吉林省長春市榆樹市2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 (含答案)

這是一份吉林省長春市榆樹市2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 (含答案)，共24頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2022-2023學(xué)年吉林省長春市榆樹市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．（3分）當(dāng)函數(shù)y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函數(shù)時，a的取值為（　　）
A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)＝﹣1 C．a(chǎn)≠﹣1 D．a(chǎn)≠1
2．（3分）下列各組中的四條線段成比例的是（　?。?br /> A．a(chǎn)＝1，b＝3，c＝2，d＝4 B．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a(chǎn)＝2，b＝4，c＝3，d＝6 D．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝1
3．（3分）擲一枚均勻的正方體骰子，擲得“6”的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（3分）隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，生產(chǎn)成本逐年下降．某工廠兩年前生產(chǎn)一臺掃地機器人的成本是900元，現(xiàn)在生產(chǎn)一臺掃地機器人的成本是600元．設(shè)該種掃地機器人生產(chǎn)成本的年平均下降率為x，則下面所列方程正確的是（　?。?br /> A．900×（1﹣x）2＝600 B．900×2（1﹣x）＝600
C．900×（1﹣2x）＝600 D．900×（1﹣x2）＝600
5．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下，頂點坐標(biāo)為（3，﹣7），那么該二次函數(shù)有（　?。?br /> A．最小值﹣7 B．最大值﹣7 C．最小值3 D．最大值3
6．（3分）如圖，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開．若測得AB的長為10km，則M、C兩點間的距離為（　?。?br />
A．3km B．4km C．5km D．6km
7．（3分）如圖，在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為6米，那么相鄰兩樹在坡面上的距離AB為（　?。?br />
A．6cosα B． C．6sinα D．
8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，點P為BC上任意一點，連結(jié)PA，以PA、PC為鄰邊作?PAQC，連結(jié)PQ，則PQ的最小值為（　?。?br />
A． B．3 C． D．5
二、填空題（每小題3分，共18分）
9．（3分）已知二次函數(shù)y＝3x2，則其圖象的開口向 　 ?。ㄌ睢吧稀被颉跋隆保?br /> 10．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為 　 　．
11．（3分）下列事件：①長春市某天的最低氣溫為﹣200℃；②人們外出旅游時，使用手機App購買景點門票；③在平面內(nèi)任意畫一個三角形，其內(nèi)角和等于180°，其中是隨機事件的是 　 ?。ㄖ惶顚懶蛱枺?br /> 12．（3分）如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，則sinB的值為 　 ?。?br />
13．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°．按以下步驟作圖：①以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，分別交邊AB、AC于點M、N；②分別以點M和點N為圓心、大于MN一半的長為半徑作圓弧，在∠BAC內(nèi)，兩弧交于點P；③作射線AP交邊BC于點D．若△DAC∽△ABC，則∠B的大小為 　 　度．

14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣（x﹣3）2+k經(jīng)過坐標(biāo)原點O，與x軸的另一個交點為A．過拋物線的頂點B分別作BC⊥x軸于C、BD⊥y軸于D，則圖中陰影部分圖形的面積和為 　 ?。?br />
三、解答題（本大題共10小題，共78分）
15．（5分）計算：（﹣）÷+．
16．（6分）解方程：3x2+6x﹣4＝0．
17．（6分）小華有3張卡片，小明有2張卡片，卡片上的數(shù)字如圖所示．小華和小明分別從自己的卡片中隨機抽取一張．請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求抽取的兩張卡片上的數(shù)字和為6的概率．

18．（7分）已知關(guān)于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（Ⅰ）證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根．
（Ⅱ）m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根．
19．（7分）如圖，小穎在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識對某小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測量，測得居民樓AB與CD之間的距離AC為35m，在點N處測得居民樓CD的頂端D的仰角為45°，居民樓AB的頂端B的仰角為55°．已知居民樓CD的高度為16.6m，小穎的觀測點N距地面1.6m．求居民樓AB的高度．（結(jié)果精確到1m）
【參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】

20．（8分）如圖，邊長為2的正方形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過B，C兩點．
（1）求b，c的值；
（2）若將該拋物線向下平移m個單位，使其頂點落在正方形OABC內(nèi)（不包括邊上），求m的取值范圍．

21．（8分）按要求作圖（必須用直尺連線）：
（1）在圖①中以點C為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△DEC，使△DEC與△ABC位似，且△DEC與△ABC的位似比為2：1，
（2）在圖②中找到一個格點C，使∠ACB是銳角，且tan∠ACB＝1，并畫出△ACB．

