吉林省長春市榆樹市2022-2023學年九年級上學期期中數(shù)學試卷 （含答案）

這是一份吉林省長春市榆樹市2022-2023學年九年級上學期期中數(shù)學試卷 （含答案），共20頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
?2022-2023學年吉林省長春市榆樹市九年級第一學期期中數(shù)學試卷
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x2+3＝0 C．x﹣a＝1 D．y＝2x
2．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（　　）
A． B． C． D．3
3．若＝，則的值為（　?。?br /> A． B． C． D．3
4．下列計算正確的是（　　）
A．﹣＝ B．×＝
C．÷＝ D．×＝﹣3
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列變形正確的是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝6 D．（x﹣2）2＝8
6．如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G．若AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，則BE的長為（　　）

A． B． C．12 D．20
7．如圖?ABCD，F(xiàn)為BC中點，延長AD至E，使DE：AD＝1：3，連接EF交DC于點G，則S△DEG：S△CFG＝（　　）

A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
8．某學校生物興趣小組在該?？盏厣蠂艘粔K面積為200m2的矩形試驗田，用來種植蔬菜．如圖，試驗田一面靠墻，墻長35m，另外三面用49m長的籬笆圍成，其中一邊開有一扇1m寬的門（不包括籬笆）．設試驗田垂直于墻的一邊AB的長為xm，則下列所列方程正確的是（　?。?br />
A．x（49+1﹣x）＝200 B．x（49﹣2x）＝200
C．x（49+1﹣2x）＝200 D．x（49﹣1﹣2x）＝200
二、填空題（每小題3分，共18分）
9．＝　 ?。?br /> 10．若＝3﹣x，則x的取值范圍是 　 ?。?br /> 11．一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判別式的值是　 ?。?br /> 12．若x＝1是關于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，則6m+2n＝　 ?。?br /> 13．《九章算術》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為 　 　米．

14．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D為邊BC上一點，連接AD，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E．若＝，則的值為　 ?。?br />
三、解答題（本大題共10小題，共78分）
15．計算：．
16．解方程：x2+5x+3＝0．
17．圖①、圖②均是5×5的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，分別在圖①、圖②中，各畫一個△ABP，使得△ABP與△ABC相似，且點P在格點上．


18．已知關于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．
（1）若方程的一個根為2，求m的值．
（2）求證：無論m取何實數(shù)，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
19．實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示：
化簡．

20．如圖，△ADE∽△ABC，且＝，點D在△ABC內部，連接BD、CD、CE．
（1）求證：△ABD∽△ACE．
（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的長．

21．如圖，小紅同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處．點E到地面的高度DE＝3.5m，點F到地面的高度CF＝1.5m，燈泡到木板的水平距離AC＝5.4m，墻到木板的水平距離為CD＝4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的長．
（2）求燈泡到地面的高度AG．

22．探究：如圖①，直線l1∥l2∥l3，點C在l2上，以點C為直角頂點作∠ACB＝90°，角的兩邊分別交l1與l3于點A、B，連接AB，過點C作CD⊥l1于點D，延長DC交l3于點E．
求證：△ACD∽△CBE．
應用：如圖②，在圖①的基礎上，設AB與l2的交點為F，若AC＝BC，l1與l2之間的距離為2，l2與l3之間的距離為1，則AF的長度是　 　．

23．直播購物已經逐漸走進了人們的生活，某電商直播銷售一款水杯，每個水杯的成本為30元，當每個水杯的售價為40元時，平均每月售出600個，通過市場調查發(fā)現(xiàn)，若售價每上漲1元，其月銷售量就減少10個．
（1）當每個水杯的售價為45元時，平均每月售出 　 　個水杯，月銷售利潤是 　 　元．
（2）若每個水杯售價上漲x元（x＞0），每月能售出 　 　個水杯（用含x的代數(shù)式表示）．
（3）若月銷售利潤恰好為10000元，且盡量減少庫存，求每個水杯的售價．
24．如圖，已知直線y＝x+8與x軸交于點A，與y軸交于點B，動點C從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BA方向勻速運動，同時動點D從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AO方向向點O勻速運動，當一個點停止運動，另一個點也隨之停止運動，設運動的時間為t秒（t＞0）．
（1）求△AOB的面積；
（2）用含有t的代數(shù)式表示C點的坐標；
（3）直接寫出t為何值時，△ACD面積為；
（4）直接寫出△ACD與△AOB相似時t的值．



