2022-2023學年甘肅省張掖市某重點校高二上學期12月月考數(shù)學試題 一、單選題1．在數(shù)列中，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用數(shù)列的遞推公式逐項計算可得的值.【詳解】由已知可得，，.故選：C.2．已知等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導數(shù)與極限的定義求解．【詳解】因為，所以故選：D．3．在等差數(shù)列中，若 ，則 的值等于（　  ?。?/span>A．8 B．10 C．13 D．26【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質求出，然后根據(jù)等差數(shù)列前項和公式結合等差數(shù)列的性質即可求出答案.【詳解】因為，所以，即，所以.故選：C.4．已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（    ）A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，設出斜率為的切線的切點為，，，由函數(shù)在時的導數(shù)等于，求出的值，舍掉定義域外的得答案．【詳解】解：函數(shù)的定義域為，則，設斜率為的切線的切點為，，，所以，解得或-2（舍去），所以切點的橫坐標為3.故選：A.5．《呂氏春秋·音律篇》記載了利用“三分損益”制定關于“宮、商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均勻的發(fā)聲管為基數(shù)“宮”，然后將此發(fā)聲管均分成三段，舍棄其中的一段保留二段，這就是“三分損一”，余下來的三分之二長度的發(fā)聲管所發(fā)出的聲音就是“徵”；將“徵”管均分成三份，再加上一份，即“徵”管長度的三分之四，這就是“三分益一”，于是就產生了“商”；“商”管保留分之二，“三分損一”，于是得出“羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的長度，就是角”.如果按照三分損益律，基數(shù)“宮”發(fā)聲管長度為1，則“羽”管的長度為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三分損一、三分益一的原理，基數(shù)“宮”發(fā)聲管長度為1，依次求出徵，商，羽的管長即可.【詳解】按照三分損益原理：宮：1；徵：；商：；羽：；故選：A.【點睛】本題考查了數(shù)學文化的知識，考查了理解辨析能力、邏輯推理能力、數(shù)學運算能力、數(shù)學的應用意識和解決問題的能力，屬于一般題目.6．已知函數(shù)的導數(shù)為，且，則（    ）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】直接求導，令求出，再將帶入原函數(shù)即可求解.【詳解】由得，當時，，解得，所以，.故選：B7．已知橢圓上存在兩點，關于直線對稱，且的中點在拋物線上，則實數(shù)的值為（    ）A．0或 B． C．0或2 D．2【答案】A【分析】利用點差法可得，再由中點在直線，得出點在直線上，進而得出，代入拋物線方程即可求解.【詳解】設，，則，兩式作差得到，，所以，因為點，關于直線對稱，所以直線的中點在直線，所以點在直線上，聯(lián)立可得，又因為點在拋物線上，所以或，故選：A.8．若對任意的 ，，且，都有，則m的最小值是（    ）A． B．  C．1 D．【答案】A【分析】已知不等式變形為，引入函數(shù)，則其為減函數(shù)，由導數(shù)求出的減區(qū)間后可的最小值．【詳解】因為，所以由，可得，，即．所以在上是減函數(shù)，，當時，，遞增，當時，，遞減，即的減區(qū)間是，所以由題意的最小值是．故選：A． 二、多選題9．在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，若，，則下列說法正確的是（    ）A． B．數(shù)列是等比數(shù)列C． D．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列【答案】ABC【分析】本題首先可根據(jù)得出，與聯(lián)立即可求出、以及，A正確，然后通過即可判斷出B正確，再然后通過等比數(shù)列求和公式即可判斷出C正確，最后根據(jù)即可判斷出D錯誤.【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，聯(lián)立，解得或，因為公比為整數(shù)，所以、、，，，A正確，，故數(shù)列是等比數(shù)列，B正確；，C正確；，易知數(shù)列不是公差為的等差數(shù)列，D錯誤，故選：ABC.【點睛】關鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的相關性質，考查判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列與等比數(shù)列，考查等比數(shù)列求和公式的應用，考查計算能力，是中檔題.10．