22．（9分）【教材呈現(xiàn)】
如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第80頁的第3題，請完成這道題的證明．

【結(jié)論應(yīng)用】
（1）如圖②，在上邊題目的條件下，延長圖①中的線段AD交NM的延長線于點E，延長線段BC交NM的延長線于點F．求證：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，則∠F的大小為　 　．
23．（10分）【閱讀材料】小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：若設(shè)a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
【問題解決】
（1）若a+b＝（m+n）2，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時，則a＝　 　，b＝　 ?。ň煤琺、n的式子表示）
（2）若x+4＝（m+n）2，且x、m、n均為正整數(shù)，分別求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化簡＝　 　．
24．（12分）如圖，在?ABCD中，AD＝10，AB＝8，BD⊥AB．點P從點A出發(fā)，沿折線AB﹣BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動（點P不與點A、B、C重合）．在點P的運動過程中，過點P作AB所在直線的垂線，交邊AD或邊CD于點Q，以PQ為一邊作矩形PQMN，且QM＝4，MN與BD在PQ的同側(cè)．設(shè)點P的運動時間為t（秒）．
（1）tanA的值為 　 　．
（2）求線段PQ的長．（用含t的代數(shù)式表示）
（3）當(dāng)t＝6時，求△PCQ的面積．
（4）連結(jié)AC．當(dāng)點M或點N落在AC上時，直接寫出t的值．


2022-2023學(xué)年吉林省長春市榆樹市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．（3分）當(dāng)函數(shù)y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函數(shù)時，a的取值為（　?。?br /> A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)＝﹣1 C．a(chǎn)≠﹣1 D．a(chǎn)≠1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義可得a﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由題意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故選：D．
2．（3分）下列各組中的四條線段成比例的是（　?。?br /> A．a(chǎn)＝1，b＝3，c＝2，d＝4 B．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a(chǎn)＝2，b＝4，c＝3，d＝6 D．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝1
【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．
【解答】解：A.1×4≠3×2，故本選項錯誤；
B.4×10≠6×5，故本選項錯誤；
C.4×3＝2×6，故本選項正確；
D.2×3≠1×4，故本選項錯誤；
故選：C．
3．（3分）擲一枚均勻的正方體骰子，擲得“6”的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】先弄清正方體骰子六個面上分別刻的點數(shù)，再根據(jù)概率公式解答就可求出擲得“6”的概率．
【解答】解：因為拋擲一枚正方體骰子共有六種情況出現(xiàn)，
因此擲得“6”的概率是．
故選：D．
4．（3分）隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，生產(chǎn)成本逐年下降．某工廠兩年前生產(chǎn)一臺掃地機器人的成本是900元，現(xiàn)在生產(chǎn)一臺掃地機器人的成本是600元．設(shè)該種掃地機器人生產(chǎn)成本的年平均下降率為x，則下面所列方程正確的是（　　）
A．900×（1﹣x）2＝600 B．900×2（1﹣x）＝600
C．900×（1﹣2x）＝600 D．900×（1﹣x2）＝600
【分析】等量關(guān)系為：兩年前的生產(chǎn)成本×（1﹣年平均下降率）2＝現(xiàn)在的生產(chǎn)成本，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【解答】解：設(shè)該種掃地機器人生產(chǎn)成本的年平均下降率為x，根據(jù)題意得：
900（1﹣x）2＝600，
故選：A．
5．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下，頂點坐標(biāo)為（3，﹣7），那么該二次函數(shù)有（　?。?br /> A．最小值﹣7 B．最大值﹣7 C．最小值3 D．最大值3
【分析】拋物線開口向下，則頂點縱坐標(biāo)為函數(shù)最大值．
【解答】解：∵拋物線開口向下，頂點坐標(biāo)為（3，﹣7），
∴二次函數(shù)最大值為y＝﹣7．
故選：B．
6．（3分）如圖，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開．若測得AB的長為10km，則M、C兩點間的距離為（　?。?br />
A．3km B．4km C．5km D．6km
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CM＝AB，再求出答案即可．
【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵M(jìn)為AB的中點，
∴CM＝AB，
∵AB＝10km，
∴CM＝5（km），
即M，C兩點間的距離為5km，
故選：C．
7．（3分）如圖，在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為6米，那么相鄰兩樹在坡面上的距離AB為（　?。?br />
A．6cosα B． C．6sinα D．
【分析】根據(jù)正切的定義計算，判斷即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝6米，∠ABC＝α，
∵cos∠ABC＝，
∴AB＝＝，
故選：B．

