的性質(zhì)定理證得，得四點共面，再由線面垂直的判定定理得到面，進而由面面垂直的判定定理得到結(jié)論.
（2）先結(jié)合（1）中結(jié)論證得面，進而證得二面角的平面角為，故求得所需線段的長度，建立空間直角坐標系，求得與面的法向量，利用空間向量數(shù)量積運算即可求得直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】（1）因為平面，且平面，又因為平面平面，所以，
又是矩形兩邊的中點，所以，
所以，故四點共面，
因為，是的中點，所以，
在矩形中，故，
又面，
所以面，
又因為面，所以平面平面.
（2）在平面內(nèi)過做的垂線，垂足為，則由（1）可知面，故，
又，面，所以面，
又因為，所以二面角的平面角為，故，
在中，，
在中，，，
過做邊的垂線，垂足為，以為坐標原點,以方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，
則，
故，，
設(shè)平面的一個法向量為，則，即，
令，得，
設(shè)直線與平面所成角為，則.
22．如圖，已知四棱錐中，平面，平面平面，且，，，點在平面內(nèi)的射影恰為的重心.
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）過作于， 利用面面垂直的性質(zhì)定理可知平面，進而可知，又由已知可知，再利用線面垂直的判定定理證得平面，進而證得；
（2）連結(jié)并延長交于，連結(jié)，以為原點，分別以，所在的直線為，軸，以過且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，即，再利用向量夾角公式即可求得直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】（1）過作于，
因為平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，.
又平面，平面，，
又，平面，
平面，.
（2）連結(jié)并延長交于，連結(jié)，以為原點，
分別以，所在的直線為，軸，以過且與平面垂直的直線為軸，
建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，設(shè)，
平面，平面，，同理，
又，平面，，
又是的重心，是的中點，，由（1）知，，
， ，，
，解得，，
設(shè)，則，故，
，，，，
，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
故直線與平面所成角的正弦值為.
【點睛】方法點睛：本題考查線線垂直，及線面角的求法，利用空間向量求立體幾何?？疾榈膴A角：
設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則
①兩直線所成的角為(),；
②直線與平面所成的角為(),；
③二面角的大小為(),

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