參考答案
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x2+3＝0 C．x﹣a＝1 D．y＝2x
【分析】根據一元二次方程的定義逐個判斷即可．
解：A．x﹣1＝0是一元一次方程，故本選項不符合題意；
B．x2+3＝0是一元二次方程，故本選項符合題意；
C．x﹣a＝1是分式方程，故本選項不符合題意；
D．y＝2x是二元一次方程，故本選項不符合題意．
故選：B．
2．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（　　）
A． B． C． D．3
【分析】首先化簡二次根式，然后根據同類二次根式的定義即可判定．
解：A、＝2，它的被開方數(shù)是3，與是同類二次根式，故本選項符合題意；
B、＝3，與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
C、與的被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
D、3與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
故選：A．
3．若＝，則的值為（　?。?br /> A． B． C． D．3
【分析】根據已知條件得出＝，再把化成+1，然后進行計算即可得出答案．
解：∵＝，
∴＝，
∴＝+1＝+1＝；
故選：C．
4．下列計算正確的是（　?。?br /> A．﹣＝ B．×＝
C．÷＝ D．×＝﹣3
【分析】根據二次根式的減法對A選項進行判斷；根據二次根式的乘法法則對B選項進行判斷；根據二次根式的除法法則對C選項進行判斷；根據二次根式的性質對D選項進行判斷．
解：A． 與不能合并，所以A選項不符合題意；
B． ×＝＝，所以B選項不符合題意；
C． ÷＝＝，所以C選項符合題意；
D．原式＝6×3＝18，所以D選項不符合題意；
故選：C．
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列變形正確的是（　?。?br /> A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝6 D．（x﹣2）2＝8
【分析】先將常數(shù)項移到等式右邊，再將兩邊都配上一次項系數(shù)一半的平方，最后依據完全平方公式將左邊寫成完全平方式即可得．
解：∵x2﹣4x﹣4＝0，
∴x2﹣4x＝4，
則x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，
故選：D．
6．如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G．若AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，則BE的長為（　?。?br />
A． B． C．12 D．20
【分析】利用平行線分線段成比例定理求解．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∵AD＝AG+GD，AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，
∴＝，
∴CE＝，
∴BE＝BC+CE＝4+＝；
故選：B．
7．如圖?ABCD，F(xiàn)為BC中點，延長AD至E，使DE：AD＝1：3，連接EF交DC于點G，則S△DEG：S△CFG＝（　?。?br />
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【分析】先設出DE＝x，進而得出AD＝3x，再用平行四邊形的性質得出BC＝3x，進而求出CF，最后用相似三角形的性質即可得出結論．
解：設DE＝x，
∵DE：AD＝1：3，
∴AD＝3x，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，
∵點F是BC的中點，
∴CF＝BC＝x，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝（）2＝（）2＝，
故選：D．
8．某學校生物興趣小組在該校空地上圍了一塊面積為200m2的矩形試驗田，用來種植蔬菜．如圖，試驗田一面靠墻，墻長35m，另外三面用49m長的籬笆圍成，其中一邊開有一扇1m寬的門（不包括籬笆）．設試驗田垂直于墻的一邊AB的長為xm，則下列所列方程正確的是（　?。?br />
A．x（49+1﹣x）＝200 B．x（49﹣2x）＝200
C．x（49+1﹣2x）＝200 D．x（49﹣1﹣2x）＝200
【分析】設當試驗田垂直于墻的一邊長為xm時，則另一邊的長度為（49+1﹣2x）m，根據花園的面積為200m2，列出方程并解答；
解：設當試驗田垂直于墻的一邊長為xm時，則另一邊的長度為（49+1﹣2x）m，
依題意得：x（49+1﹣2x）＝200，
故選：C．
二、填空題（每小題3分，共18分）
9．＝　10?。?br /> 【分析】利用＝|a|進行化簡即可．
解：原式＝|﹣10|＝10，
故答案為：10．
10．若＝3﹣x，則x的取值范圍是 　x≤3?。?br /> 【分析】根據二次根式的性質列出關于x的不等式，求出x的值即可．
解：∵＝3﹣x，
∴3﹣x≥0，解得x≤3．
故答案為：x≤3．
11．一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判別式的值是　13　．
【分析】根據一元二次方程根的判別式Δ＝b2﹣4ac即可求出值．
解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1+12＝13．
所以一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判別式的值為13．
故答案為：13．
12．若x＝1是關于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，則6m+2n＝　﹣2?。?br /> 【分析】先把x＝1代入x2+3mx+n＝0，得到3m+n＝﹣1，再把要求的式子進行整理，然后代入即可．
解：把x＝1代入x2+3mx+n＝0得：
1+3m+n＝0，
3m+n＝﹣1，
則6m+2n＝2（3m+n）＝2×（﹣1）＝﹣2；
故答案為：﹣2．
13．《九章算術》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為 　3　米．

