2022-2023學(xué)年河南省商丘名校聯(lián)盟高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若直線的方向向量，則直線的斜率是（    ）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)方向向量直接得斜率即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以．故選：D．2．橢圓的離心率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知，，，求出，即可求出橢圓的離心率．【詳解】因?yàn)闄E圓中，，所以，得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的求法，以及靈活運(yùn)用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)化簡(jiǎn)求值．3．若曲線：表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓的一般式變形為標(biāo)準(zhǔn)式，進(jìn)而可得參數(shù)范圍.【詳解】由，得，由該曲線表示圓，可知，解得或，故選：B.4．如圖，在平行六面體中，（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空間向量的加法的平行四邊形法則和三角形法則，可得所求向量．【詳解】連接，可得，又，所以．故選：B.5．已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（    ）A．2 B．  C．2或 D．2或【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>兩點(diǎn)到直線的距離相等，所以有，或，故選：D6．設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，且，則（    ）A．3 B．-1 C．3或-1 D．-3或1【答案】C【分析】化出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，利用垂徑定理列方程求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，直線的一般方程為則由已知得，解得或故選：C.7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中點(diǎn)，則AM與平面所成角的正弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個(gè)法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為．故選：B．8．“直線與直線相互垂直”是“”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)兩直線垂直，求出的值，則可判斷充分性和必要性.【詳解】因?yàn)橹本€與直線相互垂直，所以，所以．當(dāng)時(shí)，直線與直線相互垂直，而當(dāng)直線與直線相互垂直時(shí)，不一定成立，所以“直線與直線相互垂直”是“”的必要而不充分條件，故選:B．9．已知直線過定點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后求出與，最后根據(jù)空間點(diǎn)到直線的距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，則，，由點(diǎn)到直線的距離公式得，故選：A.10．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用勾股定理得出，利用橢圓的定義求得、，利用勾股定理可得出關(guān)于、的等量關(guān)系，由此可解得該橢圓的離心率.【詳解】如下圖所示，設(shè)，則，，所以，，所以，，由橢圓定義可得，，，所以，，所以，為等腰直角三角形，可得，，所以，該橢圓的離心率為.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.11．過圓內(nèi)一點(diǎn)作直線交圓O于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作圓的切線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足方程（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求解出以為直徑的圓的方程，將圓的方程與圓的方程作差可得公共弦的方程，結(jié)合點(diǎn)在上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的方程.【詳解】設(shè)，則以為直徑的圓，即①因?yàn)?/span>是圓O的切線，所以，所以A，B在圓M上，所以是圓O與圓M的公共弦，又因?yàn)閳A②，所以由①②得直線的方程為：，又點(diǎn)滿足直線方程，所以，即.故選：A.12．如圖，四棱雉中，底面為平行四邊形，且，，，若二面角為60°，則與平面所成角的正弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先證明，，兩兩垂直，然后再建立空間直角坐標(biāo)系利用線面的向量算法進(jìn)行求解即可.【詳解】解：取中點(diǎn)，連接，，如圖，則由已知得，所以為二面角的平面角所以，又，在中，，所以，由，，平面，得平面又平面所以，交于點(diǎn)，，平面，平面所以平面，平面所以，所以故以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，平面的一個(gè)法向量是，，所以與平面所成角的正弦值為． 故選：B． 二、填空題13．設(shè)直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且圓上存在一點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】##0.5【分析】根據(jù)題意得到直線過圓心，將圓心坐標(biāo)代入計(jì)算即可.【詳解】∵點(diǎn)M在圓上，且，∴直線過圓心，∴，解得．故答案為：.14．