2022屆上海市復(fù)旦中學(xué)高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，則各項(xiàng)的和為（    ）A．  B．  C． D．【答案】D【分析】由無(wú)窮遞減等比數(shù)列的各項(xiàng)的和為，可求出答案.【詳解】無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為所以各項(xiàng)的和為 故選：D2．一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相比較是A．標(biāo)準(zhǔn)差相同 B．中位數(shù)相同 C．平均數(shù)相同 D．以上都不同【答案】D【解析】根據(jù)數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和中位數(shù)，寫(xiě)出數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和中位數(shù)即可．【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，中位數(shù)為；則數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，中位數(shù)為；它們的平均數(shù)不相同，標(biāo)準(zhǔn)差不同，中位數(shù)也不同．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和中位數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題．3．在中，若，則是（    ）A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用正弦定理將邊化角，結(jié)合角度范圍，即可判斷三角形形狀.【詳解】由正弦定理，即，因?yàn)?/span>，，，所以，所以是等邊三角形.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理將邊化角，從而判斷三角形的形狀，屬基礎(chǔ)題.4．對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間，使得，則稱(chēng)函數(shù)為“可等域函數(shù)”，區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”．給出下列4個(gè)函數(shù)：①；②； ③； ④．其中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”為（     ）A．①②③ B．②③ C．①③ D．②③④【答案】B【詳解】①函數(shù)的周期是4,正弦函數(shù)的性質(zhì)我們易得,為函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”,同時(shí)當(dāng)時(shí)也是函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”,不滿(mǎn)足唯一性.②當(dāng)時(shí),,滿(mǎn)足條件,且由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,滿(mǎn)足條件的集合只有一個(gè).③為函數(shù)的“可等域區(qū)間”,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,,滿(mǎn)足條件,,n取值唯一.故滿(mǎn)足條件.④單調(diào)遞增,且函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,若存在“可等域區(qū)間”,則滿(mǎn)足,即,,n是方程的兩個(gè)根,設(shè),,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,不可能存在兩個(gè)解,故不存在“可等域區(qū)間”.所以B選項(xiàng)是正確的. 二、填空題5．已知全集，集合，則_________.【答案】【解析】先求得集合，再根據(jù)集合補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，根據(jù)集合的補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，可得.故答案為：.6．已知向量，，若，則________.【答案】2【分析】根據(jù)得到，從而得到的值.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，，且，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，同角三角函數(shù)關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.7．行列式中第2行第1列元素的代數(shù)余子式的值為，則______．【答案】-14【分析】先由題意得到，再進(jìn)一步計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得解得：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的計(jì)算，熟記概念和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.8．二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為____________【答案】81【分析】由二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和的性質(zhì)，令即得解【詳解】由題意，令，可得二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為故答案為：819．若滿(mǎn)足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是________．【答案】；【詳解】畫(huà)出可行域,如下圖陰影部分,其中令 ，則,為經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)得到直線,將此直線向右上方平移,當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí), 有最大值3.10．直線的傾斜角是______.（用反三角表示）【答案】【分析】將直線的參數(shù)方程整理為直線的一般方程,進(jìn)而得到傾斜角【詳解】由題,可得,設(shè)傾斜角為,,【點(diǎn)睛】本題考查直線的參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化,考查反三角函數(shù)求角11．已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則的反函數(shù)為____【答案】（）【分析】先根據(jù)冪函數(shù)通過(guò)的點(diǎn)求出該冪函數(shù)，再求它的反函數(shù)即得．【詳解】設(shè)冪函數(shù)（為常數(shù)），由題得，解得，故.由可得，把x與y互換可得，得的反函數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題考查求冪函數(shù)的解析式進(jìn)而求其反函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．