專題14 對(duì)數(shù)函數(shù)概念及圖像應(yīng)用歸類-【巔峰課堂】2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019必修第一冊(cè)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題14 對(duì)數(shù)函數(shù)概念及圖像應(yīng)用歸類

目錄
【題型一】換底公式應(yīng)用 2
【題型二】對(duì)數(shù)式恒等變形 3
【題型三】對(duì)數(shù)函數(shù)圖像 5
【題型四】對(duì)數(shù)函數(shù)奇偶性“識(shí)圖” 7
【題型五】復(fù)合型對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性 8
【題型六】對(duì)數(shù)函數(shù)定義域R值域R型 10
【題型七】解對(duì)數(shù)方程 11
【題型八】解對(duì)數(shù)不等式 12
【題型九】指對(duì)函數(shù)：原函數(shù)與反函數(shù) 14
【題型十】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)稱性 15
培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練 17
培優(yōu)第二階——能力提升練 20
培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 22

綜述
1.（1）對(duì)數(shù)的概念
一般地，如果（，且），那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．
（2）對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)
①當(dāng)，且時(shí)，
②負(fù)數(shù)和0沒(méi)有對(duì)數(shù)．
③特殊值：1的對(duì)數(shù)是0，即0（，且）；底數(shù)的對(duì)數(shù)是1，即（，且）．
（3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)
名稱
定義
記法
常用對(duì)數(shù)
以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)
lg
自然對(duì)數(shù)
以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)
ln

2.對(duì)數(shù)運(yùn)算公式
(a>0且a≠1，M>0，N>0)
(1)指對(duì)互化： x＝logbN .
(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：
①loga(MN)＝logaM＋logaN
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)；
④logamMn＝logaM．
(3) 對(duì)數(shù)的性質(zhì)：
①a＝ N ；
②logaaN＝ N (a>0且a≠1)．
(4)對(duì)數(shù)的重要公式
①換底公式：logbN＝；
②換底推廣：logab＝， logab·logbc·logcd＝logad.

【題型一】換底公式應(yīng)用
【典例分析】
已知，，則的值不可能是（????）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的公式計(jì)算即可.
【詳解】由換底公式得：，，，
其中，，故
故選：ABD.
【變式訓(xùn)練】
1.已知，，則_________．（用a，b表示）
【答案】.
【分析】先利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式互化得到，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式得到，再用換底公式得到.
【詳解】因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)?，，所以?br /> 由換底公式可得：.
故答案為：.
2.已知，，則用a，b表示的值為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式和換底公式計(jì)算即可.
【詳解】
.故答案為：.
3.已知，，則可以用，表示為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式計(jì)算即可.
【詳解】由，得，因?yàn)?，所以?br /> 故答案為：.
【題型二】對(duì)數(shù)式恒等變形
【典例分析】
設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（????）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】設(shè)，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，利用換底公式及指數(shù)冪的運(yùn)算法則，逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)得答案．
【詳解】解：設(shè)，則，，，
所以
，
即，所以，所以，故D正確；
由，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，?br /> 又，所以，即，故C正確；
故選：ACD
【變式訓(xùn)練】
1.若，，均為正數(shù)，且，與最接近的整數(shù)為_(kāi)_________.
【答案】4
【分析】令，求得，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求的正確答案.
【詳解】依題意，，均為正數(shù)，且，
設(shè)，
所以，
，，
，，
所以最接近的整數(shù)為.故答案為：
2..若正數(shù)a、b滿足，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可求解.
【詳解】解：令，
則，
所以 .故選：A.
3.已知，，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（????）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得關(guān)于a、b的方程組，然后求解驗(yàn)證答案可得.
【詳解】由題意得，即，則有，
代入有，化簡(jiǎn)得，即，
因?yàn)椋?，，則，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；
，C正確；，D錯(cuò)誤；
故選：ABD.

