2022-2023學(xué)年廣東省惠州市華羅庚中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．如圖，在三棱柱中，為的中點，若，，，則可表示為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合已知條件，利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】由題意可知，，因為，，，，所以.故選：A.2．若直線的方向向量，平面的一個法向量，若，則實數(shù)A．2 B． C． D．10【答案】A【解析】根據(jù)，可知的方向向量與平面的法向量共線，從而得到的值.【詳解】的方向向量與平面的法向量共線.，即，解得，故選A項.【點睛】本題考查空間向量的位置關(guān)系，通過向量共線求參數(shù)的值，屬于簡單題.3．直線的斜率是，直線經(jīng)過點，，，則a的值為（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】求出的斜率，根據(jù)直線平行可得斜率相等即可求出.【詳解】直線經(jīng)過點，，，，，解得.故選：C.4．已知直線l1：2x﹣y﹣2=0與直線l2：3x+y﹣8=0的交點為P，則點P到直線l：y=﹣2x的距離為（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】C【分析】將兩直線方程聯(lián)立求出交點，再由點到直線的距離公式即可求解.【詳解】聯(lián)立，得P（2，2），∴點P（2，2）到直線l：y=﹣2x的距離．故選：C【點睛】本題考查了解二元一次方程組、點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.5．方程表示圓，則a的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】將一般式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式，然后利用列不等式，解不等式即可.【詳解】方程，即為，若它表示圓，需滿足，故.故選：A．6．已知直線經(jīng)過橢圓的頂點和焦點，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及焦點與頂點的定義，利用直線的方程求出點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，可得答案.【詳解】由，令，解得；令，，由，則該橢圓的一個焦點為，一個頂點為，故，，則，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.7．已知點為坐標(biāo)原點，點為拋物線：的焦點，動直線與拋物線交于，兩點，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由拋物線的焦點可得，拋物線的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，消去，可得的二次方程，運用韋達(dá)定理和兩直線垂直的條件，化簡整理可得結(jié)論．【詳解】解：為拋物線的焦點，可得，即，拋物線的方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，，，，則，，，由可得，即為，可得，故選：．【點睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．8．已知雙曲線的左、右頂點為、，焦點在軸上的橢圓以、為頂點，且離心率為，過作斜率為的直線交雙曲線于另一點，交橢圓于另一點，若，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出橢圓的方程，設(shè)點，可得出，由點在橢圓上，點在雙曲線上，可得出關(guān)于、的方程組，求出、的值，利用斜率公式可求得的值.【詳解】設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半焦距為，雙曲線的左頂點為，右頂點為，由于橢圓以、為頂點，則，該橢圓的離心率為，所以，，解得，所以，橢圓的方程為，設(shè)點，由于，則為的中點，則點，由于點在橢圓上，點在雙曲線上，所以，，解得，所以，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于分析出點為的中點，結(jié)合點在橢圓上，點在雙曲線上列方程組求出點的坐標(biāo)，進(jìn)而利用斜率公式求解. 二、多選題9．已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】ABD【分析】根據(jù)向量平行、垂直的坐標(biāo)表示可判斷AC；直接求向量的模可判斷B；分別求出在上的投影和與同向的單位向量，然后根據(jù)投影向量的定義計算可判斷D.【詳解】因為所以，所以，A正確；因為，，所以B正確；，因為，所以與不平行，故C錯誤；在上的投影，與同向的單位向量為，所以在上的投影向量為，D正確.故選：ABD10．下列說法正確的是（    ）A．直線必過定點B．過，兩點的直線方程為C．直線的傾斜角為D．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是【答案】AD【分析】對于A，根據(jù)直線過定點的求法即可判斷；對于B，利用兩點式方程判斷；對于C，求出直線的斜率，從而求出直線的傾斜角即可判斷；對于D，求出三角形的面積即可判斷．