2023屆福建省晉江二中、鵬峰中學(xué)、廣海中學(xué)、泉港五中高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，則（ ）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題可知：所以，，所以答案選A【考點(diǎn)定位】考查集合的交集和補(bǔ)集，屬于簡單題. 2．若直線與圓相切，則（    ）A． B．2 C．3 D．【答案】A【分析】利用圓心到直線的距離為半徑可求.【詳解】因?yàn)閳A心坐標(biāo)為，半徑為，所以該圓心到直線的距離，結(jié)合解得.故選：A.3．為貫徹落實(shí)健康第一的指導(dǎo)思想，切實(shí)加強(qiáng)學(xué)校體育工作，促進(jìn)學(xué)生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習(xí)慣，提高體質(zhì)健康水平.某市抽調(diào)三所中學(xué)進(jìn)行中學(xué)生體育達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)簡稱為A校、B校、C校.現(xiàn)對本次測試進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到測試成績排在前200名學(xué)生層次分布的餅狀圖、A校前200名學(xué)生的分布條形圖，則下列結(jié)論不一定正確的是（    ）A．測試成績前200名學(xué)生中B校人數(shù)超過C校人數(shù)的1.5倍B．測試成績前100名學(xué)生中A校人數(shù)超過一半以上C．測試成績在51—100名學(xué)生中A校人數(shù)多于C校人數(shù)D．測試成績在101—150名學(xué)生中B校人數(shù)最多29人【答案】C【分析】根據(jù)餅狀圖和A校前200名學(xué)生的分布條形圖，逐個(gè)分析判即可【詳解】解：對于A，B校人數(shù)為，C校人數(shù)為，因?yàn)?/span>，所以A正確；對于B，A校前100名的人數(shù)有，所以B正確；對于C，A校在51—100名的學(xué)生有25人，C校在1—200名的學(xué)生有40人，也有可能在51—100名的學(xué)生有25人，所以C錯(cuò)誤；對于D，A校在1—100名和151—200名的學(xué)生共有人，A校在101—150的有21人，C校在1—200名的有40人，但在101—150的不一定有40人，而三個(gè)學(xué)校中在1—100名和151—200名內(nèi)的人數(shù)至少有150人，所以B校至少有人在1—100名和151—200名內(nèi)，則B至多有人在101—150內(nèi)，所以D正確，故選：C4．已知，則a，b，c，d的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷和選擇.【詳解】是上的單調(diào)增函數(shù)，故，故；又是上的單調(diào)減函數(shù)，故，即；又是上的單調(diào)增函數(shù)，故，即；綜上所述：.故選：A.5．已知向量滿足，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)條件求得，進(jìn)而可得.【詳解】，則．又，因此．故選：C.6．甲、乙、丙、丁、戊5名黨員參加“黨史知識(shí)競賽”，決出第一名到第五名的名次（無并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．據(jù)此推測5人的名次排列情況共有（    ）種A．5 B．8 C．14 D．21【答案】C【分析】按乙排第五和不是第五分類討論．【詳解】乙排在第五的情況有：，乙不在第五的方法有，共有，故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是確定完成事件的方法：是先分類還是先分步：分類后每一類再分步．然后結(jié)合計(jì)數(shù)原理求解．7．三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為(　　)A． B． C． D．【答案】D【分析】首先確定球心的位置，進(jìn)一步確定球的半徑，最后確定球的表面積．【詳解】解：根據(jù)題意，得到三棱錐的外接球的球心在等邊三角形的中心高線和過直角三角形斜邊的中點(diǎn)的高的交點(diǎn)位置，如圖所示：三棱錐中，平面平面，，，，所以，，在直角三角形中，，解得：，所以，三棱錐的外接球半徑，則，故選．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三棱錐的外接球的球心的確定，球的表面積公式的應(yīng)用．8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，又當(dāng)時(shí)，恒成立，則使得成立的正整數(shù)的最小值為A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，兩式相減得，即，然后得，然后得，然后，然后解出不等式即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，兩式相減得：所以所以是等差數(shù)列因?yàn)?/span>，所以所以所以所以所以解得或（舍）所以正整數(shù)的最小值為5故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：數(shù)列與的關(guān)系，累加法求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和，屬于比較綜合的題. 二、多選題9．已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，為的共輒復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限 B．C．的實(shí)部為 D．的虛部為【答案】ABC【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的定義計(jì)算后判斷各選項(xiàng)．【詳解】由題意，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為在第四象限，A正確；，B正確；的實(shí)部為，C正確，虛部是，D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的定義及幾何意義，解題時(shí)通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算化復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的定義求解判斷．10．下列命題中，正確的命題有（    ）A．