2023屆黑龍江省哈爾濱市第六中學高三上學期8月月考數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，集合，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡集合A，根據(jù)集合B中元素的性質(zhì)求出集合B.【詳解】，，,故選：C2．函數(shù)的部分圖像大致為（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性及函數(shù)值的正負判斷即可.【詳解】因為，定義域為R所以所以為奇函數(shù)，且，排除AB；當時，，即，排除D故選：C.3．“”是“函數(shù)的定義域為R”的（       ）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先求出“函數(shù)的定義域為R”時對應a的范圍，記為集合B, 記集合,利用集合法進行判斷.【詳解】因為函數(shù)的定義域為R，所以對任意恒成立.i.時，對任意恒成立；ii. 時，只需，解得：；所以.記集合,.因為A? B,所以“”是“函數(shù)的定義域為R”的充分不必要條件.故選：B.4．已知正項等比數(shù)列滿足，若存在、，使得，則的最小值為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)已知條件求出的值，由已知條件可得出，將代數(shù)式與相乘，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，由可得，解得，因為，則，，可得，由已知、，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：D.5．已知，則（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】用誘導公式化簡后由商數(shù)關(guān)系弦化切，代入已知計算．【詳解】.故選：D．6．已知函數(shù)，不等式的解集為（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，利用奇偶性和單調(diào)性化簡不等式，然后再構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得不等式的解集．【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，在上遞增，則可得在上單調(diào)遞增，可以變?yōu)?/span>，即，所以，，記，在上是增函數(shù)，且，所以的解集為，故選：C．7．“百日沖刺”是各個學校針對高三學生進行的高考前的激情教育，它能在短時間內(nèi)最大限度激發(fā)一個人的潛能，使成績在原來的基礎上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學生來講，其增加分數(shù)的空間尤其大．現(xiàn)有某班主任老師根據(jù)歷年成績在中等偏下的學生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績變化，構(gòu)造了一個經(jīng)過時間（單位：天），增加總分數(shù)（單位：分）的函數(shù)模型：，為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，為“百日沖刺”前的最后一次?？伎偡?，且．現(xiàn)有某學生在高考前天的最后一次?？伎偡譃?/span>分，依據(jù)此模型估計此學生在高考中可能取得的總分約為（       ）（）A．分 B．分 C．分 D．分【答案】B【分析】由可求得，將，，代入中，可求得增加分數(shù)，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意得：，；，該學生在高考中可能取得的總分約為分.故選：B.8．已知定義在R上的函數(shù)滿足，當時，，函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有8個零點，則a的取值范圍為（　　）A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4）【答案】A【分析】將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上有8個交點，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫圖，再列式，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的不等式解法求解即可【詳解】函數(shù)在區(qū)間上恰有8個零點，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上有8個交點由知，是R上周期為2的函數(shù)，作函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖像如下， 由圖像知，當時，圖像有5個交點，故在上有3個交點即可，則；故，解得；故選：A．9．下列有關(guān)命題的說法正確的是（       ）A．若集合中只有兩個子集，則B．的增區(qū)間為C．若終邊上有一點，則D．函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是【答案】D【分析】對于A，對方程中的是否為0分類討論.對于B，先求此復合函數(shù)的定義域，再根據(jù)同增異減原則求增區(qū)間.對于C，根據(jù)點P坐標，求出，再利用誘導公式求解.對于D，畫出函數(shù)圖像即可判斷.【詳解】若集合只有兩個子集，則集合只有一個元素，若，方程，得，滿足一個元素的要求.若，即判別式，解得，所以或1，A錯誤.由得，所以函數(shù)的定義域為，在上遞增，根據(jù)復合函數(shù)同增異減原則，增區(qū)間為，B錯誤.， 所以，C錯誤.