若，，，則的外接圓面積為______．【答案】【分析】由斜率得，從而可得是直角三角形的斜邊，也是的外接圓的直徑，求得長(zhǎng)后得圓半徑，從而得圓面積．【詳解】，，，∴，是直角三角形的斜邊，也是的外接圓的直徑，，外接圓半徑為，圓表面積為．故答案為：．15．已知點(diǎn)，是橢圓內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______．【答案】##【分析】結(jié)合橢圓的定義求得正確答案.【詳解】依題意，橢圓方程為，所以，所以是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義可知，，所以的最大值為.故答案為：16．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美．平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，若是曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】2【分析】結(jié)合已知條件寫出曲線的解析式，進(jìn)而作出圖象，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，然后利用圓上一點(diǎn)到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可求解.【詳解】當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為；由圖可知，曲線C是四個(gè)半徑為的半圓圍成的圖形，因?yàn)?/span>到直線的距離為，所以，當(dāng)d最小時(shí)，易知在曲線C的第一象限內(nèi)的圖象上，因?yàn)榍€C的第一象限內(nèi)的圖象是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而．即．故答案為：2 三、解答題17．已知直線經(jīng)過點(diǎn)．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若的方程是，直線與相切，求直線的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根據(jù)直線垂直可設(shè)直線方程，求出參數(shù)即可.（2）根據(jù)直線l的斜率是否存在分為兩類，然后利用直線和圓相切的位置關(guān)系可知點(diǎn)到直線的距離等于半徑便可求得.【詳解】（1）解：由題意得：因?yàn)橹本€l與直線垂直，故設(shè)直線l的方程為因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以，解得．所以直線l的方程為．（2）的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是，圓心，半徑，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線l的方程為，圓心C到直線l的距離為2，所以直線l與相切，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程是，即，由直線l與相切，得，解得，所以直線l的方程是，即．綜上所述，直線l的方程是或．18．如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，且．（1）若點(diǎn)F為上一點(diǎn)且，證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）作，根據(jù)比例關(guān)系可知，從而可證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到，由線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）根據(jù)垂直關(guān)系可以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）作交于，連接    又且 且四邊形為平行四邊形    平面，平面    平面（2）平面，平面    又， 則可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，設(shè)平面的法向量則，令，則，    設(shè)直線與平面所成角為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：線面平行的判定，關(guān)鍵要利用三角形中位線，平行四邊形尋求直線與直線的平行關(guān)系，利用線面平行的判定定理求解，屬于中檔題.19．一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)直線上一點(diǎn)反射后，恰好穿過點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求以，為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，由反射的性質(zhì)，可知點(diǎn)F，P，三點(diǎn)共線，由三點(diǎn)共線求點(diǎn)的坐標(biāo)；再寫出反射直線方程與聯(lián)立可求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)反射的對(duì)稱性及橢圓的定義求，寫出橢圓方程.【詳解】（1）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，（由反射的性質(zhì)，可知點(diǎn)F，P，三點(diǎn)共線）由與關(guān)于對(duì)稱得：且，解得，，即，過及的直線方程為 ，即即直線方程為，由，解得．（2）因?yàn)?/span>，根據(jù)橢圓定義，得，所以．又，所以．所以橢圓C的方程為．20．圓：．(1)若圓與軸相切，求圓的方程；(2)已知，圓與軸相交于兩點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．過點(diǎn)任作一條直線與圓：相交于兩點(diǎn)，．問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2) 【分析】（1）圓與軸相切即是方程的根只有一個(gè)，因此即可求出，得出方程.