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則B．設(shè)隨機(jī)變量，則C．在拋骰子試驗(yàn)中，事件，事件，則D．在線性回歸模型中，表示解釋變量對于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，越接近于1，表示回歸的效果越好【答案】BD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷A；由二項(xiàng)分布的方差公式可判斷B；根據(jù)條件概率公式可判斷C；由的意義可判斷D.【詳解】A：因?yàn)?/span>且，所以，所以，A錯(cuò)誤；B：因?yàn)?/span>，所以，B正確；C：由題知，事件，所以，C錯(cuò)誤；D：由的意義可知D正確.故選：BD11．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的是（    ）A．平面PB1D⊥平面ACD1B．A1P∥平面ACD1C．異面直線A1P與AD1所成角的范圍是D．三棱錐D1-APC的體積不變【答案】ABD【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，可得DB1⊥平面ACD1，可判定A正確；連接A1B，A1C1，由平面BA1C1∥平面ACD1，可判定B正確；當(dāng)P與線段BC1和線段BC1的中點(diǎn)兩端點(diǎn)重合時(shí)，分別求得A1P與AD1所成角，可判定C錯(cuò)誤；由，結(jié)合△AD1P的面積不變，可判定D正確【詳解】對于A中，根據(jù)正方體的性質(zhì)，可得DB1⊥平面ACD1，又由DB1平面PB1D，則平面PB1D⊥平面ACD1，故A正確；對于B中，連接A1B，A1C1，在正方體中，可得平面BA1C1∥平面ACD1，又由A1P平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B正確；對于C中，當(dāng)P與線段BC1的兩端點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取最小值，當(dāng)P與線段BC1的中點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取最大值，故A1P與AD1所成角的范圍是，故C錯(cuò)誤；對于D中，，因?yàn)辄c(diǎn)C到平面AD1P的距離不變，且△AD1P的面積不變，所以三棱錐C-AD1P的體積不變，故D正確．故選ABD．12．拋物線的焦點(diǎn)為F，P為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（    ）A．拋物線的方程為B．存在直線，使得A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱C．的最小值為6D．當(dāng)直線過焦點(diǎn)F時(shí)，以AF為直徑的圓與y軸相切【答案】ACD【分析】根據(jù)得到故,A正確，中點(diǎn)在拋物線上，B 錯(cuò)誤,，C正確，計(jì)算D正確，得到答案.【詳解】,故，,故,A正確；設(shè),設(shè)中點(diǎn)，則，相減得到,即,因?yàn)?/span>A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱，所以,故,故,點(diǎn)在拋物線上，不成立，故不存在，B錯(cuò)誤；過作垂直于準(zhǔn)線于,則，當(dāng)共線時(shí)等號成立，故C正確；如圖所示：為中點(diǎn)，故,故為直徑的圓與軸相切，故D正確；故選：ACD. 三、填空題13．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】【分析】由題意結(jié)合二項(xiàng)式定理可得的展開式的通項(xiàng)為，令，代入即可得解.【詳解】由題意的展開式的通項(xiàng)為，令即，則，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14．已知向量，（，），若，則的最小值為______.【答案】【解析】根據(jù)，然后可得，然后使用基本不等式簡單計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號所以的最小值為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示以及基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.15．已知，則______．【答案】##【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合已知條件求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故答案為：16．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是_________．【答案】【分析】聯(lián)立直線和漸近線方程，可求出點(diǎn)，再根據(jù)可求得點(diǎn)，最后根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，即可解出離心率．【詳解】過且斜率為的直線，漸近線，聯(lián)立，得，由，得而點(diǎn)在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.故答案為：．  四、解答題17．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，是和的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，求的值.【答案】(1)(2)2101 【分析】（1）公式法解決即可；（2）與（，2，…）之間插入，說明在數(shù)列中有10項(xiàng)來自，10項(xiàng)來自，分組求和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?/span>是和的等比中項(xiàng)，所以，即，因?yàn)?/span>所以或（舍）所以，所以通項(xiàng)公式（2）由（1）得，因?yàn)?/span>與（）之間插入，所以在數(shù)列中有10項(xiàng)來自，10項(xiàng)來自，所以18．已知函數(shù).（1）求在上的最值；（2）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，的面積為，求的值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡，進(jìn)而由的取值范圍得出函數(shù)的最值；（2）利用面積公式，余弦定理和正弦定理求解即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，.