【分析】由題意知：△ABE∽△CDE，得出對應邊成比例即可得出CD．
解：由題意知：AB∥CD，
則∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴CD＝3米，
故答案為：3．
14．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D為邊BC上一點，連接AD，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E．若＝，則的值為　?。?br />
【分析】設CD＝k，BD＝2k，則CB＝CA＝3k，想辦法用k表示AD，BE即可解決問題．
解：∵＝，
∴可以假設CD＝k，BD＝2k，則CB＝CA＝3k，
∵∠C＝90°，
∴AD＝＝＝k，
∵BE⊥AE，
∴∠E＝∠C＝90°，
∵∠CDA＝∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝k，
∴＝＝，
故答案為．
三、解答題（本大題共10小題，共78分）
15．計算：．
【分析】先進行化簡，再進行加減運算即可．
解：
＝
＝﹣．
16．解方程：x2+5x+3＝0．
【分析】此題比較簡單，采用公式法即可求得，首先確定a，b，c的值，然后檢驗方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
解：a＝1，b＝5，c＝3
∴b2﹣4ac＝13
∴x＝
∴x1＝，x2＝．
17．圖①、圖②均是5×5的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，分別在圖①、圖②中，各畫一個△ABP，使得△ABP與△ABC相似，且點P在格點上．


【分析】作∠ABP＝90°，△ABP與△ABC的相似比為，如圖①；作∠BAP＝90°，△ABP與△ABC的相似比為，如圖②．
解：如圖①、②，△ABP為所作．

18．已知關于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．
（1）若方程的一個根為2，求m的值．
（2）求證：無論m取何實數(shù)，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
【分析】（1）把x＝2代入原方程，得到關于m的方程，解之即可，
（2）根據判別式公式，得到Δ＞0，即可得到答案．
解：（1）根據題意得：22﹣2m﹣2＝0，
解得：m＝1，
（2）Δ＝b2﹣4ac＝m2+8，
∵無論m取何實數(shù)，m2≥0，
∴Δ＞0，
∴無論m取何實數(shù)，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
19．實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示：
化簡．

【分析】應用二次根式的定義化簡，首先應注意被開方數(shù)的范圍，再進行化簡．
解：由數(shù)軸知，a＜0，且b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴＝|a|﹣|b|+|a﹣b|
＝（﹣a）﹣b+（b﹣a）
＝﹣a﹣b+b﹣a＝﹣2a．
20．如圖，△ADE∽△ABC，且＝，點D在△ABC內部，連接BD、CD、CE．
（1）求證：△ABD∽△ACE．
（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的長．

【分析】（1）由相似三角形的性質可得，∠BAC＝∠DAE，可得∠BAD＝∠CAE，由兩組對邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似可證△ABD∽△ACE；
（2）由相似三角形的性質可得，可求CE＝2，由等腰直角三角形的性質可求解．
【解答】證明：（1）∵△ADE∽△ABC，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）∵△ABD∽△ACE，
∴，∠ABD＝∠ACE，
又∵BD＝3，
∴CE＝2，
∴CD＝CE＝2，
∵∠ABD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD+∠ACE＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴DE＝CD＝2．
21．如圖，小紅同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處．點E到地面的高度DE＝3.5m，點F到地面的高度CF＝1.5m，燈泡到木板的水平距離AC＝5.4m，墻到木板的水平距離為CD＝4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的長．
（2）求燈泡到地面的高度AG．

【分析】（1）直接利用相似三角形的判定與性質得出BC的長；
（2）根據相似三角形的性質列方程進而求出AG的長．
解：（1）由題意可得：FC∥DE，
則△BFC∽BED，
故，
即，
解得：BC＝3；
（2）∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴，
解得：AG＝1.2（m），
答：燈泡到地面的高度AG為1.2m．
22．探究：如圖①，直線l1∥l2∥l3，點C在l2上，以點C為直角頂點作∠ACB＝90°，角的兩邊分別交l1與l3于點A、B，連接AB，過點C作CD⊥l1于點D，延長DC交l3于點E．
求證：△ACD∽△CBE．
應用：如圖②，在圖①的基礎上，設AB與l2的交點為F，若AC＝BC，l1與l2之間的距離為2，l2與l3之間的距離為1，則AF的長度是　?。?br />
【分析】探究：根據已知條件得到∠ADC＝∠CEB＝90°，于是得到∠ACD+∠DAC＝90°，由于∠ACB＝90°，于是得到∠ACD+∠ECB＝90°，根據余角的性質得到∠DAC＝∠ECB，即可得到結論；
應用：通過△ACD≌△BCE，得到AD＝CE＝1，CD＝BE＝2，根據勾股定理得到AC＝BC＝＝，AB＝，然后根據平行線分線段成比例即可得到結論．
【解答】探究：證明：∵l1∥l3，CD⊥l1，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
∴△ACD∽△CBE；

