2022-2023學(xué)年廣東省興寧市沐彬中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為則兩點(diǎn)間距離為（    ）A．2 B． C． D．6【答案】C【解析】根據(jù)所給的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入空間中兩點(diǎn)之間的距離的公式，整理成最簡(jiǎn)結(jié)果，得到要求的A與B之間的距離【詳解】∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（2，3，5），B（3，1，4），∴|AB|，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查空間兩點(diǎn)之間的距離公式，意在考查計(jì)算能力，是一個(gè)基礎(chǔ)題，2．如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后利用焦點(diǎn)在軸上列出不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由方程，可得，因?yàn)榉匠?/span>表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D3．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元二次不等式，求得集合B，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由，解得或，所以或，所以，故選：D.4．已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,焦距為4的橢圓被直線：截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2,則此橢圓的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】因?yàn)槭窍抑悬c(diǎn)問(wèn)題,可以用點(diǎn)差法,找到長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)之間關(guān)系,再根據(jù)焦距求出橢圓方程即可.【詳解】解:由題設(shè),若橢圓方程為,令直線與橢圓交點(diǎn)分別為,,則有①,②,兩式作差可得：,即,易知,弦的中點(diǎn),所以,,因?yàn)橹本€：,所以,故,所以,又,,解得,,故的方程為.故選:C5．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形（為原點(diǎn)），則雙曲線的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，可求得，以及，求出、的值，由此可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由題意可知，由于是等邊三角形，則，所以，，由題意可得，解得，因此，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.6．已知函數(shù)的圖象的相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，．則（    ）A．B．的圖象的對(duì)稱軸方程為C．的圖象的單調(diào)遞增區(qū)間為D．的解集為【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)解析式，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，所以的圖象的最小正周期為，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，令得，即的圖象的對(duì)稱軸方程為，故B錯(cuò)誤；令得，即的圖象的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；令，得，所以，解得，所以不等式的解集為，故D正確．故選：D．7．點(diǎn)到直線的距離為1，且直線與圓相切，若這樣的有四條，則的取值范圍是（    ）A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，5）【答案】C【分析】直線到點(diǎn)的距離為1等價(jià)于直線與圓相切，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓公切線有四條，兩圓外離.【詳解】由直線到點(diǎn)的距離為1，所以直線與圓相切，直線與圓，圓都相切且這樣的有四條，所以圓與圓外離，圓心距大于半徑之和，即，解得，故選：C.8．已知雙曲線，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，且位于第一象限，若三角形為銳角三角形，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】因?yàn)?/span>位于第一象限，所以恒為銳角，由為銳角可得，，由為銳角得，利用平面向量積可得答案.【詳解】由得、，因?yàn)?/span>位于第一象限，所以恒為銳角，因?yàn)槿切?/span>為銳角三角形，所以為銳角，為銳角，由為銳角得，所以，因?yàn)?/span>，所以，由為銳角得，所以，所以，所以，又，所以，即，又，所以，綜上所述：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，考查了平面向量數(shù)量積，考查了運(yùn)算求解能力，考查了銳角三角形的概念，屬于基礎(chǔ)題.9．已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是（    ）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】設(shè)（）且直線，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得，進(jìn)而可得，最后應(yīng)用基本不等式求最小值，注意取值條件.【詳解】設(shè)（）且直線，聯(lián)立拋物線得，由，而，所以，得或，又A，B位于x軸的兩側(cè)，故，故，由，且過(guò)定點(diǎn)，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故與面積之和的最小值是.故選：D 二、多選題10．已知雙曲線，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．m的取值范圍是 B．雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上C．雙曲線C的焦距為6 D．雙曲線C的離心率e的取值范圍是【答案】ABC【分析】根據(jù)雙曲線方程的特點(diǎn)分析選項(xiàng)AB，得到選項(xiàng)C，利用雙曲線的離心率e，借助m的取值范圍求離心率的范圍.