【題型三】對(duì)數(shù)函數(shù)圖像
【典例分析】
以下條件，①；②；③；④；⑤，；⑥，.能夠使得：成立的有________.
【答案】①③⑥
【解析】先逐項(xiàng)根據(jù)的大小判斷的大小，進(jìn)而得出的大小，再根據(jù)不等式的性質(zhì)以及，得出的大小，由換底公式即可判斷的大小.
【詳解】解：對(duì)①，；即，即，又，，
由換底公式可得：，故①正確；
對(duì)②，；即，即，又，，由換底公式可得：，故②錯(cuò)誤；
對(duì)③，，即，即，又，，由換底公式可得：，故③正確；
對(duì)④，，即，即，又，，
由換底公式可得：，故④錯(cuò)誤；
對(duì)⑤，，，，即，又，，
由換底公式可得：，故⑤錯(cuò)誤；
對(duì)⑥，，，，即，又，，
由換底公式可得：，故⑥正確.
故答案為：①③⑥.
【變式訓(xùn)練】
1.．已知圖中曲線分別是函數(shù)，，，的圖像，則的大小關(guān)系是（????）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖像判斷.
【詳解】由對(duì)數(shù)的性質(zhì)有：，，，
結(jié)合圖像有：
，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.
2.函數(shù)的圖象大致為（　?。?br /> A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即得.
【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知為增函數(shù)，故排除BD；
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)過(guò)點(diǎn)，排除C.
故選：A．
3.已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（????）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以
又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸的交點(diǎn)在正半軸，所以，即
又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸有交點(diǎn)，所以，所以，
故選：D

【題型四】對(duì)數(shù)函數(shù)奇偶性“識(shí)圖”
【典例分析】
函數(shù)的圖象大致為（????）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法，代入特殊點(diǎn)計(jì)算判斷.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，，
所以，排除C，D，
當(dāng)時(shí)，，，
所以，排除B.
故選：A

【變式訓(xùn)練】
1.函數(shù)的部分圖象大致為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行判斷即可得到選項(xiàng).
【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，且，函?shù)為奇函數(shù)，排除C、D；
又函數(shù)，排除B．
故選：A
2.函數(shù)的圖象大致是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及特殊點(diǎn)的函數(shù)值求得正確答案.
【詳解】，所以的定義域?yàn)椋?br /> ，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除BD選項(xiàng).
，排除C選項(xiàng)，
所以A選項(xiàng)正確.故選：A
3.函數(shù)的部分圖象大致為（????）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)特殊點(diǎn)的函數(shù)值、函數(shù)的奇偶性求得正確答案.
【詳解】，排除C選項(xiàng).
，的定義域?yàn)椋?br />
，
所以是偶函數(shù)，排除D選項(xiàng).
，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故A選項(xiàng)正確.
故選：A
【題型五】復(fù)合型對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性
【典例分析】
已知關(guān)于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__________
【答案】
【分析】對(duì)m進(jìn)行分類討論，、時(shí)分別分析函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)m的取值范圍進(jìn)行進(jìn)一步分類討論，求出該函數(shù)在區(qū)間上的最小值，令最小值大于0，即可求得m范圍.
【詳解】①當(dāng)時(shí)，函數(shù)外層單調(diào)遞減，內(nèi)層二次函數(shù)：
當(dāng)，即時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，
，解得：；
當(dāng)，即時(shí)，無(wú)意義；
當(dāng)，，即時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先遞減后遞增，函數(shù)先遞增后遞減，
則需，無(wú)解；
當(dāng)，即時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，，無(wú)解.
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)外層單調(diào)遞增，
，二次函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，解得：.綜上所述：或.

【變式訓(xùn)練】
1.若函數(shù)在是增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的“同增異減”的規(guī)律求解
【詳解】令
在時(shí)單調(diào)遞增
又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù),
在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，且?在恒成立
所以，解得。故答案為：
2.若函數(shù)y＝loga(2－ax)在[0，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是________．
【答案】(1，2)
【分析】分類討論得到當(dāng)時(shí)符合題意，再令在[0，1]上恒成立解出a的取值范圍即可.
【詳解】令，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，為減函數(shù)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，為減函數(shù)，符合題意，需要在[0，1]上恒
成立，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，綜上.
故答案為：(1，2).
3..已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】
【分析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)單調(diào)性列出不等式組，求解即可得答案.
【詳解】解：令，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，而函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞減，且恒成立，
所以，即，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.
【題型六】對(duì)數(shù)函數(shù)定義域R值域R型
【典例分析】
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，則的最大值為_(kāi)_________.
【答案】6
【分析】分析函數(shù)f(x)的奇偶性和單調(diào)性，再結(jié)合其值域即可求a與b的范圍，據(jù)此可求b－a的最大值.
【詳解】∵，定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(－x)＝f(x)，故f(x)是R上的偶函數(shù)，
又根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
由得x＝0，由得x＝±3，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> 則0∈[a，b]，且a＝－3或b＝3，
故b＝3，a＝－3時(shí)，b－a取最大值6.
故答案為：6.