【詳解】對于A，因為直線可以化為：，令x－3＝0，則y－2＝0，解得x＝3，y＝2，所以直線過定點(3，2)，故A正確；對于B，當(dāng)時，過，兩點的直線方程為，故B不正確；對于C，直線的斜率，所以傾斜角為，故C不正確；對于D，直線x－y－4＝0與兩坐標(biāo)軸的交點分別為(0，－4)，(4，0)，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是：，故D正確．故選：AD．11．若方程所表示的曲線為C，則下面四個說法中錯誤的是（    ）A．若，則C為橢圓B．若C為橢圓，且焦點在y軸上，則C．曲線C可能是圓D．若C為雙曲線，則【答案】AD【解析】根據(jù)題意依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，當(dāng)時，曲線為C表示圓，故不正確；對于B選項，當(dāng)曲線C為焦點在軸上的橢圓時，則，解得，故正確；對于C選項，當(dāng)時，曲線為C表示圓的方程，故正確；對于D選項，當(dāng)曲線C為雙曲線時，則，解得或，故錯誤；綜上，錯誤的是AD.故選：AD.【點睛】本題考查橢圓，雙曲線的方程，考查運算能力，是基礎(chǔ)題.12．已知雙曲線，則下列說法正確的是（    ）A．雙曲線C的頂點到其漸近線的距離為2B．若F為C的左焦點，點P在C上，則滿足的點M的軌跡方程為C．若A，B在C上，線段AB的中點為，則線段AB的方程為D．若P為雙曲線上任意一點，點P到點和到直線的距離之比恒為2【答案】BCD【分析】根據(jù)點到直線距離公式求頂點到其漸近線的距離，判斷A，根據(jù)曲線軌跡方程的求法求出點M的軌跡方程，判斷B，由點差法判斷C，根據(jù)兩點距離公式和點到直線的距離公式計算點P到點和到直線的距離由此判斷D.【詳解】雙曲線的頂點為，，漸近線方程為，頂點到漸近線的距離，頂點到漸近線的距離，A錯，雙曲線的左焦點的坐標(biāo)為，設(shè)，，∵，∴  ，∴ ，，又在雙曲線上，∴  ，∴  ，B對，設(shè)，，∵  線段AB的中點為，∴  ，由已知可得，所以，∴，∴  直線AB的斜率為3，∴  線段AB的方程為，即，聯(lián)立與雙曲線的方程可得，化簡得，方程有兩解，所以直線與雙曲線相交，滿足要求，C對，設(shè)，點到點的距離，∴，又點P到到直線的距離，∴  點P到點和到直線的距離之比恒為2，D對，故選：BCD. 三、填空題13．直線與圓交于兩點，則________．【答案】【分析】方法一：先將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，半徑，再根據(jù)點到直線的距離公式以及弦長公式即可求出．【詳解】［方法一］：【通性通法】【最優(yōu)解】弦長公式的應(yīng)用根據(jù)題意，圓的方程可化為，所以圓的圓心為，且半徑是，弦心距，所以．故答案為：.［方法二］：距離公式的應(yīng)用由解得：或，不妨設(shè)，所以．故答案為：.［方法三］：參數(shù)方程的應(yīng)用直線的參數(shù)方程為，將其代入，可得，化簡得，從而，所以．故答案為：.【整體點評】方法一：利用圓的弦長公式直接求解，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：直接求出弦的端點坐標(biāo)，再根據(jù)兩點間的距離公式求出，是求解一般弦長的通性通法，有時計算偏麻煩；方法三：直線參數(shù)方程中弦長公式的應(yīng)用．14．已知點是橢圓上的一點，分別為橢圓的左、右焦點，已知=120°，且，則橢圓的離心率為___________.【答案】【詳解】設(shè)，由余弦定理知，所以，故填.15．已知O為坐標(biāo)原點，向量，點若點E在直線AB上，且，則點E的坐標(biāo)為__________．【答案】【分析】利用點E在直線AB上，可得，然后利用，即可求解E的坐標(biāo).【詳解】由題意可得：，∵點E在直線AB上，∴，又∵，則，∴，故點E的坐標(biāo)為.故答案為： 四、雙空題16．已知橢圓的左、右焦點分別為，，其離心率.若P是橢圓上任意一點，A是橢圓的右頂點，則的周長為______，的最大值為______.【答案】          【分析】由橢圓的離心率公式可求得橢圓a，b，c，再根據(jù)橢圓的定義可求得的周長，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算表示，由二次函數(shù)的性質(zhì)和橢圓的幾何性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】解：因為橢圓的離心率，所以，又，即，所以，.所以，，，，設(shè)橢圓上的一點，則，所以當(dāng)時，取得最大值，故答案為：8；. 五、解答題17．已知空間中三點，設(shè)，．(1)求向量與向量的夾角；(2)若與互相垂直，求實數(shù)k的值．【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）先求出向量與向量的坐標(biāo)，然后利用夾角公式求解即可，（2）求出與的坐標(biāo)，由與互相垂直，可得，從而可求出實數(shù)的值.【詳解】（1）∵空間中三點，∴，設(shè)向量與向量的夾角為，∴，又，∴，即向量與向量的夾角為.（2）∵，且，∴，即∴或.18．平面直角坐標(biāo)系中，已知三個頂點的坐標(biāo)分別為，，.（1）求邊上的高所在的直線方程；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）5【分析】（1）寫出BC邊所在的直線的斜率，即可求出BC邊上高的斜率，根據(jù)點斜式寫出方程；（2）利用點到直線的距離求三角形的高，再根據(jù)兩點間的距離求三角形的底BC，即可得解.【詳解】（1）直線的斜率，則邊上高所在直線斜率，則邊上的高所在的直線方程為，即.（2）的方程為，.