2021-2022學(xué)年河北省邯鄲市魏縣第三中學(xué)高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．下列說法正確的是A．0與的意義相同 B．高一（1）班個(gè)子比較高的同學(xué)可以形成一個(gè)集合C．集合是有限集 D．方程的解集只有一個(gè)元素【答案】D【詳解】因?yàn)?/span>0是元素，是含0的集合，所以其意義不相同；因?yàn)?/span>“比較高”是一個(gè)不確定的概念，所以不能構(gòu)成集合；當(dāng)時(shí)，，故集合是無限集；由于方程可化為方程，所以（只有一個(gè)實(shí)數(shù)根），即方程的解集只有一個(gè)元素，應(yīng)選答案D．2．已知集合，滿足，則下列關(guān)系中：①；②?；③；④.一定正確的是（    ）A．①② B．③④ C．③ D．④【答案】B【分析】根據(jù)集合間并集運(yùn)算的結(jié)果判斷集合間關(guān)系，逐一判斷對(duì)錯(cuò).【詳解】由得，即④正確；，即③正確；故選：B.3．若，則“”是 “”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.4．已知，下列說法正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【分析】由,結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷A；利用特殊值判斷BCD.【詳解】由，又因?yàn)?/span>所以成立， A正確；當(dāng)時(shí)，成立，不成立，B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，成立，不成立，C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，不成立，D錯(cuò).故選：A.5．已知關(guān)于x的不等式的解集是，則的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)已知不等式的解集利用韋達(dá)定理得到、與的關(guān)系，代入所求不等式求出解集即可．【詳解】由不等式的解集是，得到，即方程的兩個(gè)根分別為，．由韋達(dá)定理：，，所以，代入所求不等式化簡得：，即，解得： 則不等式的解集為故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由不等式的解集可得出二次函數(shù)的開口方向及零點(diǎn)，再由根與系數(shù)的關(guān)系求出的關(guān)系，轉(zhuǎn)化不等式就可以解不等，屬于中檔題.6．已知是實(shí)數(shù)集，，，則陰影部分表示的集合是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡集合A,B,由圖可知陰影部分表示集合為，根據(jù)交集、補(bǔ)集運(yùn)算即可.【詳解】由圖可知陰影部分表示的集合為,，，故選：A7．若正數(shù)a,b滿足a+b=2,則 的最小值是A．1 B． C．9 D．16【答案】B【分析】由可得，所以可得，由基本不等式可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，又∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào), 的最小值是,故選B.【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.8．已知且，求4a-2b的取值范圍（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用待定系數(shù)法，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>， 所以，所以，故選：B 二、多選題9．設(shè).若，則實(shí)數(shù)a的值可以為（    ）A． B． C． D．0【答案】ACD【分析】對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合求得的可能取值.【詳解】，解得或，所以，當(dāng)時(shí)，，滿足.當(dāng)時(shí)，，由于，所以或，解得或.綜上所述，的值可以是.故選：ACD10．下列命題為真命題的是（     ）A．“”是“”的充分不必要條件；B．命題“，”的否定是“，”；C．若，則；D．設(shè)、，則“或”的必要不充分條件是“”.【答案】AB【分析】本題首先可通過也有可能是負(fù)數(shù)得出A正確，然后通過全程命題的否定是特稱命題判斷出B正確，再然后通過判斷出C錯(cuò)誤，最后通過“”是“或”的充分不必要條件判斷出D錯(cuò)誤.【詳解】A項(xiàng)：若，則；若，則也有可能是負(fù)數(shù)，故“”是“”的充分不必要條件，A正確；B項(xiàng)：全程命題的否定是特稱命題，則命題“，”的否定是“，”，B正確；C項(xiàng)：若，，則，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：若，則或；若，，則，故“”是“或”的充分不必要條件，D錯(cuò)誤，故選：AB.11．在下列所示電路圖中，下列說法正確的是（    ） A．如圖所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的充分不必要條件B．如圖所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件C．如圖所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的充要條件D．如圖所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件【答案】ABC【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由圖①可得，開關(guān)閉合，燈泡亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)不一定閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的充分不必要條件，選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，由圖②可得，開關(guān)閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)必須閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件，選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，由圖③可得，開關(guān)閉合，燈泡亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)必須閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的充要條件，選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，由圖④可得，開關(guān)閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)不一定閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的既不充分也不必要條件，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成為了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明.如圖，在線段上任取一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A，B），使得，過點(diǎn)作交以為直徑，為圓心的半圓周于點(diǎn)，連接.下面不能由直接證明的不等式為（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由題意得，，然后結(jié)合射影定理可得，，從而可判斷．