2022-2023學(xué)年河南金太陽聯(lián)考創(chuàng)新聯(lián)盟高二上學(xué)期11月第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份2022-2023學(xué)年河南金太陽聯(lián)考創(chuàng)新聯(lián)盟高二上學(xué)期11月第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版），共17頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學(xué)年河南金太陽聯(lián)考創(chuàng)新聯(lián)盟高二上學(xué)期11月第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．橢圓的短軸長為（    ）A．3 B．6 C． D．【答案】D【分析】將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出答案.【詳解】，即，故橢圓的短軸長為．故選：D.2．圓與圓的位置關(guān)系為（    ）A．相離 B．外切 C．內(nèi)切 D．相交【答案】C【分析】根據(jù)兩圓的圓心距以及圓的半徑和和半徑差的大小關(guān)系確定兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓：的圓心為，半徑為.圓：即的圓心為，半徑為.故，，所以圓M與圓N內(nèi)切．故選：C.3．已知數(shù)列的前n項和，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得答案.【詳解】因，則．故選：C4．在正四面體中，F是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用空間向量加減法的運(yùn)算法則即可得解.【詳解】依題意，結(jié)合圖形可得，．故選：A.5．已知兩條平行直線，間的距離為，則（    ）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】由直線的平行關(guān)系，可求出a的值，再利用平行直線的距離公式，求出b的值，即可求解.【詳解】因為，所以，即，因為直線與間的距離為，解得或，所以，故選：B.6．已知數(shù)列滿足，且，則的通項公式（    ）A．n B． C． D．【答案】A【分析】將代入求出，得到數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求出通項公式.【詳解】由題意可得，解得，則，所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，．故選：A7．已知雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為，且與直線無交點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)，求出點(diǎn)到雙曲線焦點(diǎn)距離的最小值為，再利用直線與雙曲線無公共點(diǎn)可得出，可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合可得出的取值范圍.【詳解】設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)雙曲線的右焦點(diǎn)為，若取最小值，則點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，聯(lián)立可得，因為與直線無交點(diǎn)，則，即，因為，解得.故選：B.8．如圖，圓錐的軸截面是正三角形，為底面圓的圓心，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面圓的圓周上，且是等腰直角三角形，則直線與所成角的余弦值為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】作中點(diǎn)，則直線與所成角為，由幾何關(guān)系求出三邊長，結(jié)合余弦定理得解.【詳解】如圖，作中點(diǎn)，連接，因為為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，則線與所成角等價于與所成角，設(shè)，則，，，，，則，所以直線與所成角的余弦值為.故選：C9．已知直線與圓相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為圓上一動點(diǎn)，則面積的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用點(diǎn)線距離公式算得圓心到直線的距離，從而利用弦長公式求得，再利用圓上動點(diǎn)到直線的距離的最值求法求得點(diǎn)P到直線的最大距離，由此可求得面積的最大值.【詳解】因為圓，所以圓心為，半徑為，如圖，所以圓心到直線的距離，則，又點(diǎn)P到直線的距離的最大值為，所以面積的最大值．故選：A..10．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是C上位于第一象限的一點(diǎn)，且，則的面積為（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理、雙曲線定義求出，再利用三角形的面積公式計算可得答案.【詳解】因為，所以，由雙曲線的定義可得，所以，解得，故的面積為．故選：B.11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，N為C上一點(diǎn)，且N在第一象限，直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與x軸平行的直線與C交于點(diǎn)P，若，則直線的斜率為（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】過N作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，根據(jù)拋物線的定義以及兩直線平行內(nèi)錯角相等、等腰三角形的性質(zhì)可得，通過直線的傾斜角為即可得結(jié)果.【詳解】如圖，過N作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，則．又因為，所以．因為，即所以，即．直線的斜率為．故選：D.12．《瀑布》（圖1）是埃舍爾為人所知的作品．畫面兩座高塔各有一個幾何體，右塔上的幾何體首次出現(xiàn)，后稱“埃舍爾多面體”（圖2）．埃舍爾多面體可以用兩兩垂直且中心重合的三個正方形構(gòu)造，定義這三個正方形的頂點(diǎn)為“框架點(diǎn)”，定義兩正方形的交線為“極軸”，其端點(diǎn)為“極點(diǎn)”，記為，將極點(diǎn)分別與正方形的頂點(diǎn)連線，取其中點(diǎn)記為，如圖3．埃舍爾多面體可視部分是由12個四棱錐構(gòu)成的，這些四棱錐頂點(diǎn)均為“框架點(diǎn)”，底面四邊形由兩個“極點(diǎn)”與兩個“中點(diǎn)”構(gòu)成，為了便于理解，在圖4中構(gòu)造了其中兩個四棱錐與，則直線與平面所成角的正弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，以及平面的法向量和直線的方向向量，利用向量法即可求得結(jié)果.【詳解】以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，，則，，．設(shè)平面的法向量為，則，即令，可得．則，故直線與平面所成角的正弦值為．故選：A. 二、填空題13．過點(diǎn)，且斜率為2的直線的一般式方程為________________．【答案】【分析】由點(diǎn)斜式寫出直線方程，再化為一般形式即可.【詳解】因為直線過點(diǎn)，且斜率為2，所以直線的點(diǎn)斜式方程為，所以直線的一般方程為．