的圖像如下圖所示： 最小正周期T=2π，D正確.故選：D 二、多選題10．已知點是角終邊上一點，則（       ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義求出的正余弦及正切值即可計算判斷作答.【詳解】因點是角終邊上一點，則，于是得，A正確；，當時，，當時，，B不正確；又，則，C正確，D不正確.故選：AC11．已知函數(shù)對任意都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，若，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．是偶函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于點對稱 D．【答案】ABC【分析】由，得到，得出是周期為4的周期函數(shù).根據(jù)函數(shù)的圖象變換，得到函數(shù)的關(guān)于對稱，得出函數(shù)為偶函數(shù).結(jié)合，根據(jù).進而求得，得到函數(shù)關(guān)于中心對稱，即可判斷.【詳解】對于選項A：由函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，根據(jù)函數(shù)的圖象變換，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以A正確；對于選項B：由函數(shù)對任意都有，可得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，因為，可得，則，所以B正確；又因為函數(shù)為偶函數(shù)，即，所以，可得，所以函數(shù)關(guān)于中心對稱，所以C正確；所以，所以，所以D錯誤.故選：ABC12．定義在上的函數(shù)滿足，，則下列說法正確的是（       ）A．在處取得極大值，極大值為B．有兩個零點C．若在上恒成立，則D．【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的解析式，再逐項分析即可判斷作答.【詳解】，由得：，即，令，而，則，即有，，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是得在處取得極大值，A正確；顯然，即函數(shù)在上有1個零點，而時，恒成立，即函數(shù)在無零點，因此，函數(shù)在定義域上只有1個零點，B不正確；，，令，，當時，，當時，，即函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此，當時，，所以，C正確；因函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則，又，則，即，D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵. 三、填空題13．已知，且，則____.【答案】1.4【分析】利用完全平方公式，建立、與和的等量關(guān)系，并利用所求值確定，的符號，從而可求.【詳解】解：，兩邊平方，可得，可得，，可得，，可得，．故答案為：.14．數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前12項的和為__________．【答案】42【分析】利用遞推公式得到兩個子數(shù)列，一個等差數(shù)列，一個常數(shù)列，再分組進行求解.【詳解】當為奇數(shù)時，化為，即是首項為1，公差為2的等差數(shù)列；當為偶數(shù)時，化為，即相鄰兩項之和為2；則數(shù)列的前12項和為．故答案為：42.15．設偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是___________．【答案】【分析】不等式等價于，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得答案.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以等價于，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增．由得，或，又，所以，由得，由得，故解集為.故答案為：.16．已知函數(shù)定義城為，恒有，時；若函數(shù)有4個零點，則t的取值范圍為______．【答案】【分析】先化簡函數(shù)的解析式，再轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點去判斷函數(shù)有4個零點時t的取值范圍.【詳解】設，則，則，設，則，則，則，則，函數(shù)圖象如下： 由，可得，或，由，可得，或，或，則僅有一根，又，，則，解之得，故答案為：. 四、解答題17．已知，均為銳角，，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1），再用兩角差的余弦公式計算；（2），再利用兩角和的正弦公式計算.【詳解】(1)因為，均為銳角，所以．又，，所以，．所以(2)根據(jù)第（1）問可知18．在數(shù)列中，，(1)設，求證：；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）依題意將轉(zhuǎn)化為，將代入即可得到，結(jié)論成立；（2）根據(jù)第（1）問，運用累加法得到，進而求出；（3）根據(jù)第（1）、（2）問知，，，則，運用分組轉(zhuǎn)化求和以及錯位相減求和，得出數(shù)列的前項和.【詳解】(1)由條件可知：，，，，；(2)由第（1）問可知，，當時，，當時，，當時，，當時，，以上各式相加，得，，，，即；(3)由第（1）、（2）問知，，，則，設數(shù)列的通項公式，前項和為，則，，兩式相減，得，，數(shù)列的前項和.19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）是否存在實數(shù)a，使方程有兩個不同的實數(shù)根？