2022屆上海市川沙中學(xué)高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若則“”是“”的（    ）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】D【分析】由特殊值法，根據(jù)，，得到“”不是“”的充分條件；根據(jù)，，得到“”不是“”的必要條件，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】若，，滿足，但不能推出；所以“”不是“”的充分條件；若，，滿足，但不能推出；所以“”不是“”的必要條件；因此，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念即可，屬于?？碱}型.2．下列命題為真命題的是（    ）A．若直線l與平面α上的兩條直線垂直，則直線l與平面α垂直B．若兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行C．若兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面垂直D．若直線l上的不同兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則直線l與平面α平行【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理、空間直線平面間的位置關(guān)系判斷．【詳解】A. 若直線l與平面α上的兩條直線垂直，當(dāng)平面內(nèi)兩條直線平行時(shí)，直線l與平面α不一定垂直，A錯(cuò)；B. 若兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行，這是線面垂直的性質(zhì)定理，B正確；C. 若兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面垂直，這兩個(gè)平面可以相交，也可以平行，C錯(cuò)；D. 若直線l上的不同兩點(diǎn)到平面α的距離相等，直線l與平面α可能相交也可能平行，D錯(cuò)．故選：B．3．若無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為4，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為4，得到，求得 ，進(jìn)而得到求解.【詳解】因?yàn)闊o窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為4，所以，解得 ，所以 ，由二次函數(shù)的性質(zhì)得：，故選：D4．已知拋物線、的焦點(diǎn)都為，的準(zhǔn)線方程為，的準(zhǔn)線方程為，與相交于M、N兩點(diǎn)，則直線MN的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義可以判定M,N到直線的距離和到y軸的距離相等，結(jié)合圖形可知，直線MN的傾斜角為60°且經(jīng)過原點(diǎn).【詳解】如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，可得M，N到直線的距離和到y軸的距離都等于到焦點(diǎn)的距離，故M,N到直線的距離和到y軸的距離相等，結(jié)合圖形可知，直線MN是直線與y軸的角平分線上的點(diǎn)，由于直線是過原點(diǎn)且傾斜角為30°的直線，由圖可知，直線MN的傾斜角為60°，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，故直線MN的方程為,故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，關(guān)鍵是利用拋物線的定義得到M,N直線的距離和到y軸的距離相等. 二、填空題5．已知集合，，則___________【答案】【分析】利用交集的定義進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以.故答案為：.6．已知復(fù)數(shù)z滿足：（為虛數(shù)單位），則___________.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)定義求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以故答案為：7．已知向量，，且，則___________.【答案】【分析】根據(jù)向量平行列方程，求得，進(jìn)而求得【詳解】由于，所以，所以.故答案為：8．關(guān)于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣為，則_________.【答案】5【分析】根據(jù)二元一次函數(shù)的增廣矩陣求得二元一次方程組，解得x，y，從而求得結(jié)果.【詳解】由增廣矩陣知二元一次方程組為，解得，故，故答案為：59．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：)，則該幾何體的表面積(單位：)為___________．【答案】【分析】根據(jù)俯視圖發(fā)現(xiàn)幾何體底面為直角三角形，有一條棱與底面垂直，那么四個(gè)面都是直角三角形，畫出幾何體的直觀圖，求四個(gè)直角三角形面積之和即為表面積．【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示，表面積為.故答案為：.10．已知的二項(xiàng)展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于64，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)的值等于_________．【答案】60【分析】首先根據(jù)條件求出，然后寫出展開式的通項(xiàng)，然后可得答案.【詳解】因?yàn)樗卸?xiàng)式系數(shù)的和等于64，所以，所以，所以展開式的通項(xiàng)為，令得，所以該展開式中常數(shù)項(xiàng)的值等于.故答案為：60.11．已知在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最大值為___________.【答案】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.【詳解】在上遞增，在上遞減.，當(dāng)時(shí)，，由于在單調(diào)遞增，所以，所以的最大值是. 故答案為：12．若滿足約束條件，則的最小值為 ___________．【答案】.【解析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象求出最優(yōu)解，再計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的最小值．【詳解】解：畫出，滿足約束條件，表示的平面區(qū)域，如圖所示；結(jié)合圖象知目標(biāo)函數(shù)過時(shí)，取得最小值，由，解得，所以的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合解題方法，是基礎(chǔ)題．13．已知f（x）是定義域?yàn)?/span>R的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是___．【答案】（﹣7，3）【詳解】設(shè)x<0，則－x>0.∵當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，∴f(x)＝由f(x)＝5得或∴x＝5或x＝－5.觀察圖像可知由f(x)<5，得－5<x<5.∴由f(x＋2)<5，得－5<x＋2<5，∴－7<x<3.∴不等式f(x＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}． 14．一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位?十位?百位上的數(shù)字依次為，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如341)，則從集合中取出三個(gè)不相同的數(shù)組成的“凸數(shù)”個(gè)數(shù)為___________.【答案】【分析】首先分析只能去3,4,5，然后分類討論滿足題意的凸數(shù)個(gè)數(shù)，最后相加即可.【詳解】由題意可得只能去3,4,5，當(dāng)時(shí)，凸數(shù)有 132,231共2個(gè)；當(dāng)時(shí)，凸數(shù)有142,241,143,341,243,342共6個(gè)；當(dāng)時(shí)，凸數(shù)有152,251,153,351,154,451,253,352,254,452,354,453共12個(gè)；綜上，共有20個(gè)凸數(shù).故答案為：20【點(diǎn)睛】本題主要考查分類加法技術(shù)原理，在求解過程中要明確分類標(biāo)準(zhǔn)，在每一類里面的計(jì)算要注意不重不漏.15．在正方形中，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為___________.【答案】【分析】由向量的線性運(yùn)算得的關(guān)系式，然后由基本不等式得最小值．【詳解】由題意，，，因?yàn)?/span>在線段上，所以，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故答案為：．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方．16．