?2022-2023學(xué)年度第一 學(xué)期
高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科第一次考試（人教A版九~十章、選擇性必修1第一章）
一、單項選擇題（每小題5分 共60分）
1.以下事件是隨機(jī)事件的是( )
A.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會沸騰 B.走到十字路口，遇到紅燈
C.長和寬分別為的矩形，其面積為 D.實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根
2.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為,前4個病人都沒有治好,第5個病人的治愈率為(?? )
A. B. C. D.
3.某市新上了一批便民公共自行車,有綠色和橙黃色兩種顏色,且綠色公共自行車和橙黃色公共自行車的數(shù)量比為,現(xiàn)在按照分層抽樣的方法抽取36輛這樣的公共自行車放在某校門口,則其中綠色公共自行車的輛數(shù)是(???)
A.8? B.12 C.16 D.24
4.已知樣本,的平均數(shù)是4,方差是2,則另一樣本的平均數(shù)和方差分別為( )
A.12,2 B.14,6 C.12,8 D.14,18
5.某同學(xué)使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時,錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15,那么由此求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差是(?? )
A.3.5??????B.3????????C.???????D.
6.已知空間向量和實(shí)數(shù),則下列說法正確的是( )
A.若,則或 B.若,則或
C.若,則或 D.若,則
7.已知，是空間兩個不共線的向量，，那么必有( )
A.，共線 B.，共線 C.，，共面 D.，，不共面
8.設(shè)直線，的方向向量分別為，，若，則實(shí)數(shù)m等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知向量與平行，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．2 B．-2 C． 20 D．-20
10.已知平面內(nèi)兩向量,若為平面的法向量且，則的值分別為( )
A. B. C.1，2 D.
11.(多選題)已知空間中兩條不同的直線,m,兩個不同的平面α,β,則下列說法中錯誤的是(　 )
A.若直線的一個方向向量為a=(1,-1,2),直線m的一個方向向量為b=(2,-2,4),則∥m
B.若直線的方向向量為a=(0,1,-1),平面α的法向量為n=(1,-1,-1),則∥α
C.若平面α,β的法向量分別為n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),則α∥β
D.若平面α經(jīng)過三個點(diǎn)A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一個法向量,則u+t=1
12.(多選題) 關(guān)于四面體P-ABC的下列四個說法中正確的是 (　 )
A.若AD= 13AC+23AB,則BC=3BD
B.若Q為△ABC的重心,則PQ= 13PA+13PB+13PC
C.若PA·BC=0,PC·AB=0,則PB·AC=0
D.若四面體P-ABC的各棱長都為2,M,N分別為PA,BC的中點(diǎn),則|MN|=1
二、填空題(每小題5分，共20分）
13.已知幾何體ABCD-A'B'C'D'是平行六面體,給出下列四個說法:①AB-CB=AC;
②AC'=AB+B'C'+CC';③AA'=CC';④AB+BB'+BC+C'C=AC'.其中正確說法的序號是　　　　.?
14.已知平面α的一個法向量為n=(2,1,2),點(diǎn)A(-2,3,0)在α內(nèi),則P(1,1,4)到α的距離______?！?br /> 15.在三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=PB=PC=1,則點(diǎn)P到平面ABC的距離________.
16.如圖,在正方體OABC-O1A1B1C1中,點(diǎn)G為△ACO1的重心,若OA=a,OC=b,OO1=c,OG=xa+yb+zc,則x+y+z=　　　　.
三、解答題（17題10分，其他每小題12分，共70分）
17.甲、乙兩名同學(xué)參加投籃比賽,甲投中的概率為0.8,乙投中的概率為0.9,
求:(1)2人都投中的概率; (2)2人中至少有1人投中的概率.



18.為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力,隨機(jī)抽查了20名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量,得到頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量在[55,75)內(nèi)的人數(shù);
(2)求這20名工人一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量的中位數(shù);
(3)求這20名工人一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量的平均數(shù).


19.某班50名學(xué)生在一次百米測試中成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間,將測試結(jié)果按如下方式分成六組:第一組,成績大于或等于13秒且小于14秒;第二組,成績大于或等于14秒且小于15秒;…;第六組,成績大于或等于18秒且小于或等于19秒.如圖G9-2是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)估計此次百米測試成績的中位數(shù)(精確到0.01);
(2)為了盡快提高學(xué)生的體育成績,對此次百米測試成績不小于17秒的兩組學(xué)生進(jìn)行特訓(xùn),特訓(xùn)一段時間后有2名學(xué)生成績符合要求(小于17秒),求這2名學(xué)生來自同一組的概率.