【變式訓(xùn)練】
1.若函數(shù)有最小值，則a的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】分和兩種情況討論，根據(jù)外層函數(shù)的單調(diào)性、內(nèi)層函數(shù)的最值以及真數(shù)恒大于零可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，外層函數(shù)為減函數(shù)，要使函數(shù)有最小值，對(duì)于內(nèi)層函數(shù)，，又，所以；
當(dāng)時(shí)，外層函數(shù)為增函數(shù)，要使函數(shù)有最小值，對(duì)于內(nèi)層函數(shù)，
則，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
2.已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】令，分析可知是函數(shù)在時(shí)的值域的子集，分、兩種情況討論，利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出結(jié)論.
【詳解】令，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?br /> 則可知是函數(shù)在上的值域的子集.
①當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)的值域?yàn)?，合乎題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)的值域?yàn)?，合乎題意；
②若，則有，解得或.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
3.已知函數(shù)的值域?yàn)镽，且在上單調(diào)遞增，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足題意的的解析式_____________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題意，列出不等式，得到之間的關(guān)系，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意，得，
可取，得（答案不唯一）．
故答案為: （答案不唯一）
【題型七】解對(duì)數(shù)方程
【典例分析】
甲、乙兩人解關(guān)于x的方程，甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，得到的根為或，乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，得到的根為或，則下列是原方程的根的是（????）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】換元后得到，用兩根之和求出，兩根之積求出，從而求出的兩根為或，得到或.
【詳解】令，則方程可化為：，即，則甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，得到的根為或，
由兩根之和得：。乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，得到的根為或，
由兩根之積得：，所以方程為，解得：或
即或，解得：或.故選：AD
【變式訓(xùn)練】
1.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)=______.
【答案】
【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算得出，再由在上單調(diào)遞增，得出，進(jìn)而解出.
【詳解】因?yàn)?，所?br /> 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，
故，即，解得
故答案為：
2.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．
【答案】
【分析】由題可得，即得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以要使方程在區(qū)間上有解，只需即可，
解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
3.已知函數(shù),則方程的解為_(kāi)___________．
【答案】1
【分析】根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)間的關(guān)系知，欲求的的值，即求的方程根.
【詳解】由互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)間的關(guān)系可以知道，本題即求的解，即轉(zhuǎn)化為：
，即(舍去)，所以
故答案填寫: 1

【題型八】解對(duì)數(shù)不等式
【典例分析】
若不等式對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】因?yàn)橛幸蚴剑孕枰獙?duì)分，，和三種情況討論，在每一種情況下求出對(duì)應(yīng)的的范圍，最后綜合即可得到答案
【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，。不等式轉(zhuǎn)化為
對(duì)任意正整數(shù)恒成立。當(dāng)時(shí)，
不等式轉(zhuǎn)化為。對(duì)任意正整數(shù)恒成立
，。當(dāng)時(shí)，，不等式不成立，舍去
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或。故選
【變式訓(xùn)練】
1.不等式的解集為_(kāi)_________.
【答案】
【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)確定取值范圍，在判斷和的單調(diào)性以及特殊點(diǎn)點(diǎn)大小，最后根據(jù)雙方單調(diào)性以及臨界值得到解集.
【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知
令
根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可知在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減且，當(dāng)時(shí)，時(shí)
令，當(dāng)時(shí)，時(shí)
因此當(dāng)時(shí)，。故答案為:
2.已知函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是________．
【答案】.
【分析】結(jié)合函數(shù)圖象，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式.
【詳解】因?yàn)?，則，
因?yàn)楹瘮?shù)，由有：且，
因?yàn)?，大致圖象如圖，

①當(dāng)且時(shí)，，所以，顯然滿足；
②當(dāng)時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則同增異減可得，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則同增異減可得，單調(diào)遞增，
又，，所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性有：
由,解得：或.
綜上，滿足的取值范圍是.
故答案為：.
3.已知函數(shù) 是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，若則的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】由奇偶性得的值，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性化簡(jiǎn)后求解，
【詳解】由題意可得則
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，而
故等價(jià)于，得，解得或，故答案為：

【題型九】指對(duì)函數(shù)：原函數(shù)與反函數(shù)
【典例分析】
函數(shù)的反函數(shù)是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先求出原函數(shù)的值域，再用的代數(shù)式表示，即可求出函數(shù)的反函數(shù).
【詳解】解：，
因?yàn)?，所以，所以，所以，則，
所以，即函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> 由，即，所以，
所以函數(shù)的反函數(shù)為.
故選：A