【詳解】因?yàn)?/span>表示雙曲線，所以，解得-5<m<4，故A正確；因?yàn)?/span>，故雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故B正確；設(shè)雙曲線的半焦距為c，則，所以，，故C正確；雙曲線的離心率，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11．已知橢圓分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（    ）A．點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為9B．焦距為10C．若，則的面積為9D．的周長(zhǎng)為20【答案】AC【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)點(diǎn)為橢圓的左右頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離分別最大，最小，即可求解；對(duì)于B，由橢圓方程可得焦距；對(duì)于C，由題意及橢圓定義，結(jié)合三角形面積公式即可求解；對(duì)于D，結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得．【詳解】解：由橢圓的方程得：.對(duì)A當(dāng)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大，且為9，故A正確；對(duì)B.焦距為B錯(cuò)誤；對(duì)C.由題意得：，①由橢圓定義得：，即，②②-①得：，的面積為，故C正確對(duì)D，的周長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤；故選：AC12．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足不等式，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．若則C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性性質(zhì)得到，利用不等式的性質(zhì)即可一一判斷.【詳解】的定義域?yàn)?/span>，，所以是奇函數(shù)．因?yàn)?/span>，在上都單調(diào)遞減，所以在上是減函數(shù)．又，則，即，所以，即．因?yàn)?/span>在R上是增函數(shù)，所以，故A正確；因?yàn)?/span>，所以，所以，故B正確；因?yàn)?/span>在上是增函數(shù)，所以，即，故C正確；取，，滿足，但不成立，故D錯(cuò)誤．故選:ABC． 三、填空題13．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足與直線所成角的大小為，則線段掃過(guò)的面積為______.【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)描述易知的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，即可求掃過(guò)的面積.【詳解】由題設(shè)，，要使與直線所成角的大小為，只需與直線所成角的大小為， ∴繞以夾角旋轉(zhuǎn)為錐體的一部分，如上圖示：的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，∴在上掃過(guò)的面積為.故答案為：.14．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)，分別在，邊上，且，，若，，，則______.【答案】【分析】由題知，，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，所以，，，因?yàn)?/span>，，，所以.故答案為：15．點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，若的最小值是1，則______.【答案】10或-10【分析】設(shè)圓心為O，要使最短，則O，P，Q三點(diǎn)共線且OQ與直線垂直.據(jù)此可得答案.【詳解】由題，設(shè)圓心為O，要使最短，則O，P，Q三點(diǎn)共線且OQ與直線垂直.則=，其中為圓半徑為1，為圓心到直線距離.則，解得m=10或m=-10故答案為:10或-1016．已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是___.【答案】∪【分析】根據(jù)題意得出且與不共線，然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義及向量共線的條件求出x的取值范圍.【詳解】∵與的夾角為鈍角，且與不共線，即，且，解得，且，∴x的取值范圍是∪.故答案為：∪. 四、解答題17．已知圓C：，直線l：.(1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切；(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=時(shí)，求直線l的方程.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）由題設(shè)可得圓心為，半徑，根據(jù)直線與圓的相切關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)a的值即可.（2）根據(jù)圓中弦長(zhǎng)、半徑與弦心距的幾何關(guān)系列方程求參數(shù)a，即可得直線方程.【詳解】（1）由圓：，可得，其圓心為，半徑，若直線與圓相切，則圓心到直線距離，即，可得：.（2）由（1）知：圓心到直線的距離，因?yàn)?/span>，即，解得：， 所以，整理得：，解得：或， 則直線為或.18．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2；(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有共同的焦點(diǎn)；【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由定義和橢圓關(guān)系式可直接求解；（2）設(shè)所求橢圓的方程，將代入即可求解；（3）設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，將代入，結(jié)合相同聯(lián)立方程可求解.