20.設(shè)x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥b,b∥c.
(1)求a+b;
(2)求向量a+b與2a+b-c夾角的大小.










21.如圖,在三棱錐P-ABC中,三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=PB=PC=3,G是△PAB的重心,E,F分別為棱BC,PB上的點(diǎn),且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.
求證:(1)平面GEF⊥平面PBC; (2)EG與直線PG和BC都垂直.












22.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O為AC的中點(diǎn).在BC1上是否存在一點(diǎn)E,使得OE∥平面A1AB?若不存在,說明理由;若存在,確定點(diǎn)E的位置.


















海林朝中高中數(shù)學(xué)答題卡
姓名________班級______
一. 選擇題（12×5=60分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案













二. 填空題 （4×5=20分）
13._____________ 14._____________
15.____________ 16.______________
三. 解答題 （共70分）
17.



18.












19.











20.









21.



















22.

















答案


1.答案：B解析：標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必會沸騰，是必然事件；走到十字路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件；長和寬分別為的矩形，其面積為是必然事件；實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根，是必然事件。
2.B治愈率為,表明每個病人被治愈的概率為,并不是5個人中必有1個人被治愈,故選B.
3.答案：D解析：設(shè)放在該校門口的綠色公共自行車的輛數(shù)是,則,解得
4.答案：D解析：由平均數(shù)與方差的性質(zhì)可知,故選D.
5.答案：D解析：錯將數(shù)據(jù)輸入為,則平均數(shù)少.即與實(shí)際平均數(shù)的差是.
6.答案：B解析：對于選項A,若,則或或,故A錯誤;對于選項C,由,得,即可得其模相等,但方向不確定,故C錯誤;對于選項D,由,得,則或或,故D錯誤;對于選項B,由,可得或,故B正確,故選B.
7.答案：C 解析：由共面向量定理知，，，共面.
8.答案：B解析：因為，所以，則，解得，故選B.
9.答案：A
10.答案：A
解析：.由為平面的法向量,得,即,解得.
11.BCD　[解析] 對于A,b=2a,則a∥b,∴l(xiāng)∥m,故A中說法正確;對于B,a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,則a⊥n,∴l(xiāng)∥α或l?α,故B中說法錯誤;對于C,若n1=λn2(λ≠0),則(0,1,3)=λ(1,0,2),得0=λ,1=0,3=2λ,此方程組無解,∴α∥β不成立,故C中說法錯誤;對于D,AB=(-1,-1,1),BC=(-1,3,0),∵n=(1,u,t)是平面α的法向量,∴n·AB=-1-u+t=0,n·BC=-1+3u=0,解得u=13,t=43,∴u+t=53,故D中說法錯誤.故選BCD.
12.ABC　[解析] 對于A,由AD=13AC+23AB,得3AD=AC+2AB,則可得2AD-2AB=AC-AD,所以2BD=DC,故2BD=BC-BD,所以BC=3BD,故A正確;對于B,因為Q為△ABC的重心,所以QA+QB+QC=0,所以3PQ+QA+QB+QC=3PQ,整理得PQ=13PA+13PB+13PC,故B正確;對于C,由PA·BC=0,PC·AB=0,得PA·BC+PC·AB=0,所以PA·BC+PC·(AC+CB)=0,整理得(PA-PC)·BC+PC·AC=0,所以CA·BC+PC·AC=0,即AC·CB+PC·AC=0,整理得PB·AC=0,故C正確;對于D,由題可知,四面體P-ABC的各個面均為正三角形,則|PA|=|PB|=|PC|=2,PA,PB,PC兩兩之間的夾角均為60°,連接PN,因為MN=PN-PM=12(PB+PC)-12PA=12(PB+PC-PA),且|PB+PC-PA|=|PA|2+|PB|2+|PC|2-2PA·PB-2PA·PC+2PB·PC=22,所以|MN|=2,故D錯誤.故選ABC.
二、填空題(每小題5分，共20分）
13.①②③　[解析] AB-CB=AB+BC=AC,①正確;AB+B'C'+CC'=AB+BC+CC'=AC',②正確;③顯然正確;AB+BB'+BC+C'C=(AB+BC)+(BB'+C'C)=AC,④不正確.故填①②③.　
14.[解析] 連接AP,AP=(1,1,4)-(-2,3,0)=(3,-2,4),則P(1,1,4)到平面α的距離d=|n·AP||n|=6-2+822+1+22=4.
15.　[解析] 以P為原點(diǎn),PA,PB,PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),所以PA=(1,0,0),AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1).設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則n·AB=0,n·AC=0,即-x+y=0,-x+z=0,令x=1,得平面ABC的一個法向量為n=(1,1,1),所以點(diǎn)P到平面ABC的距離d=|PA·n||n|=33.