【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，由題意得，，由射影定理可得，，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A 正確，BCD 不正確．故選：BCD． 三、填空題13．若時(shí)，的最大值是____________.【答案】-7【分析】變換，直接利用均值不等式得到答案.【詳解】.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：14．已知集合，，，，，若，則實(shí)數(shù)的值為_______.【答案】【分析】根據(jù)題意對(duì)的值分情況討論，分別檢驗(yàn)是否符合題意，即可求出的值．【詳解】解：，且元素之間互異，，①當(dāng)時(shí)：，此時(shí)集合，，，集合，，符合題意，②當(dāng)時(shí)：，此時(shí)集合，4，，集合，，不符合元素的互異性，故舍去，③當(dāng)時(shí)：或2，此時(shí)不符合元素的互異性，故舍去，綜上所求：，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，做題時(shí)注意集合元素的互異性，是基礎(chǔ)題．15．設(shè)集合，，若，則集合的子集的個(gè)數(shù)為__________．【答案】【分析】由確定值，然后求出，從而得到子集的個(gè)數(shù).【詳解】若，則或當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合集合的互異性，故舍去，當(dāng)即時(shí)同上舍去，故，此時(shí)，，集合的子集有所以集合的子集的個(gè)數(shù)為.故答案為：8.16．若，使成立是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為“，使得成立”是真命題，利用不等式的基本性質(zhì)分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求相應(yīng)最值即可得到結(jié)論.【詳解】若，使成立是假命題，則“，使得成立”是真命題，即，恒成立，因?yàn)?/span>時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，故答案為：. 四、解答題17．集合，．（1）求，；（2）若集合，，求的取值范圍．【答案】（1）或，或；（2）.【分析】（1）先求出集合A、B，再根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解；（2）分和兩種情況進(jìn)行討論，然后借助數(shù)軸即可求解.【詳解】解：（1）因?yàn)?/span>，或，或，所以或，或；（2）當(dāng)時(shí)，顯然，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，由題意有或，解得，綜上，.18．已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：(1)xy的最小值；(2)x+y的最小值..【答案】(1)64(2)18 【分析】（1）利用基本不等式構(gòu)建不等式即可得結(jié)果；（2）將變形為分式型，利用“1”的代換和基本不等式可得結(jié)果.【詳解】（1）∵， ， ，∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴ ∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為64.（2）∵，則 ，又∵， ，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為18.19．設(shè)集合（1）若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）是的必要條件可轉(zhuǎn)化為，建立不等式求解即可；（2）假設(shè)，建立不等關(guān)系，有解則存在，無解則不存在.【詳解】，（1）由已知得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍，（2）假設(shè)存在滿足條件，則或，即存在使.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，考查了必要條件，屬于中檔題.20．（1）已知，都是正數(shù)，且，求證：；（2）已知，，都是正數(shù)，求證：.【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】試題分析：（1）利用作差法，變形，可得，從而得證；（2）根據(jù)基本不等式可得，，①，同理②，③，以上三個(gè)式子相加即可得證．試題解析：（1），∵，都是正數(shù)，∴，又∵，∴，于是，即，∴；（2）∵，，∴①，同理 ②，③，①②③相加得，從而，由，，都是正數(shù)，得，因此．【解析】1．作差法證明不等式；2．基本不等式．21．為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在政府部門的鼓勵(lì)下進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為某種化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，處理成本 (單位：萬元)與處理量 (單位：噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，，已知每處理一噸二氧化碳可獲得價(jià)值20萬元的某種化工產(chǎn)品．(1)判斷該技術(shù)改進(jìn)能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼多少萬元該工廠才不會(huì)虧損？(2)當(dāng)處理量為多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少？【答案】(1)國家至少需要補(bǔ)貼萬元，該工廠才不會(huì)虧損；(2)處理量為噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少. 【分析】（1）求二次函數(shù)最大值即可判斷；（2）根據(jù)基本不等式即可求得最小值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)該工廠獲利為，則，所以當(dāng)時(shí)，，因此該工廠不會(huì)獲利，國家至少需要補(bǔ)貼萬元，該工廠才不會(huì)虧損．（2）二氧化碳的平均處理成本，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故取得最小值為，所以當(dāng)處理量為噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少．22．設(shè)函數(shù).（1）若不等式的解集為，求、的值；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）；（2）見解析.【分析】（1）由題意知，與是方程的兩根，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出、的值；（2）由，將所求不等式變形為，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，并比較與的大小關(guān)系，即可得出不等式的解集.【詳解】（1）由不等式的解集為，可知方程的兩根為和，且，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得；（2）當(dāng)，不等式即，即.①時(shí)，不等式可化為，，所以或；②時(shí)，原不等式可化為.當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，所以；當(dāng)時(shí)，，所以.綜上：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，含參數(shù)的一元二次不等式的解法，注意分類討論的思想方法的運(yùn)用，屬于中檔題． 

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