【變式訓(xùn)練】
1.設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，則函數(shù)的圖像是（????）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】由解得，然后將互換，即可得到其反函數(shù)解析式，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像即可得到結(jié)果.
【詳解】由解得，即且
所以函數(shù)的反函數(shù)為
結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像可知A正確.
故選:A.
2.函數(shù)的反函數(shù)___________．
【答案】
【分析】由可求得的值域，再用表示，根據(jù)反函數(shù)定義可求得結(jié)果.
【詳解】令在上單調(diào)遞增，
所以的值域?yàn)?
由，則，所以，
即，所以反函數(shù)，故答案為：
3.設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)．則函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn)___________．
【答案】
【分析】先求的值，進(jìn)而可得，從而可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn),
所以，故，所以反函數(shù)過(guò)點(diǎn).因此當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的圖像一定過(guò)點(diǎn).故答案為：
【題型十】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)稱性
【典例分析】
設(shè)分別是方程和的根（其中）, 則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程和的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將化為，轉(zhuǎn)為同種變量，利用對(duì)勾函數(shù)解決.
【詳解】根據(jù)題意可知，為函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，
所以有，結(jié)合的條件，可知，所以有，
結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可知原式的取值范圍為，故選：A．

【變式訓(xùn)練】
1.分別是關(guān)于的方程和的根，則________.
【答案】5
【解析】根據(jù)題意得出是函數(shù)與與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，即可求出結(jié)果．
【詳解】分別是方程和的根，
即分別是方程和的根，
是函數(shù)與與，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，
與的交點(diǎn)與與交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
由得，
，即。故答案為：．
2.，分別是關(guān)于的方程和的根，則_____.
【答案】
【分析】依題意可得函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，再根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)求出與的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解.
【詳解】解：依題意可得，，
即函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
又函數(shù)與互為反函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，
又與互相垂直，且由，解得，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以；
故答案為：
3.已知實(shí)數(shù)滿足，滿足，則___________.
【答案】1
【分析】由題意，，，令，從而得，判斷函數(shù)在上為增函數(shù)，進(jìn)而得，所以求得.
【詳解】解：由題意，，，
令，則，所以，
令，
函數(shù)在上為增函數(shù)（增+增=增），
所以可知，所以，即.
故答案為：.

分階培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1．設(shè)，那么m等于（????）
A． B．9 C．18 D．27
【答案】B
【分析】利用換底公式化簡(jiǎn)得到對(duì)數(shù)方程，求出即可.
【詳解】,
，，
故選：B.
2．設(shè)，，都是正數(shù)，且，那么（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，再由換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】解：由，，都是正數(shù)，令，則，，，
所以，，，
對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，，
所以，故B正確；
對(duì)于C：，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，
所以，故D錯(cuò)誤；
故選：B．
3．設(shè)命題甲為，命題乙為．那么（????）
A．甲是乙的充分條件．但不是乙的必要條件 B．甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
【答案】B
【分析】求出命題甲中的x的范圍，再利用與之間推出關(guān)系得出兩個(gè)命題間的充分必要性關(guān)系.
【詳解】若命題甲為真，則，故，
，但
故由命題乙可以推出命題甲，但由命題甲推不出命題乙，
所以甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件.
故選：B
4．函數(shù)的圖象大致是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】去掉絕對(duì)值，得到具體的函數(shù)表達(dá)式，即可作出判斷.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，排除C；
當(dāng)時(shí)，，排除AB選項(xiàng).
故選：D.
5．方程＝的解是（????）
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
【答案】A
【分析】先化簡(jiǎn)為，再通過(guò)對(duì)指互化即得解.
【詳解】由題得.
故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)指互化，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.
6．函數(shù)的定義域?yàn)椋????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先，考查對(duì)數(shù)的定義域問(wèn)題，也就是的真數(shù)一定要大于零，其次，分母不能是零．
【詳解】解：由，得，
又因?yàn)?，即，?br /> 故，的取值范圍是，且．
定義域就是
故選：B．
7．已知是上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由在上單調(diào)遞減，確定，以及的范圍，再根據(jù)單調(diào)遞減確定在分段點(diǎn)處兩個(gè)值的大小，從而解決問(wèn)題.
【詳解】解：由題意得：
是上的減函數(shù)
解得：
故 a的取值范圍是
故選：C
8．函數(shù)的反函數(shù)是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先求出原函數(shù)的值域，再反解方程，用含的式子表示，即可求出原函數(shù)的反函數(shù).
【詳解】解：因?yàn)闀r(shí)，，
從而有，即原函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> 由得，
即，，
所以原函數(shù)的反函數(shù)為．
故選：D．
9．若定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)滿足，則a的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意，討論、，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定參數(shù)的范圍.
【詳解】由題意，
當(dāng)，即時(shí)，在上，滿足要求；
當(dāng)，即時(shí)，在上，不滿足要求.
綜上，.故選：A
10．設(shè)，函數(shù)的反函數(shù)和的反函數(shù)的圖象關(guān)于（????）
A．x軸對(duì)稱 B．y軸對(duì)稱 C．對(duì)稱 D．原點(diǎn)對(duì)稱
【答案】B
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為同底的指數(shù)函數(shù)，再利用兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解
【詳解】函數(shù)的反函數(shù)為，函數(shù)的反函數(shù)為，故兩個(gè)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
故選：B