已知函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，若，且，則使不等式成立的的值不可能為（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】首先根據(jù)條件構造函數(shù)，由導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，不等式轉化為，利用單調性，即可求解的值.【詳解】解析：設，則.，，，即函數(shù)在定義域上單調遞減.，，不等式等價于，即，解得.故不等式的解集為.故選：.11．已知O為坐標原點，拋物線的焦點為F，A，B為拋物線上的兩個動點，M為弦AB的中點，對A，B，M三點分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為C，D，N，則下列說法正確的是（    ）A．當AB過焦點F時，為等腰三角形B．若，則直線AB的斜率為C．若，且，則D．若外接圓與拋物線的準線相切，則該圓的面積為【答案】ACD【分析】對A，根據(jù)中位線的性質可得；對B，設出直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)向量關系求出點B，代入直線可求出斜率；對C，設，由余弦定理求出，根據(jù)拋物線性質求出即可判斷；對D，求出圓心在上，即可求出半徑，得出面積.【詳解】對A，因為都垂直于準線，所以，又是中點，所以是中點，則是線段的垂直平分線，所以，即為等腰三角形，故A正確.對B，若，則在直線上，設直線AB方程為，聯(lián)立方程組可得，設，則，由，可得，可得，解得，代入拋物線方程得，則，代入可得，故直線的斜率為，故B錯誤；對C，由拋物線定義可得，設，則，因為，，即，因為是中點，所以，所以，故C正確；對D，由外接圓性質可得，圓心一定在線段的垂直平分線上，即在直線上，又外接圓與準線相切，所以半徑為，所以圓面積為，故D正確.故選：ACD.12．已知數(shù)列的前n項和為，前n項積為，，且（    ）A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則 B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則C．若數(shù)列為等比數(shù)列，則 D．若數(shù)列為等比數(shù)列，則【答案】AC【分析】由不等關系式，構造，易得在R上單調遞減且為奇函數(shù)，即有，討論為等差數(shù)列、等比數(shù)列，結合等差、等比的性質判斷項、前n項和或積的符號即可.【詳解】由，得，令，則在R上單調遞減，而，∴，即為奇函數(shù)，∴，當為等差數(shù)列，，即，且，故A正確，B錯誤；當為等比數(shù)列，，顯然同號，若，則與上述結論矛盾且，所以前2020項都為正項，則，故C正確，D錯誤.故選：AC.【點睛】關鍵點點睛：利用已知構造函數(shù)，并確定其單調性和奇偶性，進而得到，基于該不等關系，討論為等差、等比數(shù)列時項、前n項和、前n項積的符號. 三、填空題13．等差數(shù)列的前項和，等比數(shù)列的前項和，（其中、為實數(shù)）則的值為 __________.【答案】【分析】根據(jù)前項和與通項的關系求出數(shù)列、的通項公式，可求得、的值，即可得解.【詳解】當時，，.當時，，，因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，可得，因為數(shù)列為等比數(shù)列，則，可得.因此，.故答案為：.14．若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個極值點，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性進行求解即可.【詳解】二次函數(shù)的對稱軸為：，要想函數(shù)在區(qū)間上恰有一個極值點，只需，故答案為：15．已知兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為，，且，則_________.【答案】【分析】由與的比值可求得等差數(shù)列和的首項及公差，進而可求得，，求出其比值即可.【詳解】解：設等差數(shù)列的首項為，公差為，等差數(shù)列的首項為，公差為，則，故又已知不妨令且解得且故故答案為：.16．過雙曲線的左焦點F作直線l與雙曲線交于A,B兩點,使得,若這樣的直線有且僅有兩條,則離心率e的取值范圍是_______．【答案】【分析】根據(jù)直線與雙曲線相交的情形,分兩種情況討論: 直線l與雙曲線兩支或者左支交于A,B兩點,分別分析弦長與和通徑的大小關系,列出不等式,再將代為進而解出離心率范圍即可.【詳解】解:由題知過做軸垂線交雙曲線于兩點,如圖所示: 將代入可得:,,由圖可知是直線與雙曲線左支相交時最短的弦長,當過左焦點的直線繞左焦點旋轉至與雙曲線兩支交于A,B兩點時,如圖所示若滿足直線有且僅有兩條,只需小于,且大于即可,即,即,兩邊同時平方,將代替,即可得,故;將過左焦點的直線繼續(xù)繞左焦點旋轉至與雙曲線左支交于A,B兩點時如圖所示,此時只需大于,且小于即可,即,即,兩邊同時平方,將代替,即可得,,故,綜上,或.