（2）又又19．每年春天，婺源的油菜花海吸引數(shù)十萬游客紛至沓來，油菜花成為“中國最美鄉(xiāng)村”的特色景觀，三月，婺源篁嶺油菜花海進(jìn)入最佳觀賞期.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了近七年每年(2015年用x=1表示，2016年用x=2表示)來篁嶺旅游的人次y(單位：萬人次)相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：旅游人次(單位：萬人次) 若關(guān)于具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測2022年篁嶺的旅游的人次；（2）為維持旅游秩序，今需???四位公務(wù)員去各景區(qū)值班，已知??去篁嶺值班的概率均為，去篁嶺值班的概率為，且每位公務(wù)員是否去篁嶺值班不受影響，用表示此4人中去篁嶺值班人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1），萬人次；（2）分布列見詳解，．【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)結(jié)合參考公式即可求解回歸方程，再代入求解2022年篁嶺的旅游的人次；（2）列出的可能取值，依題意求得各情況的概率，寫出分布列進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）由表知：，則所以因?yàn)?/span>2015年用x=1表示，所以2022年是時(shí)，得(萬人次)；（2）的可能取值是0，1，2，3，4則 則的分布列為01234  故數(shù)學(xué)期望為【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡化計(jì)算）．20．在多面體中，底面是梯形，四邊形是正方形，，，，，（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)，，求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)見解析；（2）.【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得，；又由條件可得到，于是平面，可得，從而得到平面，根據(jù)面面垂直的判定定理得平面平面．（2）由題意得可得，，兩兩垂直，故可建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意可得點(diǎn)，于是可求得平面的法向量為，又是平面的一個(gè)法向量，求得后結(jié)合圖形可得所求余弦值為．【詳解】（1）由，，，得，∴為直角三角形，且同理為直角三角形，且．又四邊形是正方形，∴．又∴.在梯形中，過點(diǎn)作作于，故四邊形是正方形，∴.在中，，∴，，∴，∴，即.∵，,，∴平面,又平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）由（1）可得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.令，則，∵，∴∴點(diǎn).∵平面，∴是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為.則，即，可得.令，得．∴．由圖形知二面角為銳角，∴二面角的平面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】利用空間向量求二面角的注意點(diǎn)（1）建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要注意證明得到兩兩垂直的三條直線．然后確定出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上求得平面的法向量．（2）求得兩法向量的夾角的余弦值后，還要結(jié)合圖形確定二面角是銳角還是鈍角，然后才能得到所求二面角的余弦值．這一點(diǎn)在解題時(shí)容易忽視，解題時(shí)要注意．21．已知橢圓過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若為橢圓的左頂點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)與橢圓交于，兩點(diǎn)（，與不重合），不與軸垂直，若，求．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由題意可得關(guān)于的方程組，求解的值，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)題意設(shè)，直線：，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，求出的值，再根據(jù)弦長公式即可求得.【詳解】（1）由題意可得：，解得：， 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）， 由題意可設(shè)：直線：，，聯(lián)立： 得：，則，， ，又，，解得：，故，.22．已知函數(shù)，.（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）若，則，，求得，，寫出切線方程.（2）構(gòu)造函數(shù)，知在上單調(diào)遞增，且，由恒成立，得，再利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性證得恒成立即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，又，故切點(diǎn)為所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2），定義域?yàn)?/span>，令，求導(dǎo)，所以在上單調(diào)遞增，且，若，則當(dāng)時(shí)，恒成立，即，所以．因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使得，即，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以．綜上，所求的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題，常用方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合( 圖像在 上方即可)；③討論最值或恒成立.考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題. 

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