8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，點P為BC上任意一點，連結(jié)PA，以PA、PC為鄰邊作?PAQC，連結(jié)PQ，則PQ的最小值為（　?。?br />
A． B．3 C． D．5
【分析】設(shè)PQ與AC交于點O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，因平行四邊形對角線互相平分，PQ必過AC的中點，而OP最小，就是點O到BC的垂線段的長．
【解答】解：設(shè)PQ與AC交于點O，作OP′⊥BC于P′．

在Rt△ABC中，BC＝＝＝10，
∵∠OCP′＝∠ACB，∠OP′C＝∠CAB，
∴△COP′∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴OP′＝，
當(dāng)P與P′重合時，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′＝．
故選：C．
二、填空題（每小題3分，共18分）
9．（3分）已知二次函數(shù)y＝3x2，則其圖象的開口向 　上?。ㄌ睢吧稀被颉跋隆保?br /> 【分析】據(jù)二次項系數(shù)得出拋物線的開口方向．
【解答】解：y＝3x2，
∵a＝3＞0，
∴拋物線開口向上，
故答案為：上．
10．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為 　　．
【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＝0，然后解關(guān)于k的方程即可．
【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＝0，即9﹣4k＝0，
解得k＝．
故答案為：．
11．（3分）下列事件：①長春市某天的最低氣溫為﹣200℃；②人們外出旅游時，使用手機App購買景點門票；③在平面內(nèi)任意畫一個三角形，其內(nèi)角和等于180°，其中是隨機事件的是 ?、凇。ㄖ惶顚懶蛱枺?br /> 【分析】直接利用隨機事件以及必然事件、不可能事件的定義分別分析得出答案．
【解答】解：①長春市某天的最低氣溫為﹣200℃，是不可能事件，故此選項不合題意；
②人們外出旅游時，使用手機App購買景點門票，是隨機事件，符合題意；
③在平面內(nèi)任意畫一個三角形，其內(nèi)角和等于180°，是必然事件，故此選項不合題意；
故答案為：②．
12．（3分）如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，則sinB的值為 　?。?br />
【分析】根據(jù)三角函數(shù)求出AD的值，進(jìn)而求出BD，利用勾股定理求出BC即可求出sinB的值．
【解答】解：∵CD＝6，tanA＝，
∴tanA＝＝，
∴AD＝4，
∵AB＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣4＝8，
由勾股定理可得BC＝＝＝10，
∴sinB＝＝＝，
故答案為：．
13．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°．按以下步驟作圖：①以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，分別交邊AB、AC于點M、N；②分別以點M和點N為圓心、大于MN一半的長為半徑作圓弧，在∠BAC內(nèi)，兩弧交于點P；③作射線AP交邊BC于點D．若△DAC∽△ABC，則∠B的大小為 　30　度．

【分析】先利用基本作圖得到AD平分∠BAC，所以∠CAD＝∠BAC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠CAD＝∠B，則∠B＝∠BAC，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和求∠B的度數(shù)．
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵△DAC∽△ABC，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠B＝∠BAC，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
即∠B+2∠B＝90°，
∴∠B＝30°．
故答案為：30．
14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣（x﹣3）2+k經(jīng)過坐標(biāo)原點O，與x軸的另一個交點為A．過拋物線的頂點B分別作BC⊥x軸于C、BD⊥y軸于D，則圖中陰影部分圖形的面積和為 　18?。?br />
【分析】先把原點坐標(biāo)代入解析式求出k得到B點坐標(biāo)，然后利用拋物線的對稱性得到圖中陰影部分圖形的面積和＝S矩形OCBD，從而根據(jù)矩形面積公式計算即可．
【解答】解：把（0，0）代入y＝﹣（x﹣3）2+k得﹣（0﹣3）2+k＝0，解得k＝6，
∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣3）2+6，
∴B點坐標(biāo)為（3，6），
∵BC⊥x軸于C，
∴圖中陰影部分圖形的面積和＝S矩形OCBD＝3×6＝18．
故答案為18．
三、解答題（本大題共10小題，共78分）
15．（5分）計算：（﹣）÷+．
【分析】先根據(jù)二次根式的除法法則運算，然后化簡后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣+
＝2﹣+
＝．
16．（6分）解方程：3x2+6x﹣4＝0．
【分析】先找出a，b，c，再求出b2﹣4ac＝84，根據(jù)公式即可求出答案．
【解答】解：a＝3，b＝6，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝62﹣4×3×（﹣4）＝84，
x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．（6分）小華有3張卡片，小明有2張卡片，卡片上的數(shù)字如圖所示．小華和小明分別從自己的卡片中隨機抽取一張．請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求抽取的兩張卡片上的數(shù)字和為6的概率．