（2）若存在實(shí)數(shù)，使得，則.由此條件先求出、的坐標(biāo)，假設(shè)出交點(diǎn)，的坐標(biāo)，表示出，最后利用韋達(dá)定理解出.【詳解】（1）聯(lián)立方程，得由題意得，所以，故所求圓C的方程為：（2）令，得，即所以，，若存在實(shí)數(shù)，使得，則當(dāng)直線存在斜率k，設(shè)直線的方程為，代入，得，設(shè)，則，而，因?yàn)?/span>，所以，即當(dāng)直線不存在斜率，即與x軸垂直時(shí)，也成立.故存在，使得【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解析幾何中，若出現(xiàn)關(guān)于角度問題，可優(yōu)先考慮兩個(gè)思路①若存在直角，則可考慮三角函數(shù)正弦值或余弦值；②若存在三邊皆可表示的三角形，可考慮正弦或者余弦定理；③若存在的角度互補(bǔ)，可考慮直線斜率相加為0的等式關(guān)系.21．如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）方法一:連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）方法一：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計(jì)算出二面角的余弦值，進(jìn)而可求得二面角的正弦值.【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：利用平面基本事實(shí)的推論在棱上取點(diǎn)，使得，連接、、、，如圖1所示.在長(zhǎng)方體中，，所以四邊形為平行四邊形，則，而，所以，所以四邊形為平行四邊形，即有，同理可證四邊形為平行四邊形，，，因此點(diǎn)在平面內(nèi).［方法二］：空間向量共線定理以分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示．設(shè)，則．所以．故．所以，點(diǎn)在平面內(nèi)．［方法三］：平面向量基本定理同方法二建系，并得，所以．故．所以點(diǎn)在平面內(nèi)．［方法四］：根據(jù)題意，如圖3，設(shè)．在平面內(nèi)，因?yàn)?/span>，所以．延長(zhǎng)交于G，平面，平面．，所以平面平面①．延長(zhǎng)交于H，同理平面平面②．由①②得，平面平面．連接，根據(jù)相似三角形知識(shí)可得．在中，．同理，在中，．如圖4，在中，．所以，即G，，H三點(diǎn)共線．因?yàn)?/span>平面，所以平面，得證．［方法五］：如圖5，連接，則四邊形為平行四邊形，設(shè)與相交于點(diǎn)O，則O為的中點(diǎn)．聯(lián)結(jié)，由長(zhǎng)方體知識(shí)知，體對(duì)角線交于一點(diǎn)，且為它們的中點(diǎn)，即，則經(jīng)過點(diǎn)O，故點(diǎn)在平面內(nèi)．（2）［方法一］【最優(yōu)解】：坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖2.則、、、，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得取，得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，取，得，，則，，設(shè)二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為.［方法二］：定義法在中，，即，所以．在中，，如圖6，設(shè)的中點(diǎn)分別為M，N，連接，則，所以為二面角的平面角．  在中，．所以，則．［方法三］：向量法由題意得，由于，所以．如圖7，在平面內(nèi)作，垂足為G，則與的夾角即為二面角的大?。?/span>由，得．其中，，解得，．所以二面角的正弦值．［方法四］：三面角公式由題易得，．所以．．．設(shè)為二面角的平面角，由二面角的三個(gè)面角公式，得，所以．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：通過證明直線，根據(jù)平面的基本事實(shí)二的推論即可證出，思路直接，簡(jiǎn)單明了，是通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用空間向量基本定理證明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事實(shí)三通過證明三點(diǎn)共線說明點(diǎn)在平面內(nèi)；方法五：利用平面的基本事實(shí)以及平行四邊形的對(duì)角線和長(zhǎng)方體的體對(duì)角線互相平分即可證出．（2）方法一：利用建立空間直角坐標(biāo)系，由兩個(gè)平面的法向量的夾角和二面角的關(guān)系求出；方法二：利用二面角的定義結(jié)合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的兩個(gè)向量夾角和二面角的關(guān)系即可求出，為最優(yōu)解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．22．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，如圖，過點(diǎn)作斜率不為0的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線和的斜率為，，證明：為定值，并求出該定值．【答案】(1)(2)證明見解析； 【分析】（1）根據(jù)題意求得即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)直線和橢圓相交，然后利用韋達(dá)定理即可判斷是否為定值.【詳解】（1）解：由題意得：設(shè)橢圓C的半焦距為c因?yàn)?/span>C的短軸的一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，因?yàn)?/span>，所以．得，所以，所以橢圓C的方程為．（2）設(shè)直線MN的方程為，，，聯(lián)立，消去y整理得：．則，，所以將，，代入上式分子中得：，即，所以為定值，且． 

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