培優(yōu)第二階——能力提升練
1．函數(shù)的反函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)（如圖所示），則方程在上的根是（????）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)原函數(shù)和反函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，由題知，反函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)，進(jìn)而可知原函數(shù)的圖象在軸上的交點(diǎn)，繼而得到方程的根．
【詳解】解：函數(shù)的反函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，
原函數(shù)和反函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，
原函數(shù)的圖象在軸上的交點(diǎn)為，
的根是，
故選：C．
2．已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由周期性和奇偶性將a，b，c轉(zhuǎn)換為自變量在判斷.
【詳解】已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，
，，
，單調(diào)遞增，，∴.故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查周期性、奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
3．函數(shù)y＝的定義域是（????）
A．[－，－1)∪(1，] B．[－，－1)∪(1，)
C．[－2，－1)∪(1，2] D．(－2，－1)∪(1，2)
【答案】A
【分析】由函數(shù)表達(dá)式知，被開(kāi)方數(shù)大于或等于0，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，即，可得答案．
【詳解】函數(shù)y＝的定義域滿足
即，解得.故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于基礎(chǔ)題．
4．設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，且的圖像過(guò)點(diǎn)，則的圖象必過(guò)點(diǎn)（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知可求出函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，再利用互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系求解即可.
【詳解】因?yàn)榈膱D像過(guò)點(diǎn)，所以，
所以函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，
根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可得的圖象必過(guò)點(diǎn).
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
5．設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且，則
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】試題分析：設(shè)是函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線對(duì)稱為
（），由已知（）在函數(shù)的圖像上，∴，
解得，即，
∴，解得，故選C．
考點(diǎn)：函數(shù)求解析式及求值
6．若為函數(shù)的反函數(shù)，則的值域是__________．
【答案】
【分析】根據(jù)反函數(shù)與原函數(shù)的定義域、值域關(guān)系，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可求的值域.
【詳解】由反函數(shù)的值域?yàn)樵瘮?shù)的定義域，
而中，即，
故反函數(shù)的值域?yàn)?
故答案為：
7．設(shè)函數(shù)f(x)=ln，則函數(shù)g(x)= f()+ f()的定義域_____________.
【答案】
【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，需真數(shù)大于0，結(jié)合分式不等式的解法及復(fù)合函數(shù)定義域的求法列不等式組運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：要使函數(shù)有意義，則需，
則所求定義域?yàn)椋海蚀鸢笧?
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)定義域的求法，主要考查了分式不等式的解法，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.
8．設(shè)為，的反函數(shù)，則的最大值為_(kāi)_______．
【答案】
【詳解】由題意得：在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞增，其最大值為
考點(diǎn)：反函數(shù)性質(zhì)
9．已知，若則的范圍是 _____________________.
【答案】
【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，所以由，又因?yàn)?，所以函?shù)在單調(diào)遞增，所以，進(jìn)而，所以則的范圍是.
考點(diǎn)：1.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).
10．方程的解為_(kāi)_______．
【答案】
【詳解】設(shè)，則