【分析】利用小華有3張卡片，小明有2張卡片，小華和小明分別從自己的卡片中隨機抽取一張，根據(jù)題意畫出樹狀圖．
【解答】解：

或
小華
和
小明
2
2
3
4
6
6
7
5
7
7
8
∴P（抽取的兩張卡片上的數(shù)字和為6）＝＝．
18．（7分）已知關(guān)于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（Ⅰ）證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根．
（Ⅱ）m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根．
【分析】（Ⅰ）求出方程根的判別式，利用配方法進(jìn)行變形，根據(jù)平方的非負(fù)性證明即可；
（Ⅱ）利用一元二次方程求根公式求出方程的兩個根，根據(jù)題意求出m的值．
【解答】（Ⅰ）證明：當(dāng)m＝0時，此方程為一元一次方程，此時x＝1．方程有實數(shù)根，
當(dāng)m不等于0時，Δ＝（m+2）2﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
∵不論m為何值時，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程總有實數(shù)根；
（Ⅱ）解方程得，x＝，
x1＝，x2＝1，
∵方程有兩個不相等的正整數(shù)根，
∴m＝1或2，m＝2不合題意，
∴m＝1．
19．（7分）如圖，小穎在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識對某小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測量，測得居民樓AB與CD之間的距離AC為35m，在點N處測得居民樓CD的頂端D的仰角為45°，居民樓AB的頂端B的仰角為55°．已知居民樓CD的高度為16.6m，小穎的觀測點N距地面1.6m．求居民樓AB的高度．（結(jié)果精確到1m）
【參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】

【分析】過點N作EF∥AC交AB于點E，交CD于點F，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BE的長，進(jìn)而可得AB．
【解答】解：如圖，過點N作EF∥AC交AB于點E，交CD于點F，
則AE＝CF＝MN＝1.6（米），EF＝AC＝35（米），EN＝AM，NF＝MC，∠BEN＝∠DFN＝90°．

∴DF＝CD﹣CF＝16.6﹣1.6＝15（米）．
在Rt△DFN中，
∵∠DNF＝45°，
∴NF＝DF＝15（米）．
∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20（米）．
在Rt△BEN中，
∵，
∴BE＝EN?tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6（米）．
∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6＝30.2≈30（米）．
答：居民樓AB的高度約為30 米．
20．（8分）如圖，邊長為2的正方形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過B，C兩點．
（1）求b，c的值；
（2）若將該拋物線向下平移m個單位，使其頂點落在正方形OABC內(nèi)（不包括邊上），求m的取值范圍．

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出點B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求得拋物線的頂點坐標(biāo)，結(jié)合正方形的邊長即可求得結(jié)論．
【解答】（1）∵正方形OABC的邊長為2，
∴點B、C的坐標(biāo)分別為（2，2），（0，2），
∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過B，C兩點，
∴，
解得；
（2）由（1）可知拋物線為y＝﹣x2+2x+2，
∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴頂點為（1，3），
∵正方形邊長為2，
∴將該拋物線向下平移m個單位，使其頂點落在正方形OABC內(nèi)（不包括邊上），m的取值范圍是1＜m＜3．
21．（8分）按要求作圖（必須用直尺連線）：
（1）在圖①中以點C為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△DEC，使△DEC與△ABC位似，且△DEC與△ABC的位似比為2：1，
（2）在圖②中找到一個格點C，使∠ACB是銳角，且tan∠ACB＝1，并畫出△ACB．

【分析】（1）直接利用位似圖形的性質(zhì)得出答案；
（2）直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合網(wǎng)格得出答案．
【解答】解：（1）如圖①所示，△DEC即為所求；

（2）如圖②所示，△ACB即為所求．

22．（9分）【教材呈現(xiàn)】
如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第80頁的第3題，請完成這道題的證明．