12．設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，則__________.【答案】【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)表示出，再結(jié)合極限定義求解即可【詳解】設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為，則，，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列極限的求法，等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題13．一顆標(biāo)有數(shù)字的骰子連續(xù)鄭兩次，朝上的點(diǎn)數(shù)依次記為，使得復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的概率是___________.【答案】【分析】本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是一顆骰子連續(xù)擲兩次，共有種結(jié)果，滿(mǎn)足條件的事件是使復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，得到的結(jié)果，列舉出所有情況，得到概率．【詳解】解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是一顆骰子連續(xù)擲兩次，共有種結(jié)果，滿(mǎn)足條件的事件是使復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，，要使是一個(gè)實(shí)數(shù)，有，，，或，因?yàn)?/span>，，所以有，；，；，，共有3種結(jié)果，由古典概型得到概率，故答案為：．14．已知是球表面上的點(diǎn)，平面，，，，則球的表面積為__________.【答案】【分析】可將幾何體還原，分析可知求解的是長(zhǎng)方體外接球的表面積【詳解】如圖，將幾何體還原成長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體外接球的半徑，則球體的表面積為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查幾何體外接球的表面積求法，能根據(jù)題意還原出幾何體是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題15．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，線段的延長(zhǎng)線與直線交于點(diǎn)，則的值為______.【答案】2【分析】由題意可得為,準(zhǔn)線方程為,過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線,垂足為,準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,可得∽,進(jìn)而得到,化簡(jiǎn)即為所求【詳解】由題可得,為,準(zhǔn)線方程為,過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線,垂足為,準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,則由拋物線的定義得,,,且易得∽,,即,兩邊同時(shí)除以故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義,標(biāo)準(zhǔn)方程,考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合16．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ，設(shè)，若在數(shù)列中，對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____;【答案】.【詳解】試題分析：數(shù)列是取和中的最大值，據(jù)題意是數(shù)列的最小項(xiàng)，由于函數(shù)是減函數(shù)，函數(shù)是增函數(shù)，所以或，即或，解得或，所以．【解析】分段函數(shù)與數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的最小項(xiàng)問(wèn)題． 三、解答題17．設(shè)在直三棱柱中，，，依次為的中點(diǎn).（1）求異面直線所成角的大小（用反三角函數(shù)表示）（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）；（2）【分析】由于幾何體比較規(guī)則，優(yōu)先考慮建系法，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（1）分別表示出向量，利用夾角公式即可求解；（2）求出平面的法向量，再表示出，利用點(diǎn)到直線距離的向量公式即可求解【詳解】（1）如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，方向?yàn)?/span>軸，方向?yàn)?/span>軸，方向?yàn)?/span>軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，則；（2），，設(shè)平面的法向量為，則有，令，解得，則，，點(diǎn)到平面的距離為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線夾角的求法，點(diǎn)到平面距離公式，屬于中檔題18．已知函數(shù)（，）是上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).（1）求的值；（2），求的最大值與最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可先求得，再將對(duì)稱(chēng)點(diǎn)代入可求得關(guān)于的通式，結(jié)合即可求得具體值；（2）結(jié)合函數(shù)表達(dá)式，由求得的范圍，再結(jié)合函數(shù)圖像即可求得函數(shù)值域，進(jìn)而求解；【詳解】是上的偶函數(shù)，，又，，，又圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，化簡(jiǎn)得，又，所以；（2），由，，【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)的性質(zhì)求解具體參數(shù)，在給定區(qū)間內(nèi)求余弦型三角函數(shù)的最值，屬于中檔題19．治理垃圾是S市改善環(huán)境的重要舉措．去年S市產(chǎn)生的垃圾量為200萬(wàn)噸，通過(guò)擴(kuò)大宣傳、環(huán)保處理等一系列措施，預(yù)計(jì)從今年開(kāi)始，連續(xù)5年，每年的垃圾排放量比上一年減少20萬(wàn)噸，從第6年開(kāi)始，每年的垃圾排放量為上一年的．