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）當時，無極值；當時，有極小值，無極大值；（2）存在，.【分析】(1)對函數(shù)求導,根據(jù)a的不同取值范圍,進行分類討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的極值；(2)根據(jù)(1)中函數(shù)的單調(diào)性,進行分類討論,結(jié)合函數(shù)的極值的大小、,最后求出a的取值范圍.【詳解】解：（1）由題意知的定義域為，.①當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時函數(shù)無極值②當時，令，得.當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.此時，函數(shù)有極小值，為，無極大值.綜上，當時，函數(shù)無極值；當時，函數(shù)有極小值，無極大值.（2）假設存在實數(shù)a，使得方程有兩個不同的實數(shù)根，即函數(shù)有兩個不同的零點.①當時，由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以方程不存在兩個不同的實數(shù)根.②當時，.因為，所以由（1）知.，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.此時，函數(shù)在上也有一個零點，所以，當時，函數(shù)有兩個不同的零點.③當時，，，此時函數(shù)僅有一個零點.④當時，，因為，所以由（1）知.令函數(shù)，則，當時，，單調(diào)遞增，所以當時，，所以，則.又，所以函數(shù)在上也有一個零點，所以，當時，函數(shù)有兩個不同的零點綜上所述，當時，函數(shù)有兩個不同的零點，即方程有兩個不同的實數(shù)根【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、零點問題,考查了分類討論思想.屬于難題.20．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，(1)求和(2)求證：．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）利用可得，從而可求及.（2）利用放縮法及裂項相消法可證不等式成立.【詳解】(1)時，，時，，所以，所以數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列．所以，即，當時，，當時，，不滿足上式，所以，(2)當時，，原式成立．當時， 所以．21．已知函數(shù)（1）若直線為的切線，求的值．（2）若，恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）0；（2）【分析】（1）設切點為，則可得且，構(gòu)建新函數(shù)，討論其單調(diào)性后可得及．（2）原不等式等價于，構(gòu)建新函數(shù)，其導數(shù)為，就和分類討論的零點、符號及其的單調(diào)性后可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設切點為，，∴，令，則，當時，，在上為增函數(shù)；       當時，，在上為減函數(shù)；所以，所以，又，所以．（2），恒成立，．令，．，,當時，，所以在上為增函數(shù)，， ①若，則當時，故在上為增函數(shù)，故時，有即恒成立，滿足題意.②若，因為為上的增函數(shù)且，，令，其中，，所以在為增函數(shù)，所以，故存在，使得且時，，在為減函數(shù)，故當時，，矛盾，舍去.綜上可得：．【點睛】解決曲線的切線問題，核心是切點的橫坐標，因為函數(shù)在橫坐標處的導數(shù)就是切線的斜率. 含參數(shù)的函數(shù)不等式的恒成立問題，可構(gòu)建新函數(shù)，再以導數(shù)為工具討論新函數(shù)的單調(diào)性從而得到新函數(shù)的最值，最后由最值的正負得到不等式成立.也可以考慮參變分離的方法，把問題歸結(jié)為不含參數(shù)的函數(shù)的值域問題.22．已知函數(shù)，其導函數(shù)為.（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（2）已知，設函數(shù).①證明：函數(shù)在上存在唯一極值點；②在①的條件下，當時，求的范圍.【答案】（1）減區(qū)間為；增區(qū)間為；（2）①證明見解析；②.【分析】（1）求導后發(fā)現(xiàn)的正負由決定，利用導數(shù)研究單調(diào)遞增，又，從而逐層回推，得到的單調(diào)性；（2）①求得，令，利用導數(shù)研究，即單調(diào)性，利用零點存在定理得到存在，使得，由此得到的單調(diào)性，從而證明結(jié)論；②先求得，，利用導數(shù)研究單調(diào)性，從而得到的取值范圍.【詳解】解：（1）的定義域為：，，設，則，當時，；，，所以，單調(diào)遞增，又，所以上，上所以，的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）①，，令，則令，，由，，，所以，在遞減；在遞增.即：在遞減；在遞增.又，所以，存在，使得，從而有，在遞減；在遞增，在定義域內(nèi)有唯一的零點.②證明：，在遞增，，所以，，，設，，在遞減，則的取值范圍為：.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，求取值范圍問題，難度較大，關(guān)鍵難點在于多次求導和結(jié)合相關(guān)函數(shù)的零點判定有關(guān)單調(diào)性和取值范圍，考查推理、計算能力. 

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