應用：在△ACD與△CBE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝CE＝1，CD＝BE＝2，
∵∠ADC＝CEB＝90°，
∴AC＝BC＝＝，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝，
∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴AF＝．
故答案為：．
23．直播購物已經逐漸走進了人們的生活，某電商直播銷售一款水杯，每個水杯的成本為30元，當每個水杯的售價為40元時，平均每月售出600個，通過市場調查發(fā)現(xiàn)，若售價每上漲1元，其月銷售量就減少10個．
（1）當每個水杯的售價為45元時，平均每月售出 　550　個水杯，月銷售利潤是 　8250　元．
（2）若每個水杯售價上漲x元（x＞0），每月能售出 　（600﹣10x）　個水杯（用含x的代數(shù)式表示）．
（3）若月銷售利潤恰好為10000元，且盡量減少庫存，求每個水杯的售價．
【分析】（1）利用平均每月的銷售量＝600﹣10×每個水杯上漲的價格，即可求出當每個水杯的售價為45元時平均每月可售出550個水杯，利用月銷售利潤＝每個水杯的銷售利潤×平均每月的銷售量，即可求出當每個水杯的售價為45元時月銷售利潤為8250元；
（2）利用每月的銷售量＝600﹣10×每個水杯上漲的價格，即可用含x的代數(shù)式表示出每個水杯售價上漲x元時的月銷售量；
（3）利用月銷售利潤＝每個水杯的銷售利潤×月銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結合要盡量減少庫存，即可確定x的值，再將其代入（40+x）中即可求出每個水杯的售價為50元．
解：（1）600﹣10×（45﹣40）＝600﹣10×5＝600﹣50＝550（個），
（45﹣30）×550＝15×550＝8250（元）．
故答案為：550；8250．
（2）依題意得：若每個水杯售價上漲x元（x＞0），每月能售出（600﹣10x）個水杯．
故答案為：（600﹣10x）．
（3）依題意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，
整理得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40．
當x＝10時，600﹣10x＝600﹣10×10＝500；
當x＝40時，600﹣10x＝600﹣10×40＝200．
又∵要盡量減少庫存，
∴x＝10，
∴40+x＝40+10＝50．
答：每個水杯的售價為50元．
24．如圖，已知直線y＝x+8與x軸交于點A，與y軸交于點B，動點C從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BA方向勻速運動，同時動點D從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AO方向向點O勻速運動，當一個點停止運動，另一個點也隨之停止運動，設運動的時間為t秒（t＞0）．
（1）求△AOB的面積；
（2）用含有t的代數(shù)式表示C點的坐標；
（3）直接寫出t為何值時，△ACD面積為；
（4）直接寫出△ACD與△AOB相似時t的值．

【分析】（1）根據坐標軸上點的坐標特征結合一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求得點A和點B的坐標，然后利用三角形面積公式計算即可；
（2）過點C作CM⊥x軸，CN⊥y軸，然后利用平行線分線段成比例定理，列比例式求解；
（3）根據三角形的面積公式列方程計算即可；
（4）分∠ADC＝90°和∠ACD＝90°兩種情況，根據相似三角形的判定和性質定理列出比例式，計算即可．
解：如圖：

（1）在y＝﹣x+8中，
當x＝0時，y＝8，
當y＝0時，﹣x+8＝0，
解得：x＝6，
∴A（6，0），B（0，8），
即OA＝6，OB＝8，
∴S△AOB＝OA?OB＝×6×8＝24，
即△AOB的面積為24；
（2）過點C作CM⊥x軸，CN⊥y軸，
∴CN∥x軸，CM∥y軸，
在Rt△AOB中，AB＝＝10，
由題意可得，BC＝t，則AC＝10﹣t，
∴＝，即＝，
解得：CN＝t，
＝，即＝，
解得：CM＝，
∴C點坐標為（t，）；
（3）由題意可得：AD＝2t，
∵OA＝6，
∴0＜t≤3，
又∵當一個點停止運動，另一個點也隨之停止運動，
∴點C在線段AB上，
∴S△ACD＝AD?CM，即×2t×＝，
解得：t＝3或t＝7（不合題意，舍去）．
∴t的值為3時，△ACD的面積為；
（4）①當∠ADC＝90°時，∠ADC＝∠AOB，
又∵∠BAO＝∠CAD，
∴△ACD∽△ABO，
∴，即，
解得：t＝，
②當∠ACD＝90°時，∠ACD＝∠AOB，
又∵∠BAO＝∠CAD，
∴△ACD∽△AOB，
∴＝，即，
解得：t＝＞3（不符合題意，舍去），
綜上，△ACD與△AOB相似時t的值為．