故答案為: 四、解答題17．已知函數(shù)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在處的切線方程．【答案】(1)；(2). 【分析】(1)對函數(shù)求導，利用給定條件列式計算即可得解.(2)利用(1)的結論求出切點坐標、切線斜率，再由直線的點斜式方程即可求出切線方程..【詳解】（1）由求導得：，又，則，解得，所以的解析式為.（2）由(1)得，，則，在處的切線方程為，即，所以f(x)在處的切線方程是：.18．已知拋物線的焦點為F，點在拋物線上，且的面積為 (O為坐標原點)．(1)求拋物線的標準方程；(2)過點的直線交拋物錢C于A，B兩點，O為坐標原點，記直線OA，OB的斜率分別，，求證：為定值．【答案】(1)拋物線方程為y2=2x；(2)證明見解析． 【分析】（1）求出點的縱坐標，由三角形面積可求得值得拋物線方程；（2）直線斜率顯然不為0，因此設直線方程為，，直線方程代入拋物線方程，應用韋達定理得，，再求得，計算即可證．【詳解】（1）點拋物線上，所以，，，因為，故解得，拋物線方程為；（2）直線斜率顯然不為0，因此設直線方程為，，由，得，所以，，，所以為定值．19．已知數(shù)列的前n項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，數(shù)列的前n項和為，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用，求出，再利用求出數(shù)列的通項公式；（2）將（1）中的代入化簡得出數(shù)列通項公式，求出數(shù)列的前n項和為，再求出，最后利用裂項相消法求解即可.【詳解】（1）因為，，所以，，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，①，當時，②，①減②得：，當時，成立，所以．（2）由（1）知，，所以，所以，所以20．已知橢圓：過點，離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓交于不同兩點，記的內切圓的面積為S，求當S取最大值時直線的方程，并求出最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題得出關系即可求出；（2）根據(jù)題意可得，可化為求的最大值，設出直線方程，代入橢圓，利用韋達定理表示即可求出最大值.【詳解】（1）由離心率，，可得，將代入可得，則可得，從而得橢圓的標準方程為.（2）設，的內切圓半徑為，則，所以要使S取最大值，只需最大. . 設直線的方程為，代入可得， 恒成立，方程恒有解，，所以，記，則 在上遞減，所以當即時，，此時.21．已知數(shù)列的前項和為，，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)﹒ 【詳解】（1）∵∴當時，，當時，由，得，即，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，由條件得，即數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，；（2）∵，則，，，，恒成立，則恒成立，令，則，，，，故實數(shù)的取值范圍是﹒22．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若關于的不等式在上恒成立．求的取值范圍；【答案】(1)的單調增區(qū)間為；單調減區(qū)間為(2)； 【分析】（1）分情況討論a，然后用導數(shù)法求單調區(qū)間即可；（2）由得，令，則問題可轉化為成立，利用導數(shù)法求解的最值即可求解；【詳解】（1）當時，，則，由解得，由解得，故的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；當時，由，得的定義域為，，令解得，由解得，由解得，故的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；經驗證，時，的單調增區(qū)間也符合，單調減區(qū)間也符合；綜上可知：的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（2），令，則，令，則，由解得，由解得，故在遞增，在遞減，，，所以，在上單調遞增，，a的取值范圍.【點睛】導數(shù)的應用主要有：（1）利用導函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導數(shù)研究原函數(shù)的單調性，求極值（最值）；（3）利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍；（4）利用導數(shù)證明不等式 

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