【結(jié)論應(yīng)用】
（1）如圖②，在上邊題目的條件下，延長圖①中的線段AD交NM的延長線于點E，延長線段BC交NM的延長線于點F．求證：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，則∠F的大小為　29°?。?br /> 【分析】【教材呈現(xiàn)】根據(jù)三角形中位線定理得到PM＝BC，PN＝AD，根據(jù)AD＝BC，得到PM＝PN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
【結(jié)論應(yīng)用】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到PM∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PMN＝∠F，同理得到∠PNM＝∠AEN，等量代換證明結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)求出∠MPN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】【教材呈現(xiàn)】證明：∵P是BD的中點，M是DC的中點，
∴PM＝BC，
同理，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM，
【結(jié)論應(yīng)用】（1）證明：∵P是BD的中點，M是DC的中點，
∴PM∥BC，
∴∠PMN＝∠F，
同理，∠PNM＝∠AEN，
∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
（2）解：∵PN∥AD，
∴∠PNB＝∠A，
∵∠DPN是△PNB的一個外角，
∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，
∵PM∥BC，
∴∠MPD＝∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝×（180°﹣122°）＝29°，
∴∠F＝∠PMN＝29°，
故答案為：29°．
23．（10分）【閱讀材料】小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：若設(shè)a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
【問題解決】
（1）若a+b＝（m+n）2，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時，則a＝　m2+5n2　，b＝　2mn?。ň煤琺、n的式子表示）
（2）若x+4＝（m+n）2，且x、m、n均為正整數(shù)，分別求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化簡＝　?。?br /> 【分析】（1）根據(jù)完全平方公式將等式右邊展開，然后分析求解；
（2）根據(jù)完全平方公式將等式右邊展開，然后列方程求解；
（3）根據(jù)完全平方公式和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行變形化簡．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2，
∵a+b＝（m+n）2，且a、b、m、n均為整數(shù)，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案為：m2+5n2，2mn；
（2）（m+n）2＝m2+2mn+3n2，
∵x+4＝（m+n）2，
∴，
又∵x、m、n均為正整數(shù)，
∴或，
即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7；
（3）原式＝
＝
＝，
故答案為：+．
24．（12分）如圖，在?ABCD中，AD＝10，AB＝8，BD⊥AB．點P從點A出發(fā)，沿折線AB﹣BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動（點P不與點A、B、C重合）．在點P的運動過程中，過點P作AB所在直線的垂線，交邊AD或邊CD于點Q，以PQ為一邊作矩形PQMN，且QM＝4，MN與BD在PQ的同側(cè)．設(shè)點P的運動時間為t（秒）．
（1）tanA的值為 　　．
（2）求線段PQ的長．（用含t的代數(shù)式表示）
（3）當(dāng)t＝6時，求△PCQ的面積．
（4）連結(jié)AC．當(dāng)點M或點N落在AC上時，直接寫出t的值．

【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的長，再利用正切的定義可求解．
（2）分兩種情形求解即可①如圖2中，當(dāng)0＜t＜4時，②如圖3中，當(dāng)4＜t＜9時；
（3）當(dāng)t＝6時，點P在線段BC上，可求出PQ的長，根據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（4）分兩種情形分別求解即可，①當(dāng)點M在線段AC上．②當(dāng)點N在線段AC上．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD＝10，AB＝8，
∴BD＝6，
∴tanA＝＝，
故答案為：；
（2）①如圖2中，當(dāng)0＜t＜4時，

∵PQ∥BD，
∴＝，
∴＝，
∴PQ＝t．
②如圖3中，當(dāng)4＜t＜9時，

∵PQ∥BD，
∴＝，
∴＝，
∴PQ＝（18﹣2t）＝﹣t+．
綜上，當(dāng)0＜t＜4時，PQ＝t；當(dāng)4＜t＜9時，PQ＝﹣t+．
（3）當(dāng)t＝6時，，，
∴．
（4）①當(dāng)點M在線段AC上，如圖，
，
在Rt△APQ中，AP＝2t，PQ＝t，
則AQ＝t，
由矩形的性質(zhì)可知，QM∥AB，QM＝PN＝4，
又AB∥CD，
∴QM∥CD，
∴AQ：AD＝QM：CD，即t：10＝4：8，解得t＝2；
②當(dāng)點N在線段AC上，如圖，

在Rt△ACQ中，CP＝18﹣2t，
由矩形的性質(zhì)可知，PN∥CD，QM＝PN＝4，
又AB∥CD，
∴PN∥AB
∴CP：BC＝PN：AB，即（18﹣2t）：10＝4：8，解得t＝；
綜上，t＝2或．