故答案為：.14．在棱長為1的正四面體中，E，F分別是的中點(diǎn)，則________________．【答案】##【分析】將分別用與表示出來，然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義計算即可得到結(jié)果.【詳解】．故答案為:15．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為且，當(dāng)取最大值時，的值為________________．【答案】【分析】根據(jù)題意，用首項表示公差，代入前項和公式，化簡得到為關(guān)于開口向下的二次函數(shù)，進(jìn)而求出其最大值時對應(yīng)的的值.【詳解】因為，所以，即，化簡后可得．，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，取得最大值．故答案為：.16．歷史上第一位研究圓錐曲線的數(shù)學(xué)家是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì).如圖甲，從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為其左、右焦點(diǎn)，直線與橢圓相切于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過點(diǎn)且與切線垂直的法線與軸交于點(diǎn)，若直線的斜率為，，則橢圓的離心率為______.【答案】【分析】由離心率公式結(jié)合定義得出，再由正弦定理的邊角互化得出橢圓的離心率.【詳解】設(shè)，則，，，其中，所以橢圓的離心率為.故答案為： 三、解答題17．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與交于、兩點(diǎn)，求線段的長．【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，分析可知直線過拋物線的焦點(diǎn)，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用拋物線的焦點(diǎn)弦長公式可求得的值.【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因為的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：拋物線的準(zhǔn)線方程為．設(shè)、，因為直線過點(diǎn)，所以、到準(zhǔn)線的距離分別為，．聯(lián)立可得，則，所以，，因此，.18．已知等差數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，然后根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組，解出，從而可求出通項公式；（2）根據(jù)通項公式可判斷出當(dāng)時，，當(dāng)時，，然后分情況討論求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得，解得，故．（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，，則．綜上，.19．如圖，在三棱錐中，平面平面，E，F，N分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)G在上，．(1)證明：平面．(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由中位線得到兩組線線平行，再得到線面平行，進(jìn)而證明面面平行，再利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行；（2）利用空間向量計算二面角的余弦值即可.【詳解】（1）證明：因為E，F，N分別為的中點(diǎn)，所以，因為平面，平面，所以平面，平面．因為，平面，平面，所以平面平面．因為平面，所以平面．（2）因為平面平面，所以平面與平面的夾角即平面與平面的夾角．以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，設(shè)平面的法向量為．得可取．設(shè)平面的法向量為．得可取．所以．故平面與平面的夾角的余弦值為．20．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)．(1)若圓心C到直線l的距離為，求k的值.(2)是否存在過點(diǎn)的直線垂直平分弦？若存在，求出直線與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)或(2)不存在，理由見解析 【分析】（1）由題意可知圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式即可求得k的值；（2）假設(shè)存在直線，根據(jù)垂直平分線方程和的位置即可得出矛盾，即不存在過點(diǎn)D的直線.【詳解】（1）由圓可知，圓心，半徑圓心C到直線l的距離，化簡得，解得或．（2）解法一：直線過定點(diǎn)．因為直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以，解得．若存在直線垂直平分弦，則直線必過圓心C．因為直線的斜率，所以直線的斜率．因為，所以不存在過點(diǎn)D的直線垂直平分弦．解法二：直線過定點(diǎn)．若存在直線垂直平分弦，則直線必過圓心C．因為直線的斜率，所以直線的方程為，即．因為直線垂直于直線l，所以直線l的斜率為3，直線l的方程為．聯(lián)立解得所以直線與直線l的交點(diǎn)為．而，所以點(diǎn)不在圓C內(nèi)，即不存在過點(diǎn)D的直線垂直平分弦．21．在幾何體中，底面是邊長為6的正方形，，，，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直.是線段上的動點(diǎn)，.(1)若，求三棱錐的體積；(2)若平面平面，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根據(jù)錐體體積公式直接求解；(2)利用空間向量運(yùn)算，根據(jù)面面垂直則法向量數(shù)量積為零的原理求解.【詳解】（1）將幾何體補(bǔ)成如圖所示的長方體.由題意可得，，則四邊形是邊長為的正方形..三棱錐的體積.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，，，，，，則，，，.由，，知，.設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則.設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則.因為平面平面，所以，則，解得.22．已知橢圓上任意一點(diǎn)P到橢圓M兩個焦點(diǎn)的距離之和為4，且的最大值為．(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A，B分別為M的左、右頂點(diǎn)，過A點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與M交于C，D兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義和幾何關(guān)系即可得解；（2）聯(lián)立直線和橢圓，證明直線過定點(diǎn)，根據(jù)面積證明直線的另一個參數(shù)．【詳解】（1）由題意可得，解得．設(shè)M的上頂點(diǎn)為E，因為的最大值為，所以，解得．故橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線的方程為．聯(lián)立整理得．由韋達(dá)定理得．因為，所以，即，則，．去分母整理得，解得或（舍去）．直線的方程為，直線過定點(diǎn)．，解得或（舍去）．故滿足條件的直線的方程為，即．