【詳解】（1）∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)橢圓的方程為（），∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，∴，，∴，，∴，∴橢圓的方程為；（2）設(shè)所求橢圓的方程，將代入上式得，解得，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（3）橢圓，即，故，焦點(diǎn)為，，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以，解得，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.19．每天在業(yè)余時(shí)間進(jìn)行慢走與慢跑，可加強(qiáng)人的心臟功能，保持血壓穩(wěn)定，可加速脂質(zhì)代謝，防止血脂升高，同時(shí)，還能提高人體免疫功能，增強(qiáng)防御疾病的能力，有助于身心健康，使人精力充沛.某企業(yè)為了了解本企業(yè)員工每天慢走與慢跑的情況，對(duì)每天慢走時(shí)間在25分鐘到55分鐘之間的員工，隨機(jī)抽取n人進(jìn)行調(diào)查，將既參加慢走又參加慢跑的人稱為“H族”，否則稱為“非H族”，得如下的統(tǒng)計(jì)表以及每天慢走時(shí)間在25分鐘到55分鐘之間的員工人數(shù)的頻率分布直方圖（部分）∶組數(shù)分組人數(shù)本組中“H族”的比例第一組[25，30)2000.6第二組[30，35)3000.65第三組[35，40)2000.5第四組[40，45)1500.4第五組[45，50)a0.3第六組[50，55)500.3 (1)試補(bǔ)全頻分布直方圖，并求與n的值；(2)從每天慢走時(shí)間在[40，50）（分鐘）內(nèi)的“H族”中按時(shí)間采用分層抽樣法抽取6人參加企業(yè)舉辦的健身沙龍?bào)w驗(yàn)活動(dòng)，再?gòu)倪@6人中選2人作健身技巧與減脂秘籍的發(fā)言，求這2人每天慢走的時(shí)間恰好1人在[40，45）分鐘內(nèi)，另一個(gè)人在[45，50）分鐘內(nèi)的概率.【答案】(1)直方圖見(jiàn)解析，，(2) 【分析】(1)利用所有組的頻率之和等于1，算出第二組的頻率，得到第二組矩形的高，補(bǔ)全頻率分布直方圖，由第一組的頻率和頻數(shù)計(jì)算樣本容量，再計(jì)算第五組的頻數(shù).(2)按分層抽樣的法則在兩個(gè)組中抽取對(duì)應(yīng)人數(shù)，從這6人中選2人，列出樣本空間，看其中恰好1人在[40，45）分鐘內(nèi)，另一個(gè)人在[45，50）分鐘內(nèi)占多少種基本事件，計(jì)算相應(yīng)概率。【詳解】（1））第二組的頻率為，所以第二組小矩形高為．補(bǔ)全后的頻率直方圖如下：第一組的頻率為，所以．第五組的頻率為，所以．（2）因?yàn)?/span>分鐘的“H族”人數(shù)為，分鐘的“H族”人數(shù)為，二者比例為，所以按時(shí)間采用分層抽樣法抽取6人，分鐘內(nèi)抽取4人，分鐘內(nèi)抽取2人．設(shè)這2人每天慢走的時(shí)間恰好1人在分鐘，另一個(gè)人在分鐘為事件Q，在分鐘內(nèi)抽取4人記為A，B，C，D，分鐘內(nèi)抽取2人記為a，b，則有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15種不同的抽取方法，事件Q有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8種，所以，即選出發(fā)言的2人每天慢走的時(shí)間恰好1人在分鐘內(nèi)，另一個(gè)人在分鐘內(nèi)的概率為．20．已知圓.(1)若直線l過(guò)點(diǎn)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程；(2)若直線l過(guò)點(diǎn)且與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程.【答案】(1)或；(2)最大值為8，或. 【分析】（1）求出圓的圓心和半徑，再由弦長(zhǎng)，弦心距和半徑的關(guān)系求出圓心C到直線l的距離，然后分直線l的斜率不存在和存在兩情況討論求解即可；（2）設(shè)直線l的方程為，求出圓心C到直線l的距離，而的面積，從而可求出的面積的最大值，再由的值可求出，進(jìn)而可求出直線方程.【詳解】（1）圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)橹本€l被圓C截得的弦長(zhǎng)為，所以由勾股定理得到圓心C到直線l的距離.①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，顯然不滿足；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，由圓心C到直線l的距離，得，即，解得或，故直線l的方程為或.（2）因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)且與圓C相交，所以直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為，即，則圓心C到直線l的距離為，又的面積，所以當(dāng)時(shí)，S取最大值8.由，得，解得或，所以直線l的方程為或.21．  如圖，在三棱柱中，平面，，，且為線段的中點(diǎn)，連接，，.(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2). 【分析】（1）通過(guò)證明面，即可由線面垂直證明線線垂直；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，求得兩個(gè)平面的法向量，再求兩平面夾角的余弦值即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>平面，平面，所以；因?yàn)?/span>，所以；因?yàn)?/span>，面，所以面；又因?yàn)?/span>平面，所以.（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：則，，，，，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，所以，不妨取；設(shè)平面的法向量為，則，所以，不妨取；設(shè)平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.22．在四棱錐中，底面為梯形﹐，平面.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】(1)利用線面垂直，得到面面垂直.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法，即可求解【詳解】解：由題意知所以平面又知平面所以平面又因?yàn)?/span>平面所以平面平面由題可知，由知兩兩互相垂直，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則.則.設(shè)平面的法向量為，則即，令則，所以所以直線與平面所成角的正弦值為. 

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