已知函數(shù)的定義域是，滿足且，若存在實(shí)數(shù)k，使函數(shù)在區(qū)間上恰好有2021個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____【答案】【分析】方程在上恰有2021個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于存在，使在上恰有2021個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合，再根據(jù)函數(shù)周期性的應(yīng)用，使每個(gè)交點(diǎn)都處在之間才能取到2021個(gè)點(diǎn)，代入條件求得參數(shù)取值范圍.【詳解】由函數(shù)在上的解析式作出如圖所示圖像，由知，函數(shù)是以4為周期，且每個(gè)周期上下平移|a|個(gè)單位的一個(gè)函數(shù)，若使時(shí)，存在，方程在上恰有2021個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于在上恰有2021個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，知在每個(gè)周期都有4個(gè)交點(diǎn)，即時(shí)滿足條件，且必須每個(gè)周期內(nèi)均應(yīng)使處在極大值和極小值之間，才能保證恰有2021個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，需使最后一個(gè)完整周期中的極小值，即，解得，即當(dāng)時(shí)，需使最后一個(gè)極大值，即，解得，即，綜上所述，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問題，根據(jù)邊界條件列出不等式組，從而求得參數(shù)取值范圍. 三、解答題17．如圖，等腰，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，繞所在的邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周.(1)求旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積；(2)設(shè)，求異面直線與所成角的大小.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）依題意旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為大圓錐里面挖去一個(gè)小圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式及側(cè)面積公式計(jì)算可得；（2）取的中點(diǎn)，連接、，即可得到為異面直線與所成的角，再由余弦定理計(jì)算可得.【詳解】（1）解：在等腰直角中，所以，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以，所以旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積；表面積.（2）解：如圖取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，所以為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，因?yàn)?/span>，所以，在中由余弦定理，即，解得，所以，即異面直線與所成角為.18．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，然后向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到的圖象.(1)當(dāng)時(shí)，求的值域；(2)已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若，，，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)圖像變換得，再求上的值域即可；（2）根據(jù)，為銳角三角形，得，再由，，根據(jù)余弦定理解決即可.【詳解】（1）由題知，函數(shù)，將函數(shù)的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到，再向左平移個(gè)單位，得到，然后向上平移個(gè)單位，得到，由于，所以，所以，所以所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>；（2）由題知，函數(shù)，，為銳角三角形所以，因?yàn)?/span>，，所以由余弦定理，即，所以，所以，所以的面積為.19．已知某電子公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為萬美元，且.(1)寫出年利潤（萬美元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式（利潤＝銷售收入－成本）；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，該公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.【答案】(1)(2)年產(chǎn)量為32萬部時(shí)，最大利潤為6104萬美元 【分析】（1）分段分別求出利潤（萬美元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式，再寫為分段函數(shù)的形式即可．（2）當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求出的最大值，再比較兩者的大小，取較大者即為的最大值．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，．（2）①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得最大值為6104萬美元，即當(dāng)年產(chǎn)量為32萬部時(shí)，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，最大利潤為6104萬美元．20．已知橢圓上有兩點(diǎn)及，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)C（異于P、Q）．(1)當(dāng)且時(shí)，求直線的方程；(2)當(dāng)時(shí)，求四邊形面積的取值范圍；(3)記直線、、、的斜率依次為、、、，當(dāng)且線段的中點(diǎn)M在直線上時(shí)，計(jì)算的值，并證明：．【答案】(1)(2)(3)，證明見解析 【分析】（1）設(shè)，根據(jù)求解；（2）設(shè)直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求得 ，再由直線與線段PQ相交，得到b的范圍，然后由，由求解；（3）設(shè)直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立，由AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是 ，由，結(jié)合韋達(dá)定理解得 求解.【詳解】（1）解：設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，解得，所以直線的方程是，即；（2）設(shè)直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立得 ，則 ，因?yàn)榫€與線段PQ相交，所以 ，解得 ，因?yàn)?，則 ，所以 ，且 ，所以四邊形的面積是，所以以四邊形的面積的范圍是；（3）設(shè)直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立得 ，設(shè) 則 ，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是 ，由題意得 ，即 ，因?yàn)?，所以 ，即 ，即，解得 （舍去）或 ，當(dāng) 時(shí)， ， ，因?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，由基本不等式得成立.21．已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）對(duì)于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，【答案】（1）1（2）（3）【分析】（1）根據(jù)定義得，再根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系化簡得，最后根據(jù)數(shù)列不為零數(shù)列得結(jié)果；（2）根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡得，求得，即得；（3）根據(jù)定義得，利用立方差公式化簡得兩個(gè)方程，再根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)確定參數(shù)滿足的條件，解得結(jié)果【詳解】（1）（2），（3）假設(shè)存在三個(gè)不同的數(shù)列為數(shù)列.或或∵對(duì)于給定的，存在三個(gè)不同的數(shù)列為數(shù)列，且或有兩個(gè)不等的正根.可轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則有兩個(gè)不等正根，設(shè).①    當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，，滿足題意.②    當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，，此情況有兩個(gè)不等負(fù)根，不滿足題意舍去.綜上，【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義、由和項(xiàng)求通項(xiàng)、一元二次方程實(shí)根分步，考查綜合分析求解能力，屬難題. 

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