(1)寫(xiě)出S市從今年開(kāi)始的年垃圾排放量與治理年數(shù)的表達(dá)式；(2)設(shè)為從今年開(kāi)始n年內(nèi)的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)，則認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有效的；否則，認(rèn)為無(wú)效，試判斷現(xiàn)有的治理措施是否有效，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)有效，理由見(jiàn)詳解 【分析】（1）分別求出當(dāng)時(shí)和時(shí)的通項(xiàng)公式，即可得到年垃圾排放量的表達(dá)式；（2）先根據(jù)，利用作差法，可證明數(shù)列為遞減數(shù)列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)【詳解】（1）設(shè)治理年后，S市的年垃圾排放量構(gòu)成數(shù)列.當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，治理年后，S市的年垃圾排放量的表達(dá)式為（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則．由于 由（1）知，時(shí)，，所以為遞減數(shù)列， 時(shí)，，所以為遞減數(shù)列，且，所以為遞減數(shù)列，于是因此，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)，故認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有效的20．已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的兩倍，連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4，直線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓相交于另一點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若線段長(zhǎng)為，求直線的傾斜角；（3）點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值.【答案】（1）；（2）或；（3）或.【分析】（1）由橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的兩倍，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4，列出方程組求出，，即可求橢圓的方程；（2）直線的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求得結(jié)論．（3）設(shè)直線的方程為，由，得，由此根據(jù)和兩種情況分類(lèi)討論經(jīng)，能求出結(jié)果．【詳解】解：（1）橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的兩倍，連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4，，解得，．所以橢圓的方程為．（2）由（1）可知點(diǎn)的坐標(biāo)是．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線的斜率為，則直線的方程為．代入橢圓方程，消去并整理，得．由，得．從而．所以．由，得．整理得，即，解得．所以直線的傾斜角或．（3）由（1）可知．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線的斜率為，則直線的方程為，于是，兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組，由方程組消去并整理，得，由，得，從而，設(shè)線段是中點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為，，以下分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．線段的垂直平分線為軸，于是，，由，得；②當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線方程為，令，解得，由，，，，整理得，故，解得．綜上或．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓與直線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查整體思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，考查數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)用意識(shí)，屬于中檔題．21．若定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，總有恒成立.我們稱(chēng)為“類(lèi)余弦型”函數(shù).（1）已知為“類(lèi)余弦型”函數(shù)，且，求和的值.（2）在（1）的條件下，定義數(shù)列求的值.（3）若為“類(lèi)余弦型”函數(shù)，且對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，總有，證明：函數(shù)為偶函數(shù)；設(shè)有理數(shù)，滿(mǎn)足，判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）；；（2）2037171；（3）證明見(jiàn)解析，.【分析】（1）先令，，解出，然后再令解出；（2）由題意可以推出是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，然后得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求的值；（3）先令，得出，然后令，得可證明為偶函數(shù)；由時(shí)，，則，即，令(為正整數(shù))，有，由此可遞推得到對(duì)于任意為正整數(shù)，總有成立，即有時(shí)，成立，可設(shè)，，其中是非負(fù)整數(shù)，都是正整數(shù)，再由偶函數(shù)的結(jié)論和前面的結(jié)論即可得到大小.【詳解】解：（1）令，，得，∴；再令，得，∴，∴.（2）由題意可知，令，，得，∴∴.∴是以3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.因此，故有所以（3）令，，，又∵，∴令，，∴，即.∴對(duì)任意的實(shí)數(shù)總成立，∴為偶函數(shù).結(jié)論：.證明：設(shè)，∵時(shí)，，∴，即.∴令，故，總有成立.∴對(duì)于，總有成立.∴對(duì)于，若，則有成立.∵，所以可設(shè)，，其中，是非負(fù)整數(shù)，，都是正整數(shù)，則，，令，，，則.∵，∴，∴，即.∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，.∴.【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)問(wèn)題，考查學(xué)生獲取新知識(shí)、應(yīng)用新知識(shí)的能力，考查函數(shù)的基本性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，屬于難題. 

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