考點(diǎn)：解指對(duì)數(shù)不等式

培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練
1．方程的實(shí)數(shù)解為_(kāi)___．
【答案】log34
【詳解】試題分析：令t=3x（t＞0）
則原方程可化為：（t﹣1）2=9（t＞0）
∴t﹣1=3，t=4，即x=log34可滿足條件
即方程的實(shí)數(shù)解為 log34．
考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵，但在換元過(guò)程中，要注意對(duì)中間元取值范圍的判斷
2．定義“正對(duì)數(shù)”：，現(xiàn)有四個(gè)命題：
①若，則
②若，則
③若，則
④若，則
其中的真命題有：____________ （寫出所有真命題的編號(hào)）
【答案】①③④
【詳解】試題分析：
因?yàn)槎x的“正對(duì)數(shù)”：是一個(gè)分段函數(shù) ，所以對(duì)命題的判斷必須分情況討論：
對(duì)于命題①（1）當(dāng)，時(shí)，有，從而，，所以；（2）當(dāng)，時(shí)，有，從而，，所以；這樣若，則，即命題①正確.
對(duì)于命題②舉反例：當(dāng)時(shí)，，
所以，即命題②不正確.
對(duì)于命題③，首先我們通過(guò)定義可知“正對(duì)數(shù)”有以下性質(zhì)：，且，（1）當(dāng)，時(shí)，，而，所以；（2）當(dāng)，時(shí)，有，，而，因?yàn)?，所以；?）當(dāng)，時(shí)，有，，而，所以；（4）當(dāng)，時(shí)，，而，所以，綜上即命題③正確.
對(duì)于命題④首先我們通過(guò)定義可知“正對(duì)數(shù)”還具有性質(zhì)：若，則，（1）當(dāng)，時(shí)，有，從而，，所以；（2）當(dāng)，時(shí)，有，從而，，所以；（3）當(dāng)，時(shí)，與（2）同理，所以；（4）當(dāng)，時(shí)，，，因?yàn)椋?，從而，綜上即命題④正確.
通過(guò)以上分析可知：真命題有①③④.
考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及不等式知識(shí)的綜合.
3．設(shè)，若僅有一個(gè)常數(shù)使得對(duì)于任意的，都有滿足方程，這時(shí)，的取值的集合為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】分析可知在上單調(diào)遞減，可得出，求得，根據(jù)已知條件得出，即可解得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】由可得，可得，即，
因?yàn)椋屎瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，，所以，，
因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)滿足題意，則，解得.
故答案為：.
4．方程的解______.
【答案】2
【分析】首先根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零得到：，然后根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可知：，據(jù)此求解出的值.
【詳解】因?yàn)椋裕?br /> 又因?yàn)?，所以，所以，解得：或，又因?yàn)?，所?
故答案為.
【點(diǎn)睛】解對(duì)數(shù)方程時(shí)，第一步應(yīng)該根據(jù)對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于零先確定未知數(shù)的范圍，然后再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后完成求解.
5．不等式的解集為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于x的不等式，然后分類討論求解不等式的解集即可.
【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得不等式等價(jià)于：，
即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故時(shí)不等式的解集為，
當(dāng)時(shí)，不等式滿足即可，即：，
解得：，
綜上可得，不等式的解集為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法，分類討論的數(shù)學(xué)思想，均值不等式的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
6．記的反函數(shù)為，則方程的解___________．
【答案】2
【詳解】解法1由，得，即，于是由，解得
解法2因?yàn)椋裕?br />
7．方程的解為_(kāi)__________.
【答案】2
【詳解】依題意，所以，
令，所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，，所以，而，所以不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，所以，，，所以滿足條件，
所以是原方程的解.
考點(diǎn)：對(duì)數(shù)方程.
8．設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是____________.
【答案】
【詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，恒成立，即；當(dāng)時(shí)，恒成立，即；當(dāng)時(shí)，，即.綜上，x的取值范圍是.
【名師點(diǎn)睛】分段函數(shù)的考查方向注重對(duì)應(yīng)性，即必須明確不同的自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是什么，然后代入該段的解析式求值.解決此類問(wèn)題時(shí)，要注意區(qū)間端點(diǎn)是否取到及其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，尤其是分段函數(shù)結(jié)合點(diǎn)處的函數(shù)值.
9．已知函數(shù)，若，則________．
【答案】-7
【詳解】分析：首先利用題的條件，將其代入解析式，得到，從而得到，從而求得，得到答案.
詳解：根據(jù)題意有，可得，所以，故答案是.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)已知某個(gè)自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小，來(lái)確定有關(guān)參數(shù)值的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要將自變量代入函數(shù)解析式，求解即可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.
10．對(duì)于函數(shù)定義域中任意的，有如下結(jié)論：
①；
②；
③；
④
當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是________．
【答案】②③
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算得到①不正確，②正確，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到③正確，代入計(jì)算結(jié)合均值不等式得到④不正確，得到答案.
【詳解】，，則①不正確；
，，故②正確；
在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，則，同理時(shí)成立，故③正確；
，，，
則，故④不成立.
故答案為：②③

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