點到直線的距離，，則的面積【點睛】本題主要考查了直線方程的點斜式，垂直直線斜率間的關(guān)系，點到直線的距離，屬于中檔題.19．（1）求與橢圓有共同焦點且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；            （2）已知拋物線的焦點在軸上，拋物線上的點到焦點的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和的值．【答案】（1）；（2），．【詳解】（1）由題意得可得橢圓的焦點坐標(biāo)為和，設(shè)出雙曲線的方程：，得，又雙曲線過點，可得，從而求解的值，得到雙曲線的方程；（2）設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)拋物線的定義點到焦點的距離等于等于點到準(zhǔn)線的距離為，即，求解的值，得到拋物線的方程，從而求解實數(shù)的值．（1）橢圓的焦點為，，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（，），則．又雙曲線過點，．綜上，得，，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)拋物線方程為（），則焦點，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義，點到焦點的距離等于，也就是到準(zhǔn)線的距離為，則，，因此，拋物線方程為，又點在拋物線上，于是，．20．在棱長為的正方體中，、分別是與的中點.(1)求與截面所成角的正弦值；(2)求點到截面的距離．【答案】(1)；(2). 【分析】(1)以為原點，DA、DC、分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解；(2)根據(jù)(1)中空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解.【詳解】（1）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，0，，，，，，，，則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，即，取，則，2，，設(shè)與截面所成角為，則，∴與截面所成角正弦值為．（2）由(1)知，，，平面的一個法向量為，2，，∴點到截面的距離．21．已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2,3).（1）求|MQ|的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值.【答案】（1）最大值為6，最小值為 2；（2）最大值為2＋，最小值為2－.【分析】（1）求出圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2，即得解；（2）可知表示直線MQ的斜率k.直線MQ的方程kx－y＋2k＋3＝0，解不等式≤2即得解.【詳解】（1）由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2.又|QC|＝，∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.（2）可知表示直線MQ的斜率k.設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直線MQ與圓C有交點，∴≤2，可得2－≤k≤2＋，∴的最大值為2＋，最小值為2－.22．平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：的離心率是，拋物線E：的焦點F是C的一個頂點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線與C交與不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M．（i）求證：點M在定直線上;（ii）直線與y軸交于點G，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點P的坐標(biāo)．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（ⅰ）見解析；（ⅱ）的最大值為，此時點的坐標(biāo)為【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率和焦點求方程；（Ⅱ）（ⅰ）由點P的坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進(jìn)而判斷點M在定直線上；（ⅱ）分別列出，面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時點P的坐標(biāo)．試題解析：（Ⅰ）由題意知：，解得．因為拋物線的焦點為，所以，所以橢圓的方程為．（Ⅱ）（1）設(shè)，由可得，所以直線的斜率為，其直線方程為，即．設(shè)，聯(lián)立方程組消去并整理可得，故由其判別式可得且，故,代入可得，因為，所以直線的方程為．聯(lián)立可得點的縱坐標(biāo)為，即點在定直線上．（2）由（1）知直線的方程為，令得，所以，又，所以，，所以，令，則，因此當(dāng)，即時，最大，其最大值為，此時滿足，所以點的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時點的坐標(biāo)為．【解析】橢圓方程；直線和拋物線的關(guān)系；二次函數(shù)求最值；運算求解能力． 

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