16.1　[解析] 易知△ACO1為正三角形,如圖,連接BO交AC于點(diǎn)M,連接O1M,顯然點(diǎn)G在線段O1M上,且滿足O1G=2GM,即OG-OO1=2(OM-OG),整理得OG=23OM+13OO1,所以有
OG=23×12(OA+OC)+13OO1=13a+13b+13c,所以x=y=z=13,則x+y+z=1.


三、解答題（17題10分，其他每小題12分，共70分）
17.解:(1)設(shè)“甲投中”為事件A,“乙投中”為事件B, 則A與B為相互獨(dú)立事件,
∴兩人都投中的概率P(AB)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72.
(2)∵“2人中至少有1人投中”與“2人都未投中”為對立事件,
事件“2人都未投中”的概率為0.2×0.1=0.02,
∴2人中至少有1人投中的概率為1-0.02=0.98.

18.解:
(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量在[55,75)內(nèi)的人數(shù)為(0.04×10+0.025×10)×20=13.
(2)設(shè)中位數(shù)為x,則0.2+(x-55)×0.04=0.5,解得x=62.5.
(3)這20名工人一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量的平均數(shù)為0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64.
19.解:(1)前兩組的頻率和為0.02+0.18=0.2,前三組的頻率和為0.02+0.18+0.36=0.56,
所以估計中位數(shù)為15+0.5-0.20.36≈15.83.
(2)由已知得,第五組的頻數(shù)為50×0.06×1=3,
同理第六組的頻數(shù)為2,
記第五組的學(xué)生為a1,a2,a3,第六組的學(xué)生為b1,b2.
對成績不小于17秒的兩組學(xué)生進(jìn)行特訓(xùn),特訓(xùn)一段時間后有2名學(xué)生成績符合要求,則樣本空間Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},共10個樣本點(diǎn).
記事件A=“2名學(xué)生來自同一組”,則A={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(b1,b2)},共4個樣本點(diǎn),
故P(A)=410=25,
即這2名學(xué)生來自同一組的概率為25.
20.解:(1)由x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥b,b∥c,可得x+y+1=0,12=y-4=12,解得x=1,y=-2,則a=(1,1,1),b=(1,-2,1),所以a+b=(2,-1,2),故|a+b|=22+(-1)2+22=3.
(2)因為2a+b-c=(1,4,1),所以(a+b)·(2a+b-c)=2×1+(-1)×4+2×1=0,故向量a+b與2a+b-c的夾角為π2.

21.證明:(1)以P為原點(diǎn),PA,PB,PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則P(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),∴EF=(0,-1,-1),EG=(1,-1,-1).設(shè)平面GEF的法向量為n=(x,y,z),
則n·EF=0,n·EG=0,即y+z=0,x-y-z=0,取y=1,得n=(0,1,-1).顯然PA=(3,0,0)是平面PBC的一個法向量.∵n·PA=0,∴n⊥PA,∴平面GEF⊥平面PBC.
(2)由(1)知,EG=(1,-1,-1),PG=(1,1,0),BC=(0,-3,3),∴EG·PG=0,EG·BC=0,∴EG⊥PG,EG⊥BC,∴EG與直線PG和BC都垂直.

22.解:連接OA1,因為A1A=A1C,且O為AC的中點(diǎn),所以A1O⊥AC.又平面AA1C1C⊥平面ABC,交線為AC,且A1O?平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABC.連接OB,由AB=BC,得OB⊥AC,所以以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意可知,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,所以O(shè)B=12AC=1,所以O(shè)(0,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,3),C1(0,2,3),B(1,0,0),則AA1=(0,1,3),AB=(1,1,0).設(shè)平面A1AB的法向量為n=(x,y,z),則有n·AA1=0,n·AB=0,即y+3z=0,x+y=0,
令y=1,得x=-1,z=-33,所以n=-1,1,-33.設(shè)E(x0,y0,z0),BE=λBC1(0≤λ≤1),由BC1=(-1,2,3),得(x0-1,y0,z0)=λ(-1,2,3),所以x0=1-λ,y0=2λ,z0=3λ,所以E(1-λ,2λ,3λ),所以O(shè)E=(1-λ,2λ,3λ),
由OE∥平面A1AB,得OE·n=0,即-1+λ+2λ-λ=0,得λ=12,
所以存在這樣的點(diǎn)E,E為BC1的中點(diǎn).





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